PON Laboratorio Scientifico ITS «M. Buonarroti» Caserta 1 Misure & Numeri

PON Laboratorio Scientifico I NUMERI (diamo) (?) 12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ? Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) ! Unità di misura È il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso significato ! 1- Misure & Numeri

Misura Diretta di una Grandezza PON Laboratorio Scientifico Misura Diretta di una Grandezza • Confronto con un Campione • 5.9 cm • 6.0 cm • 6.1 cm • …. cm • .... cm Errori Casuali (±) Scopo di chi voglia studiare scientificamente un fenomeno è trovare una relazione numerica che leghi gli enti che mutano nel fenomeno stesso: nasce così la necessità di associare a questi enti un NUMERO. Misura è confronto di una entità (grandezza fisica) con una entità della stessa specie assunta come unità di paragone (unità di misura). Nel caso presentato (misura della lunghezza della matita) la variazione è dovuta all’errore di parallasse nel confronto. C’è un errore sistematico dovuto al fatto che il fondo della matita è allineato con la fine del “centimetro da sarto” (pezzo finale metallico di sostegno, individuato dalla riga rossa) invece dell’inizio della graduazione (individuato dalla riga nera) Errori Sistematici individuati, si possono correggere (offset, taratura, procedura, condizioni di misura, preparazione ) 1- Misure & Numeri

Distribuzione delle Misure (istogramma) PON Laboratorio Scientifico Distribuzione delle Misure (istogramma) distribuzione gaussiana Vm σ Viene introdotto e costruito un istogramma delle misure della lunghezza della matita. Il tipo di distribuzione ottenuta (gaussiana) è frequentissima (anche se non generale). Non “possiamo” accedere al valore “vero” della lunghezza della matita ma per misura si intende una descrizione “sintetica” di questo istogramma: intorno a quale valore è centrato, Vm e la “bontà” della misura, ovvero quanto è largo, disperso l’istogramma, σ 1- Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? PON Laboratorio Scientifico Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? V1=5.9 V2=6.1 V3=6.0 V4=5.9 V5=5.8 V6=6.2 V7=5.6 …. Vi=…. …. N ripetizioni della misura Il Valore medio (aritmetico) è il valore più vicino a tutte i valori del set di misure (minimizza lo scarto totale, anzi … è nullo!) (Vi-Vm) scarto (dal valor medio) della misura i 1- Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? PON Laboratorio Scientifico Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso .. la bontà della misura) (detto anche errore) 1- Misure & Numeri

Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? PON Laboratorio Scientifico Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Come si riassume il risultato delle operazioni di misura: Vm σ ± Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del: 68% (Vm-σ) ≤ V < (Vm+σ) 95% (Vm-2σ) ≤ V < (Vm+2σ) 1- Misure & Numeri

Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo PON Laboratorio Scientifico Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo 12 misure (in secondi): 15.21 15.43 15.32 15.50 15.61 15.45 15.24 15.55 15.48 15.35 15.52 Pm= s σ = s 15.43916 0.133855 P=15.43916±0.133855 s ?? 1- Misure & Numeri

Considerazioni sull’Esempio PON Laboratorio Scientifico Considerazioni sull’Esempio Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s (sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!) Leggiamolo: Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302 Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302 Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.30531 e 15.57302 Cifre certe Prima cifra incerta Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ? P=15.43 ±0.13 1- Misure & Numeri

(Parentesi: Approssimazioni numeriche) PON Laboratorio Scientifico (Parentesi: Approssimazioni numeriche) Regole per l’approssimazione per arrotondamento; Se la prima cifra da eliminare (cifra di controllo) è: <5 → le cifre da conservare restano invariate (appr. per difetto) >5 → l’ultima cifra da conservare viene aumentata di 1 (appr. per eccesso) =5 → l’ultima cifra da conservare viene arrotondata alla cifra pari =50 → arrotondamento per difetto od eccesso Esempi: 17.6712 a 3 cifre decimali è (b) 17.7; 17.6472 a 3 c.d. è (a) 17.6 17.6572 a 3 c.d. è (c) 17.6; 17.7572 a 3 c.d. è (c) 17.8 17.7502 a 3 c.d. può essere (d) sia 17.7 che 17.8 1- Misure & Numeri

Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo PON Laboratorio Scientifico Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo Pm= 15.43916 s σ = 0.133855 s Regola del: Buon Senso P=15.43 ±0.13 Approssimazione al centesimo di secondo Regola della presentazione delle misure: Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4 ±0.1 s 1- Misure & Numeri

Presentazione della Misura PON Laboratorio Scientifico Presentazione della Misura Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x±σ) Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti. La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura. In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno. Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto Δx/x Errore Relativo 100Δx/x Errore Percentuale 1- Misure & Numeri

εr ε% Esempi di Misure Quale è la misura più accurata (precisa) ? PON Laboratorio Scientifico Esempi di Misure Lunghezza strada x=4 km Δx=σ=2 m Lunghezza trave x=1 m Δx=σ=1 mm esposizione 4000±2 m 1.000 ±0.001 m εr 2/4000=0.0005 0.001/1=0.001 ε% 0.05% 0.1% Quale è la misura più accurata (precisa) ? 1- Misure & Numeri

La notazione scientifica PON Laboratorio Scientifico La notazione scientifica 100=1 – 101=10 – 102=100 – 103=1000 – 104=10000 10-1=0.1 – 10-2=0.01 – 10-3=0.001 – 10-4=0.0001 Proprietà: 10n10m=10n+m – 10n10m=10n-m 102104=102+4=106 – 10210-5=102+(-5)=10-3 102104=102-4= 10-2 – 10210-5=102-(-5)=107 N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9 N. S.: y.xxx 10m con 1 ≤ y ≤ 9 cifre signif. Semplifica le operazioni (molto meno errori con calcolatrice). Maggior controllo delle cifre significative !!! 1- Misure & Numeri

Esempi di notazione scientifica PON Laboratorio Scientifico Esempi di notazione scientifica 33.5 kg espresso in grammi 3.35101 kg espresso in grammi =33500 g =3.35104 g =33500 g =3.35104 g Esponente del 10: 3-7+2-(5-4) = -3 =5.610-3 1- Misure & Numeri

Ulteriori esempi di notazione scientifica PON Laboratorio Scientifico Ulteriori esempi di notazione scientifica 1- Misure & Numeri

Ordine di Grandezza di una Misura PON Laboratorio Scientifico Ordine di Grandezza di una Misura Ordine di Grandezza di X →10(log x) approssimato all’unità Ordine di Grandezza di 23 = 10 (log10 23 =1.36 ) Ordine di Grandezza di 850 = 103 (log10 850 =2.92 ) 1- Misure & Numeri

Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche PON Laboratorio Scientifico Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche Area= Base  Haltezza B=7.4±0.1 cm H=5.3±0.1 cm Areamin=7.35.2=37.96 cm2 Areamax=7.55.4=40.5 cm2 Fare notare che il risultato ha il numero di cifre significative uguale al numero di cifre significative del dato che ne possiede meno. Probabilità del 68% che 37.96 ≤ Area < 40.5 Area=39±1 cm2 (A±ΔA) 1- Misure & Numeri

Errore in una Misura Indiretta di Grandezza PON Laboratorio Scientifico Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (propagazione dell’errore) y=y±Δy ; x=x±Δx ; z=z±Δz G=f(x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica. G=f (x,y,z) G=G±ΔG 1- Misure & Numeri

Errore in una Misura Indiretta di Grandezza PON Laboratorio Scientifico Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (casi più frequenti) G=a x+b y x=4.1±0.2 y=2.2 ±0.4 G=3x+2y G=16.7 G=17±1 G=ax•y G=27 ±5 G=ax/y G=6 ±1 1- Misure & Numeri