Componenti fortemente connesse
Componenti fortemente connesse Una componente fortemente connessa (CFC) di un grafo orientato G=(V,E) è un insieme massimale di vertici U V tale che per ogni coppia di vertici u e v in U si ha che ciascuno dei due vertici è raggiungibile dall’altro.
Componenti fortemente connesse
Componenti fortemente connesse
Grafo trasposto Il grafo GT=(V,ET) è il trasposto di G=(V,E) se ET = {(u,v): (v,u)E} (rovescia il senso di percorrenza degli archi di G). G e GT hanno le stesse componenti fortemente connesse.
Componenti fortemente connesse L’algoritmo seguente trova in tempo lineare (O(V+E)) le componenti connesse di un grafo orientato G=(V,E). Strongly-Connected-Components(G) 1.chiama DFS(G) per calcolare f[u] per ogni vertice u 2.calcola GT 3.chiama DFS(GT), ma nel ciclo principale di DFS considera i vertici in ordine decrescente di f[u] 4.return i vertici di ogni albero nella foresta DFS prodotta al passo 3 come una diversa componente fortemente connessa
Componenti fortemente connesse 13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6 Grafo G iniziale
Componenti fortemente connesse 13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6 Grafo GT
Componenti fortemente connesse 13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6
Componenti fortemente connesse 13/14 11/16 1/10 8/9 12/15 3/4 2/7 5/6
Componenti fortemente connesse Lemma Se due vertici sono nella stessa CFC, allora nessun cammino fra loro esce da questa CFC. Teorema In una qualunque visita in profondità, tutti i vertici in una stessa CFC sono posti nello stesso albero DFS.
Avi Un avo (u) di un vertice u è il vertice (unico) w raggiungibile da u che massimizza f[w] (w è l’ultimo nodo raggiungibile da u nell’ordinamento della DFS). Teorema In un grafo orientato G = (V,E) l’avo (u) di un qualunque vertice uV in una qualunque visita in profondità di G è un antenato di u.
Componenti fortemente connesse Corollario In ogni visita in profondità di un grafo orientato G = (V,E), per ogni vertice uV i vertici u e (u) appartengono alla stessa CFC. Teorema In un grafo orientato G = (V,E), due vertici u,vV appartengono alla stessa CFC se e solo se essi hanno lo stesso avo in una visita in profondità di G.
Correttezza Teorema Strongly-Connected-Components(G) calcola correttamente le CFC di un grafo orientato G. Dim. Per induzione. Tesi: se tutti gli alberi prodotti prima dell’n-esimo nella DFS sono CFC, allora lo è anche l’n-esimo. Banalmente vero per n=0. Per il caso induttivo, cont...
Considera un albero DFS, T con radice r prodotto dalla ricerca per profondità su GT, sia C(r) l’insieme dei vertici con avo r. Tesi: un vertice u è presente in T, sse u è in C(r). Chiaramente, ogni vertice in C(r) è anche in T. Se f[(w)]>f[r], allora w non può essere in C(r): Quando r viene selezionato, w è già stato inserito nell’albero con radice (w). Se f[(w)]<f[r], allora w non può essere in C(r): Se w fosse in C( r), allora r sarebbe raggiungibile da w. Quindi r f[r]<f[(w)]
Problema: dato un grafo orientato …
… trovare le sue CFC
Prima DFS Inizio
Inizio
Inizio
Identificazione dei tempi di fine visita 8 5 4 7 6 3 2 1
Transposizione del grafo 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1
Seconda DFS 8 5 4 7 6 3 2 1