Parte VII: Gravitazione Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte VII: Gravitazione Forze centrali Le Leggi di Keplero Coniche Integrali del moto La Legge di Gravitazione Universale L’energia potenziale gravitazionale Applicazioni

Forze centrali Le forze possono essere funzione della posizione. Un esempio è la forza di richiamo elastica dell’oscillatore armonico Queste forze elastiche hanno la caratteristica di puntare sempre verso un punto, la posizione d’equilibrio dell’oscillatore, e per questo si dicono forze centrali Le forze centrali hanno spesso la caratteristica di essere conservative Si noti che si è introdotto il concetto di campo vettoriale: abbiamo cioè definito una corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio ed una grandezza fisica vettoriale. Questa assume differenti valori (in modulo, direzione e verso) al variare del punto I moti in campi di forze centrali hanno spesso particolari caratteristiche. Questo è il caso del moto dei pianeti e dei corpi celesti attorno al Sole

Le Leggi di Keplero Dopo osservazioni e dati raccolti per molti decenni da suoi predecessori oltre che da lui stesso, Keplero fu in grado di stabilire le seguenti tre leggi: I pianeti descrivono orbite ellittiche piane ed il sole occupa uno dei fuochi Il raggio vettore congiungente il pianeta al sole spazza aree uguali in tempi uguali Se T è il periodo di rivoluzione ed R il semiasse maggiore dell’ellisse si ha: Moto più lento Moto più veloce r v Perielio Afelio Aree uguali Sole Semiasse minore Semiasse maggiore

Le sezioni coniche Intersecando con un piano un cono retto (circolare a due falde) si ottengono delle curve piane dette coniche Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole PUNTO RETTE Rette e punti sono casi particolari di queste intersezioni (degenerazioni)

Le Leggi di Keplero e gli integrali del moto Siccome i principi e le leggi della Fisica devono valere dovunque nell’universo, anche il moto dei pianeti o anche di altri corpi celesti deve obbedire ai principi di conservazione e alla Leggi di Newton Cominciamo col dire che non ci sono solo pianeti che si muovono sotto l’azione del Sole. Vi sono le comete periodiche (e.g. la cometa di Halley) che descrivono delle orbite chiuse e si comportano in tutto e per tutto come i pianeti salvo il fatto che l’orbita ellittica è molto eccentrica. Vi sono altri corpi celesti (e.g. gli asteroidi) con elevatissima energia cinetica e che seguono traiettorie paraboliche, con il sole nel fuoco

Fishbane-Gasiorowicz-Thornton La cometa di Halley Periodo 76 anni Consultare fig. 12-11 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

La differenza fra il moto di un pianeta o di un asteroide, cioè orbita chiusa o aperta sta nell’energia meccanica totale Vedremo più avanti che se l’energia totale è negativa (caso dei pianeti) l’orbita deve essere chiusa, mentre se l’energia totale è positiva l’orbita deve essere aperta. Ciò è facile da intuire: se l’energia meccanica totale è positiva significa che l’energia cinetica è prevalente su l’energia potenziale dovuta all’attrazione del Sole, ed in tal caso vince la tendenza del corpo a scappare via. Sempre in questo caso l’attrazione del sole può solamente deviare il corpo dalla sua traiettoria altrimenti rettilinea. Nel caso opposto è prevalente l’energia potenziale, ovvero il corpo resta legato al Sole, e, in analogia col moto circolare, cade continuamente verso il Sole Si dice che l’energia è un integrale del moto, ed in effetti l’area dell’orbita, che si conserva, è legata alla energia totale. Ciò è naturalmente vero fino a quando possiamo considerare il sistema pianeta-sole come isolato Anche il momento angolare si conserva (ed è un altro integrale del moto). Le prime due Leggi di Keplero sono una conseguenza di questo fatto

Per la definizione di momento angolare con mp massa del pianeta, v la sua velocità ed r il raggio vettore Sole-pianeta Siccome il momento angolare deve conservarsi, anche la sua direzione deve rimanere costante. Questa è perpendicolare al piano su cui giacciono r e v: di conseguenza il moto deve sempre avvenire su un piano, dunque l’orbita è piana (cfr. I Legge di Keplero) Il verso del momento angolare definisce semplicemente il verso di rotazione: anche questo è ovviamente costante Anche il modulo del momento angolare è costante, e ciò conduce alla seconda legge di Keplero. Il modulo del momento angolare vale Da questa formula si capisce che se aumentasse la distanza Sole-pianeta la velocità angolare deve diminuire per mantenere costante il momento angolare

Consideriamo un’area infinitesima spazzata in un tempo infinitesimo dt, descritta da un angolo infinitesimo da=wdt da=wdt Calcoliamo adesso la velocità areolare Se approssimiamo l’areola infinitesima dA con un triangolo isoscele di altezza r e base rsinqrpda Keplero non conosceva le leggi di Newton, né la conservazione del momento angolare e dell’energia, tuttavia le sue osservazioni (I e II legge) sono in accordo con questi

La Legge di Gravitazione Universale Fu Newton a scoprire come la III legge di Keplero doveva essere legata alla forza con cui il Sole attira i pianeti e ad intuire che questa è la forza con cui tutti i corpi si attirano Supponiamo per semplicità di calcoli (geometria) che l’orbita di un pianeta sia circolare, anziché ellittica. In tal caso il raggio delle circonferenza coinciderà col semiasse maggiore ed il periodo sarà legato alla velocità ed al raggio La forza centrale (ovvero centripeta in questo caso) dovrà essere, per la II legge della Dinamica

Ma la III Legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo deve essere proporzionale al cubo del raggio, quindi il modulo della forza di attrazione deve essere inversamente proprozionale al quadrato del raggio La frazione in parentesi deve però essere indipendente dal pianeta (la costante C di Keplero infatti lo è). Pertanto la quantità mp deve semplificarsi fra numeratore e denominatore Ma se la costante Kp è proporzionale alla massa del pianeta deve anche essere proporzionale alla massa del Sole, perché la forza con cui il pianeta è attratto dal Sole deve essere uguale ed opposta alla forza con cui il pianeta attira il Sole (Azione e Reazione). Pertanto

In conclusione la forza di attrazione Sole-pianeta deve essere La costante di gravitazione universale G deve essere determinata sperimentalmente. Essa, con un errore percentuale dello 0.06% , vale G è una costante universale. Ciò vuol dire che è un numero che serve a far tornare le dimensioni fisiche di entrambi i membri della Legge di Gravitazione. Tuttavia allorché si introduce una nuova costante universale si è fatta una nuova scoperta scientifica: prima dell’introduzione di G nessuno aveva neppure immaginato che il prodotto di due masse diviso il quadrato di una distanza potesse essere proporzionale alla forza con cui le due masse si attirano!!!

Alcuni Commenti sulla Legge di Gravitazione Universale La cosa più importante della Legge di Gravitazione è che essa non vale solo per Sole Pianeti, comete, asteroidi, etc. ma vale per tutti i corpi dotati di massa. Infatti essa si applica perfettamente anche al sistema Terra-Luna, ovvero a tutti i corpi sulla Terra compresi i razzi ed i satelliti che vogliamo lanciare in orbita geostazionaria Si applica in tutti i punti dell’universo e si pensa che valga sin dalla nascita dell’universo stesso. A rigore, le masse che compaiono a numeratore si chiamano masse gravitazionali. Questa dovrebbe essere ( e lo è per la Fisica Classica) una proprietà fisica diversa dalla massa inerziale, che misura l’inerzia di un corpo da fermo. La massa gravitazionale misura la capacità che ha un corpo, dotato di questa proprietà, di attrarre altri corpi. Newton non poteva comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale coincidessero Ci volle Albert Einstein, circa altri duecento anni di studi ed esperimenti, e la Teoria della Relatività Generale, per comprendere perché massa gravitazionale ed inerziale sono la stessa grandezza fisica

L’accelerazione di gravità Fino ad ora noi abbiamo assunto che l’accelerazione di gravità sia una costante (g=9.806 m/sec2) La legge di gravitazione universale però ci dice che i gravi cadono verso il centro della Terra e l’accelerazione corrispondente è funzione della distanza da questo punto (preso come origine) Tuttavia il raggio della Terra (6374 Km) è grande rispetto alle distanze studiate nei problemi comuni di caduta dei gravi (e.g. al massimo kilometri). Per capire se considerare g costante è una buona approssimazione scriviamone il modulo in termini del raggio della terra Rt

Dato che h<<Rt si può approssimare con uno sviluppo in serie la dipendenza da g da h Per un aeroplano che vola a 10 Km di altezza Le variazioni di g con la quota non sono pertanto significative su scale di distanze terrestri

L’energia potenziale gravitazionale Calcoliamo il lavoro che compie la forza di gravitazione terrestre per portare una massa da una posizione r1 ad una posizione r2 L’ultimo passaggio indica che qualunque sia la traiettoria il risultato non cambia Con l’ultimo passaggio abbiamo introdotto l’energia potenziale gravitazionale. Questa è funzione della sola distanza dal centro della Terra (il centro di forza) e non della direzione. Ciò vuol dire che il campo di forza gravitazionale è conservativo ed ha simmetria sferica

Notiamo che l’energia potenziale gravitazionale è sempre negativa Notiamo che l’energia potenziale gravitazionale è sempre negativa. Ciò dipende dal fatto che la forza di gravitazione è sempre attrattiva. Questa è una importante peculiarità delle forze di gravitazione, rispetto alle forze esistenti in natura che possono essere attrattive e repulsive (e.g forze elettromagnetiche) Calcoliamo l’energia totale di un pianeta che ruoti attorno al sole su un orbita circolare Possiamo ricavare R2w2 dalla II legge della dinamica Sostituendo

Dal precedente esercizio si comprende come le orbite più piccole corrispondono ad energie potenziali grandi (in valore assoluto) rispetto alle energie cinetiche dei pianeti Interessantemente, se l’orbita è perfettamente circolare l’energia totale è esattamente la metà dell’energia potenziale e pari all’energia cinetica cambiata di segno Nel caso di orbite ellittiche la distanza Sole-pianeta cambia, ma per la conservazione del momento angolare, cambierà anche la velocità di rotazione. In conseguenza l’energia potenziale diminuirà e/o aumenterà mentre l’energia cinetica aumenterà e/o diminuirà delle stesse quantità lasciando l’energia totale costante (integrale del moto) Nonostante i pianeti conosciuti siano solo nove (è incerta l’esistenza di un decimo pianeta) in Fisica Classica l’energia totale ed il momento angolare possono assumere qualunque valore, ciascuno corrispondente ad un diverso pianeta e ad una diversa orbita. In Fisica Quantistica non tutti i valori dell’energia e del momento angolare sono permessi

Applicazioni Un razzo viene lanciato dal suolo verso il cosmo. Quale deve essere la sua velocità iniziale affinché possa sfuggire alla attrazione terrestre? (velocità di fuga) Analisi: per effetto dell’attrazione terrestre un grave normalmente ricade al suolo. Questo vuol dire che la sua energia totale è negativa. Allora per sfuggire alla terra bisogna rendere la sua energia positiva o almeno nulla Basta allora imporre la seguente equazione Si noti che interessantemente la velocità di fuga non dipende dalla massa del razzo ma è una costante per tutti i corpi

Fishbane-Gasiorowicz-Thornton Il satellite Galileo La traiettoria da far seguire ad un satellite per raggiungere l’obiettivo può essere davvero molto complicata Consultare fig. 12-10 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Stimare la massa della Terra Siccome conosciamo l’accelerazione di gravità al suolo, ed il raggio della Terra possiamo usare questi dati per questa stima Sostituendo i dati numerici

Stimare la massa del Sole assumendo che la distanza Sole-Terra sia R=1 Stimare la massa del Sole assumendo che la distanza Sole-Terra sia R=1.496x108 Km La III legge di Keplero sappiamo che il periodo di rivoluzione della terra attorno al Sole è legato alla distanza Sapendo che Sostituendo i valori numerici

In quale posizione sulla congiungente Terra-Luna un corpo di massa m non subisce attrazioni gravitazionali? Analisi:i corpi sono soggetti all’attrazione gravitazionale della Terra, ma anche la Luna è in grado di attrarli, benché tale attrazione sia molto debole a causa del fatto che la massa della Luna è molto più piccola di quella della Terra e la sua distanza è molto grande. Tuttavia un corpo posto sulla congiungente Terra-Luna sarà soggetto a due forze di attrazione che possono bilanciarsi. Cioè: Risolvendo l’equazione di secondo grado rispetto ad r

Delle due soluzioni una (r+) è maggiore della distanza d Terra-Luna e va scartata Come era lecito aspettarsi il risultato dipende dal rapporto fra le masse ed è più vicino al corpo più leggero Sostituendo i valori numerici Come si vede tale punto è abbastanza vicino alla Luna

Gli astrologi affermano che la vita di una persona è influenzata dalla esatta posizione dei pianeti al momento  della nascita. Per verificare se questa influenza è dovuta alla gravitazione confrontare le seguenti due quantità: la variazione della forza gravitazionale agente su un neonato di 5 Kg dovuta alla presenza o all'assenza di un camion del peso di 2 tonnellate parcheggiato vicino all'ospedale ad una distanza di 100 m; 2. la variazione della forza gravitazionale agente sullo stesso un neonato dovuta alla variazione della posizione di Giove da un giorno all'altro Dati: la massa di Giove MG=1.9x1027Kg; il suo periodo di rivoluzione è di 11.9 anni; assumere che le orbite attorno al Sole di Giove e la Terra siano circolari e di raggi rispettivamente pari a RG=7.8x108Km e RT=1.5x108Km; , che Giove e la Terra siano inizialmente alla minima distanza e considerare i tratti di circonferenza percorsi come rettilinei Forza camion-neonato:

Per il calcolo della forza Giove-Neonato bisogna fare una costruzione geometrica Essendo variata la distanza Giove-neonato in un giorno la variazione della forza sarà: Ne segue che l'effetto gravitazionale di un camion che parcheggia vicino ad un ospedale e poi va via è sul neonato circa un fattore 16 più grande dell'effetto del movimento di Giove. Quindi delle due una: o i) il movimento di Giove influenza i neonati per mezzo di forze diverse dalla forza di gravitazione o ii) gli astrologi (e chi crede in quello che dicono) si sbagliano.