Matematica e Restauro Prof. Corrado Falcolini Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Architettura Matematica e Restauro Prof. Corrado Falcolini STUDIO E RIPRODUZIONE DELLA PIANTA DI SAN CARLO ALLE QUATTRO FONTANE STUDENTI : ROBERTO ROCCO ,VALENTINA SCOPONI

Cenni storici La chiesa di San Carlo alle Quattro Fontane è considerato uno dei capolavori dell'architettura barocca. La chiesa è dedicata a Carlo Borromeo, arcivescovo di Milano, ma è soprannominata San Carlino per le sue ridotte dimensioni tanto da coprire con la sua area quella di uno solo dei quattro pilastri che sorreggono la cupola della basilica di San Pietro in Vaticano. La chiesa ,il chiostro ed il convento vennero realizzati tra il 1634 e il 1644 da Francesco Borromini. La facciata venne progettata e realizzata molto più tardi dal nipote Bernardo. La chiesa è a pianta mistilinea e le parti corrispondenti ai vertici sull'asse maggiore sono concluse da absidi semicircolari. La cupola poggia su un'imposta ed è un ovale incisa da un profondo cassettonato nel quale si alternano forme diverse (ottagoni, esagoni, croci). Il movimento ondulatorio dei muri e il ritmico alternarsi a forme sporgenti e rientranti danno luogo a un palpitante organismo plastico, la cui forma viene sottolineata dall'assenza di sontuose decorazioni.

Pianta come somma di più elementi Per riprodurre matematicamente la pianta e la proiezione della cupola e del lanternino si è pensato di ricondurre i vari elementi architettonici a forme semplici che passo passo si collegano tra loro dando vita al disegno completo della Chiesa. Sezione Poligoni Cerchi Rette Semiellissi Ellisse Ellisse Triangolo Semiellissi Poligoni Ipocicloidi Proiezione cupola

Proiezione della cupola e della lanterna 1) Ellisse/Proiezione cupola - Si determina la formula base dell’ellisse: ellisse[a_,b_][t_]:={a*Cos[t],b*Sin[t]} - Successivamente si determina l’equazione modificando i raggi dei due assi dell’ellisse: ParametricPlot[ellisse[1.17,0.75] [t]+{0.010,0},{t,0,2Pi}] E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere l’equazione chiave ParametricPlot[ellisse [1.17,0.75][t]+ {0.010,0},{t,0,2Pi}, PlotStyle -> {Hue[0.55], Thickness [0.005]}, PlotRange -> {{-2.5,2.5},{1.5, -1.5}}, Axes->True]

Proiezione della cupola e della lanterna 2) Ellisse centrale/Decorazione lanterna ParametricPlot[ellisse[0.165,0.15][t] +{0.0165,0},{t,0,2Pi}]

Proiezione della cupola e della lanterna 3) Triangolo /Decorazione lanterna - Si determina la formula base della retta: Line [{pt1,pt2,…}] Successivamente si determino i punti/vertici del triangolo: Graphics[Line[{{-0.125,0},{0.08,0.125},{0.08,-0.125},{-0.125,0}}]] E poi si confrontano per capire i loro rapporti fino ad ottenere l’equazione chiave Graphics[Line [{{-0.125,0},{0.08,0.125}, {0.08,-0.125},{-0.125,0}}], GraphicsStyle -> {Hue[0.55],Thickness[0.002]}, PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->True]

Proiezione della cupola e della lanterna 3) Ellissi /Composizione perimetro lanterna Si determina l’equazione dell’ellisse desiderata: ParametricPlot[ellisse[0.27,0.45][t]+{0,0.8}, {t,-7.2/10Pi,-2.8/10Pi}] -Utilizzo lo show per accertarmi che i tre elementi creati siano corretti Show[triangolo,ellisse2,ellisse1,cerchio1]

Proiezione della cupola e della lanterna 4)Definizione dei poligoni /basi delle colonne della lanterna - Partendo di nuovo dalla formula base della retta si determinano i vertici del poligono da determinare Line [{pt1,pt2,…}] base1=Graphics[Line[{{-0.18,0.45},{-0.189,0.449},{-0.195,0.53},{-0.35,0.5}, {-0.33,0.42}, {-0.339,0.419}}],GraphicsStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5}, {1.5,-1.5}},Axes->True] - Da questo punto in poi tutte le operazioni appena illustrate si sono ripetute di volta in volta per ciascun elemento.

Proiezione della cupola e della lanterna 5) Riproduzione in serie degli altri elementi e giustapposizione in pianta Show[base1,triangolo,cerchio1,ellisse1,ellisse2,base2,base3,base4,base5,base6,base7,base8,ellisse3,ellisse4,ellisse5,cerchio2,cerchio3,cerchio4,cerchio5] GraphicsRow[{fig1,Show[base1,triangolo,cerchio1,ellisse1,ellisse2,base2,base3,base4,base5,base6,base7,base8,ellisse3, ellisse4,ellisse5,cerchio2,cerchio3,cerchio4,cerchio5]},ImageSize-> {1000,583},Spacing->-354]

Proiezione della cupola e della lanterna 6) Riproduzione decorazione centrale - Dall’attenta osservazione del disegno si è pensato di riprodurlo attraverso la ricerca dell’equazioni di un’ipocicloide, ovvero una curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna non di un’altra circonferenza ma di un’ellisse. - Si è partiti dall’equazione base dell’ipocicloide: ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t]+b*Cos[(a-b)/b*t],(a-b)*Sin[t]-b*Sin[(a-b)/b*t]} - Successivamente si è lavorato sull’equazione al fine di trovare i valori necessari a soddisfare le nostre esigenze: ipocicloide1=ParametricPlot[ipocycloid[0.8,0.1][t]*{0.58,0.38}+{0.010,0.005}, {t,0,2Pi}, PlotStyle->{ Hue[0.55], Thickness[0.002]}, PlotRange->{{-2.5,2.5}, { 1.5,-1.5}},Axes->False]

Proiezione della cupola e della lanterna - La curva trovata non soddisfa le nostre aspettative visto che anche se il posizionamento delle 2 cuspidi in alto e in basso va bene,gli archi tra questi dovrebbero avere una curvatura meno accentuata. - Il passo successivo è stato quello di modificare il parametro b (raggio della circonferenza piccola che ruota sull’ellisse) in modo tale da avere delle curvature più tese tra le cuspidi. ipocycloid[a_,b_][t_]:={(a-b)*Cos[t ]+b/1.5*Cos[(a-b)/b*t + Pi],(a-b)*Sin[t] -b/1.5*Sin[(a-b)/b*t + Pi]}

Proiezione della cupola e della lanterna Dopo le modifiche l’ipocicloide presenta la curvatura voluta,ma ancora le 2 cuspidi laterali non sono posizionate nei punti voluti. Quale può essere la causa ? 1.Questo disegno non è riproducibile con un’ipocicloide 2.Quell’ipocicloide non è inscritta in un’ellisse Per rispondere a questa domanda è stato applicato un manipulate all’equazione dell’ellisse esterna per vedere se l’ipocicloide è racchiusa nell’ellisse. Manipulate[GraphicsRow[{fig1,ParametricPlot[k*ellisse[1.17,0.75][t]+{0.010,0},{t,0,2Pi}, PlotStyle->{Hue[0.55],Thickness[0.002]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->True]}, ImageSize->{1000,583},Spacings->-354],{k,0,1}]

Proiezione della cupola e della lanterna Il risultato che si ottiene è particolarmente interessante perché mette in evidenza il fatto che non tutte le cuspidi dell’ipocicloide toccano il perimetro dell’ellisse. Quindi si può dire che questa ipocicloide non è iscritta in un’ellisse.

Proiezione della cupola e della lanterna 10) Completamento proiezioni - Definizione dell’equazione delle ellissi laterali ellisse6=ParametricPlot[ellisse[0.7,0.35][t]+{0,0.72},{t,0.07Pi,0.93Pi},PlotStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False] ellisse8=ParametricPlot[ellisse[0.49,0.48][t]+{-1.2,0},{t,Pi/2,3/2Pi},PlotStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}},Axes->False] Definizione dell’equazione delle ellissi rette retta1=Graphics[Line[ {{-1.18,0.485},{-0.69,0.79}}], GraphicsStyle-> {Hue[0.55],Thickness[0.005]},PlotRange-> {{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->False]

Proiezione della cupola e della lanterna La resa finale ottenuta attraverso la messa insieme dei diversi elementi è soddisfacente.

Disegno della sezione della Chiesa 1) Ellisse/Sezione colonne - Partendo dall’equazione base dell’ellisse si determinano le varie equazioni una per una determinando di volta in volta il periodo necessario al caso esaminato: ellisse2=ParametricPlot[ellisse[0.078,0.078][t]+{-0.81,0.865}, {t,1.05Pi,5/2Pi}, PlotStyle->{Red,Thickness[0.0035]},PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->True] Il passaggio viene ripetuto diverse volte fino ad ottenere il disegno di tutte le colonne sezionate

Disegno della sezione della Chiesa GraphicsRow[{fig1,Show[ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a,ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a,ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,ellisse13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16a]},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354] Questo è il risultato ottenuto sovrapponendo i disegni con l’immagine

Disegno della sezione della Chiesa Con gli stessi criteri visti in precedenza si producono rette e poligoni per le parti non curvilinee G12=Graphics[Line[{{0.8,0.955}, {0.73,0.995},{0.76,1.02},{0.68,1.07}, {0.565,1.11},{0.55,1.08},{0.51,1.095}}], GraphicsStyle->{Red,Thickness [0.004]}, PlotRange->{{-2.5,2.5},{1.5,-1.5}}, Axes->False] Successivamente si producono le absidi come archi di ellisse ellisse17a=ParametricPlot[ellisse[2.,1.4][t]+ {0,0.02},{t,-0.064Pi,0.066Pi}, PlotStyle-> {Red,Thickness[0.003]},PlotRange-> {{-2.5,2.5}, {1.5,-1.5}}, Axes->False]

Disegno della sezione della Chiesa GraphicsRow[{fig1,Show[G12,G13,G14,G15,G16,G17,G18,G19,ellisse1a,ellisse2a,ellisse3a,ellisse4a,ellisse5a,ellisse6a,ellisse7a,ellisse8a,ellisse9a,ellisse10a,ellisse11a,ellisse12a,ellisse13a,ellisse14a,ellisse15a,ellisse16a,ellisse17a,ellisse18a,ellisse19a],G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9,G10,G11},ImageSize->{1000,583},Spacings->-354]

Risultato finale