Teoria della Gravitazione Universale

Pitagora ( A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad elaborare un modello di sistema solare basato su idee matematiche Pitagora ( A.C.) e i suoi seguaci furono i primi ad elaborare un modello di sistema solare basato su idee matematiche Per primi i Pitagorici, per giustificare la periodicità dei loro moti, introdussero un modello matematico che collocava gli astri su orbite circolari. La rappresentabilità matematica garantiva l'ordine e la stabilità dell'universo (kosmos). Esso è delimitato dalla sfera delle stelle fisse e tra la volta sferica delle stelle e il centro si trovano i pianeti i cui raggi orbitali e le cui velocità formano una successione numerica identica a quella dei numeri corrispondenti alle note musicali; La più importante intuizione pitagorica è la sfericità della terra;

Il Sistema Platonico è geocentrico. Luniverso di Platone è FINITO, racchiuso allinteno della sfera delle stelle fisse Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Aistotele, proposero un loro modello di Universo. Anche i due più grandi filosofi greci, Platone ed Aistotele, proposero un loro modello di Universo.

Sistema Aristotelico Per Aristotele lUniverso non è semplicemente un luogo ma è il luogo (topos) somma totale di tutti i luoghi occupati dalle cose. La sua cosmologia è simile a quella di Platone: una terra fissa al centro di un mondo finito, circondata dalla sfera contenente tutti i corpi delluniverso. Tale sfera non è, però, da qualche parte poiché al di là di essa non vi è nulla, né vuoto né estensione

Misura della circonferenza terrestre Circonferenza della Terra trovata : stadi ~ km ? (valore moderno : km) ombra a Syène al solstizio destate ombra ad Alessandria al solstizio destate Alessandria Terra Syène (Assouan) Soleil A A Eratostene ( A.C)

Misura della distanza Terra-Luna-Sole Aristarco di Samo ~ 275 A.C.. Distanza trovata Terra - Sole = 20 volte la distanza Terra-Luna Terra T Luna in quadratura (primo quarto) L 89,8° 87° TL/TS = cos Sole Diametro trovato del Sole = 7 volte quello della Terra (valore moderno : 109 volte) (valore moderni : 400 volte)

II secolo D.C. : Claudio Tolomeo, perfeziona il modello aristotelico, introducendo il moto epiciclico dei pianeti per dar conto del loro complesso moto sulla sfera celeste

Vedi simulatore

Copernico ( ) Il polacco Copernico opera quella che passerà alla storia come rivoluzione copernicana spostando la Terra dalla sua posizione privilegiata al centro delluniverso e posizionando al suo posto il Sole (teoria Eliocentrica). Le orbite continuano ad essere delle circonferenze. Inizialmente la teoria eliocentrica fece molta fatica ad affermarsi anche perchè le sue previsioni erano meno precise di quelle del modello tolemaico (a causa della non circolarità delle orbite reali dei pianeti) De Revolutionibus Orbium Celestium (Nuremberg 1543)

Leggi di Keplero sul moto dei pianeti 1 a legge: I pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi Studiando i dati raccolti per oltre trentanni dallastronomo danese Thyco Brahe, Keplero si convinse che le orbite dei pianeti non potevano essere circolari e alla fine formulò le sue famose leggi sul mot dei pianeti: Vedi simulatore orbite

2 a legge: Il raggio vettore che va dal Sole al Pianeta spazza aree uguali in tempi uguali ossia la velocità areolare è costante Vedi simulatore seconda legge di Keplero

3 a legge: Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione T e il cubo del semiasse mag- giore a è una costante k uguale per tutti i pianeti del Sistema Solare.

Studiando le leggi di Keplero, Newton e altri fisici del suo tempo si convinsero che questo moto fosse dovuto allazione di una forza che il sole esercita sui pianeti. Fu Newton ad enunciare e dimostrare in maniera rigorosa la legge che determina questa forza: dove G è una costante che fu determinata sperimentalmente da Cavendish:

Newton intuì che questa forza non agisce solamente tra sole e pianeti ma in realtà agisce tra tutti i corpi che sono dotati di massa. La legge di gravitazione diventa UNIVERSALE NB. La forza ha questa forma anche nel caso che i corpi non siano puntiformi ma sferici. In questo caso r è la distanza tra i centri delle sfere.

Esperimento di Cavendish

Consideriamo un pianeta di massa m p che ruota intorno al Sole (massa M S >> m p ) su unorbita circolare Se lorbita è circolare il pianeta è soggetto ad una accelerazione centripeta La forza che imprime tale accelerazione è la forza gravitazionale F G Da cui si vede che il rapporto T2/a3 dipende solo dalla massa del Sole e non dal particolare pianeta preso in considerazione (3a legge di Keplero!) Questa relazione vale anche per un qualsiasi corpo di massa m che ruoti intorno ad un corpo che ruoti intorno ad un corpo di massa M>>m

Newton comprese che la forza peso non era altro che una manifestazione della Forza gravitazionale con cui la Terra attira un corpo in prossimità della superficie terrestre Utilizzando tale relazione Cavendish misurò per la prima volta la massa della Terra:

Usando la legge di gravitazione universale è possibile calcolare laccelerazione di gravità si un qualsiasi pianeta (conoscendone massa e raggio) Se ci allontaniamo dalla superficie del pianeta, g diminuisce. Ad altezza h dalla superficie del pianeta essa vale In termini di g o Per h<<Rp (es <200 km)

Lo Shuttle normalmente si muove su unorbita circolare a circa 300 km di altezza dalla superficie della Terra. A quellaltezza laccelerazione di gravità vale: circa il 10% inferiore a quella che cè sulla superficie della Terra. E inferiore ma non nulla…. Ma perché quando vediamo gli astronauti dello Shuttle sembrano in assenza di peso? In realtà essi sono soggetti alla forza di gravità ma sono anche in caduta libera continua e questo ha come conseguenza di non percepire la forza peso

La forza di gravitazione universale è una forza conservativa Esiste lenergia potenziale gravitazionele K è una costante additiva che può essere fissata in maniera arbitraria. Solitamente si sceglie K=0 in maniera che U è nulla a r = infinito dove è nulla anche la forza Il lavoro fatto dalla forza gravitazionale quando un corpo si sposta dalla posizione A a B vale:

Vale ovviamente anche il principio di conservazione dellenergia meccanica

Applicazione: la velocità di fuga Velocità di fuga: minima velocità con cui lanciare un oggetto perpendico- larmente alla superficie di un pianeta affinchè non faccia più ritorno (ossia possa arrivare allinfinito con velocità pressoché nulla)

Forze Centrali La forza gravitazionale è una forza centrale, cioè diretta sempre verso lo stesso punto (es. il sole) Se prendiamo come riferimento questo punto il vettore posizione r e la forza sono paralleli Il momento della forza gravitazionale rispetto a tale punto è nulla Il momento angolare si conserva Angolo tra r e v Al perielio e allafelio

La conservazione del momento angolare è collegata alla seconda legge di Keplero Consideriamo un pianeta che si sposta su unorbita ellittica. In un intervallo di tempo Δt (piccolo rispetto a T) si sposta di v Δt, passando dalla posizione individuato dal vettore r a quella individuata da r. La costanza della velocità areolare è quindi una conseguenza della conservazione del momento angolare La velocità areolare è definita come: Larea spazzata nel tempo Δt è, con buona approssimazione, coincidente con larea del triangolo grigio della figura. Usando le formule della trigonometria:

Moto di un corpo in un campo gravitazionale Newton dimostrò che un corpo di massa m, soggetto allazione della forza esercitato su di esso da un corpo di massa M>>m (per cui si possa considerare fisso), si muove su una traiettoria descritta matematicamente da una conica (ossia una ellisse, una parabola, uniperbole, una circonferenza e le loro degeneri) Le caratteristiche dellorbita di un corpo soggetto alla gravitazone sono determinate dal valore dellenergia meccanica E M = E C + U e dal momento angolare L (e viceversa!) In particolare la forma dellorbita è legata unicamente allenergia E M Se E M < 0 orbita ellittica o circolare (orbita chiusa o legata) Se E M = 0 orbita parabolica. (orbita aperta) Se E M > 0 orbita iperbolica. (orbita aperta) In realtà basta considerare il segno di E/m= ½ v 2 - GM/d

La discussione sulle orbite aperte è abbastanza complicate per cui ci limiteremo a considerare il moto di corpi che si muovono su orbite chiuse (ellittiche o circolari) Caratteristiche geometriche dellorbita a semiasse maggiore dellellisse b semiasse minore dellorbita c semidistanza focale e eccentricità A area ellisse r p distanza perielio r a distanza afelio

Caratteristiche dellorbita Energia Momento angolare Se m<<M Periodo 3a legge di Keplero Se m<<M La costante di proporzionalità è prati- camente la stessa per tutti i pianeti

Esercizi Es.1: Calcolare la distanza di Giove dal Sole conoscendo il suo periodo di rivoluzione (T G =12 anni) e i parametri orbitali della Terra: T T =1 anno a T =1, m Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma: Da cui si può ricavare il semiasse maggiore dellorbita di Giove 780 milioni di Km, in buo accordo con i dati sperimentale

Es.2: Calcolare la forza con cui si attraggono due palle da bilardo (massa m=150g) poste alla distanza di 40 cm Soluzione: Usiamo la legge di Gravitazione Universale: Trasformate la massa e la distanza nel S.I. si ottiene Una forza piccolissima!!!

Es.3: Calcolare laccelerazione di gravità sulla superficie di Marte conoscendo la sua massa M=6, kg e il suo raggio R=3, m Soluzione: Usiamo la formula per g: Per semplice sostituzione si ottiene In ottimo accordo con il valore sperimentale di 3,69 m/s 2

Es.4: Calcolare laccelerazione di gravità sulla cima del monte Everest sapendo che la sua altezza è 8848m Soluzione: Dato che h<<RT usiamo la seguente formula per g: Per semplice sostituzione si ottiene

Es.5: Calcolare laccelerazione di gravità agente sugli astronauti dello Shuttle quando si trovano ad una altezza di 400 km rispetto alla superficie della Terra Soluzione: Dato che h non è più trascurabile rispetto il raggio della Terra usiamo la seguente formula per g: Per semplice sostituzione si ottiene Quindi gli astronauti non sono in assenza di gravità ma non percepiscono il peso in quanto sono in continua caduta libera

Es.6: Calcolare il raggio dellorbita dei satelliti geostazionari Soluzione: Usiamo la terza legge di Keplero nella forma Da cui si ottiene

Es.7: Calcolare la velocità con cui si muovono i satelliti del sistema GPS (Global Position System) e il loro periodo orbitale sapendo che viaggiano su unorbita circolare ad altezza h = 20000km dalla superficie terrestre Soluzione: Per le orbite circolari possiamo porre che la forza gravitazionale è di tipo centripeto Ossia Per calcolare il periodo basta dividere la lunghezza dellorbita circolare per la velocità del satellite

Es.8: Lo Sputnik I fu il primo satellite artificiale lanciato in orbita dalluomo. Il lancio avvenne il 4 ottobre Lorbita era ellittica. Sapendo che il suo perigeo si trova a 6610 km dal centro della Terra e in tale punto aveva una velocità di 8,23 km/s. La sua massa era di 83,6 kg. Calcolare Il semiasse maggiore dellorbita La distanza e la velocità allapogeo Leccentricità dellorbita Il suo momento angolare Il periodo di rivoluzione Soluzione: Per il calcolo del semiasse maggiore dellorbita usiamo il fatto che per orbite ellittiche lenergia meccanica vale:

Calcoliamo ora distanza e velocità allapogeo: Eccentricità e Momento angolare L: calcoliamo al perigeo (tanto è costante!)

Infine il periodo di rivoluzione dalla terza legge di keplero

Es.9: Soluzione: Per prima cosa è conveniente calcolare il semiasse maggiore dellorbita dalla legge di Keplero La cometa di Halley è la più famosa cometa ciclica che ruota intorno al Sole. Essa ha un periodo di rivoluzione attorno al Sole di 76 anni. Al perielio la sua distanza dal sole è di 190 milioni di km. Calcolare: La distanza allapogeo; Leccentricità dellorbita; La velocità al perigeo. Oppure da

Eccentricità e Per calcolare la velocità al perigeo usiamo la conservazione dellenergia meccanica

Es.10: Un satellite per le telecomunicazioni (massa 1200 kg) deve essere immesso in orbita geostazionaria (circolare). Limmissione su tale orbita viene realizzata immettendo su unorbita circolare bassa a quota 1125 km dalla superficie terrestre e poi, tramite laccensione dei motori, immesso sullorbita di trasferimento. Giunto allapogeo una nuova accensione dei motori lo immette sullorbita geostazionaria. Calcolare: La velocità del satellite nellorbita bassa e in quella geostazionaria; La velocità con cui arriva il satellite allapogeo, punto finale dellorbita di trasferimento; per quanto tempo devono rimanere accesi i motori per immettere il satellite nellorbita di traferimento e poi in quella geostazionaria se la spinta fornita dai motori è di 8000N; Il tempo necessario per il trasferimento.

Soluzione: Orbita bassa: Orbita geostazionaria:

Lorbita di trasferimento è unellisse il cui asse maggiore è dato dalla somma del raggio dellorbita bassa + quella dellorbita geostazionaria Calcoliamo la velocità a cui deve essere portato il satellite quando si trova nellorbita bassa per immetterlo nellorbita di trasferimento. Possiamo farlo usando la conservazione dellenergia. Essa coincide con la velocità al perigeo dellorbita di trasferimento.

La velocità con cui giunge allorbita geostazionaria coincide con la velocità allapogeo dellorbita ellittica di trasferimento: Per calcolare quanto tempo devono essere tenuti accesi i motori usiamo la II legge della dinamica (nella formulazione dellimpulso) Analogamente per calcolare il tempo per immettere il satellite nellorbita geostazionaria

Il tempo di trasferimento coincide con metà del tempo per effettuare una rivoluzione completa intorno alla terra sullorbita ellittica di trasferimento:

Working in progress

Nel 1916 Einstein sconvolge la teoria di Newton della gravitazione Nella Teoria della Relatività Generale, Einstein opera unageometrizzazione della gravità Secondo tale teoria le masse e lenergia sono in grado di curvare lo Spaziotempo Un corpo che si muova vicino ad una altro corpo (o una fonte di energia) non è in realtà soggetto ad alcuna forza si muove liberamente. Non essendo però lo spazio piatto, tale moto non sarà rettilineo ma una geodetica dello spazio curvato, dando limpressione che i corpi si attraggano a causa della gravitazione I corpi (o lenergia) dicono allo spazio come curvarsi, lo spazio dice ai corpi come muoversi A. Wheeler