Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore: Il calcolo infinitesimale nei licei Marzo-Aprile 2012 LaboratorioDidattico effediesse Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano Prof. Marco Bramanti Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2012.htm Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse: http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Motivazioni del corso Le nuove indicazioni nazionali del M.I.U.R. prevedono l'insegnamento di elementi di Calcolo Infinitesimale (o “Analisi matematica”) nell'ultimo anno di tutti i licei. A chi è rivolto il corso: chi insegna in scuole in cui non si è mai insegnata l'analisi e ora si dovrà cominciare a farlo. Quindi: perché, cosa e come insegnare l'analisi nei licei. La lezione di oggi è soprattutto sul perché, sulle motivazioni; le prossime saranno sul cosa e come: contenuti e aspetti didattici.

Motivazioni del corso Può esserci un problema di contenuti… …Per questo la cura è molto semplice: studiare. Spesso la domanda più sentita dagli insegnanti non è sui contenuti in senso stretto, ma sui criteri di scelta, gerarchia di importanza, motivazioni , livello da tenere, cosa considerare irrinunciabile o no, ecc. Oggi enuncerò alcune motivazioni che saranno esemplificate dal discorso successivo. Desidero chiarirle in partenza, come ipotesi dilavoro.

1. Analisi matematica: per preparare all’università? No, non anzitutto per questo. (Non è un prerequisito!)

2. L'introduzione del calcolo infinitesimale nei licei è un'opportunità per allargare la formazione culturale degli studenti. “L'invenzione del calcolo infinitesimale, accanto alla geometria euclidea, è la più grande creazione in tutta la matematica.” (Morris Kline). Perché?

2.1. Perché ha permesso il nascere della scienza moderna, Newtoniana Imparare un po’ di analisi è imparare un linguaggio necessario a comprendere la scienza moderna; è alfabetizzazione scientifica. La nascita dell'analisi matematica coincide con il definitivo stringersi del legame tra matematica e fisica, quindi tra matematica e scienza moderna. Bisogna anzitutto capire che è così: importanza dell’aspetto storico.

In concreto, una prima idea è: vale la pena insegnare l'analisi nei licei sottolineando i significati fisici dei suoi concetti centrali (la derivata e l'integrale), illustrando la potenza concettuale che mette a disposizione della fisica, e della scienza in generale. L’insegnante di matematica deve parlare anche di fisica. Anche se non è l’insegnante di fisica.

2.2. Analisi matematica e procedimenti infiniti La nascita del calcolo infinitesimale è centrale nella storia della matematica non solo per il suo rapporto con la fisica, ma anche per lo sviluppo della matematica di per sé. Con la nascita del calcolo infinitesimale sono entrati a far parte della matematica, in modo pervasivo, i procedimenti infiniti. Lo studio dell'analisi (e specificamente il concetto di limite) permette di capire come la matematica tratti, “addomestichi”, il concetto di infinito matematico. E questo è di per sé un nodo concettuale fondamentale nella storia del pensiero, interessante per chiunque.

In concreto, una seconda idea è: il concetto di limite, come vedremo, è uno dei concetti matematici con cui la matematica dà diritto di cittadinanza ai “procedimenti infiniti”, strappandoli dalla vaghezza e dalla contraddittorietà, rendendoli rigorosi, praticabili. Questo è solo un aspetto particolare dell'analisi ma estremamente significativo. L'insegnamento dell'analisi dà modo di affrontare il modo in cui la matematica “doma” l’infinito. E’ un discorso delicato, difficile, ma appassionante e per cui vale la pena di fare (e far fare) anche un po’ di fatica.

3. L’analisi come teoria matematica L'analisi è una teoria matematica, fatta di definizioni, teoremi, dimostrazioni, nuove definizioni, e così via. Con l'analisi, la matematica “torna” ad affermare la sua natura propria, quella di essere un sapere ipotetico deduttivo. Perché “torna”? Perché questo aspetto ipotetico deduttivo, nel panorama dell'insegnamento della matematica nelle scuole, è ben rappresentato dalla geometria euclidea, ma poi ???

La dimostrazione Eppure l’aspetto dimostrativo è il cuore della matematica. La dimostrazione matematica: con un numero finito di parole ci convince della validità di una certa implicazione logica nei suoi infiniti casi concreti; ci mostra perché è vera un'implicazione che sappiamo o pensiamo che sia vera; è uno dei rari esercizi di pensiero umano sofisticato che riesca ad ottenere un consenso universale, che attraversa tempo e spazio.

Dunque: l'insegnamento dell'analisi rimette a tema con decisione il fatto che la matematica è anzitutto teoria. Questo pone una serie di problemi didattici all'insegnante: teoria, d'accordo, ma con quale approfondimento? Quanto dimostrare? Che tipo di equilibrio ci deve essere tra la teoria e l'esercizio? Che peso devono avere l'uno e l'altro nella verifica e nella valutazione?

3.1. Ruolo della teoria e livello di difficoltà Se i destinatari sono studenti di licei non scientifici, il livello di difficoltà del discorso dev’essere tenuto sotto controllo. Questo non significa “eliminare la teoria” (o ridurla fino a svilirla): il filo rosso definizione-teorema-dimostrazione deve mantenere una certa continuità, se si vuole trasmettere l'idea di sistema ipotetico deduttivo. La dimostrazione non può essere occasionale. Un criterio è: semplificare, ma non barare.

3.2. Teoria ed esercizio In analisi non è vero che “la teoria è difficile, la pratica è facile”! Al contrario, nel calcolo dei limiti o nello studio di funzioni la pratica può diventare molto difficile se non non si circoscrive in modo attento la casistica delle situazioni considerate. Un affronto pragmatico in Analisi si tramuta in un tecnicismo frustrante. Occorre invece tenere ben presenti gli obiettivi, teorici e pratici, e modellare il percorso su questi. Cosa riteniamo irrinunciabile nel “saper fare” va deciso argomento per argomento, con un occhio al percorso complessivo. (Esemplificheremo).

4. Perché insegniamo certe cose Nel preparare le lezioni e il corso complessivo sull'analisi ci sono molte scelte: cosa fare e non fare, in quale ordine, con quale approfondimento, ecc. Non c'è una sola “risposta giusta” a queste domande, ma ogni insegnante ha il dovere di dare la propria risposta personale. In particolare: dobbiamo sempre sapere perché insegniamo certe cose.

“Oggetto di insegnamento per noi non sono le materie, ma gli aspetti reali che le materie si propongono di trattare. (…) Noi non siamo ruote di trasmissione di un sapere elaborato altrove che ormai è stato depurato del suo rapporto con la realtà, ma mediatori del rapporto con il sapere che impartiamo personalmente, direttamente, in funzione di un incontro con la realtà”. (da: Eddo Rigotti, Conoscenza e significato. Mondadori Università, 2009, p.19) In matematica la tentazione del trasmettere un “sapere elaborato altrove” è fortissima. Si rischia di obbedire acriticamente al libro di testo e alla tradizione d'insegnamento.

Un concetto che insegniamo: può essere funzionale al seguito del discorso matematico; può essere utile in funzione di altre materie scientifiche; può essere significativo di per sé; può essere più d'una di queste cose insieme, ma deve essere almeno una di queste cose! Prima di dare una nuova definizione dovremmo rifletterci come prima di introdurre una nuova tassa. Non possiamo farlo solo perché c'è scritto sul libro o solo perché si è sempre fatto.

L’aspetto storico Cominciamo con un'introduzione storica al calcolo infinitesimale. Per: 1) mostrare il ruolo e l'importanza del calcolo infinitesimale nel nascere della scienza moderna; 2) fissare una gerarchia tra i vari concetti del calcolo infinitesimale: i “frutti preziosi” sono i concetti di derivata e integrale, il calcolo differenziale e integrale, i “fondamenti concettuali” sono il concetto di limite e le proprietà dell'insieme dei numeri reali. L'insegnamento deve tener conto di questa gerarchizzazione.