Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore: Il calcolo infinitesimale nei licei Marzo-Aprile 2012 LaboratorioDidattico effediesse Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano Prof. Marco Bramanti Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2012.htm Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse: http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 5. Calcolo integrale Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici. Matematica, Relazioni e funzioni “Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare (…) l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati ((…) calcolo di aree e volumi). Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiterà (...) alla capacità di integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari, nonché a determinare aree e volumi in casi semplici. L’obiettivo principale sarà soprattutto quello di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura”.

Problemi da cui nasce il calcolo integrale Il problema di definire (e non solo di calcolare!) l'area di una regione a contorni curvilinei. Occorre riandare ai calcoli di aree della geometria elementare per comprendere come la stessa nozione di area si sia via via estesa. Idea di misura come rapporto tra quadratino unità di misura e regione da misurare; idea di equiscomponibilità; idea di additività dell'area. E poi? Manca ancora qualcosa per le regioni a contorno curvilineo. Problema di calcolare lo spazio percorso da un punto mobile con velocità istantanea variabile.

La definizione di integrale L'integrale come limite di somme. (Questo è lo slogan che vogliamo rimanga). Consideriamo le funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Costruiamo le somme di Cauchy-Riemann relative a una partizione in intervalli di uguale ampiezza, con la funzione integranda calcolata in un punto arbitrario scelto in ogni intervallino. Enunciamo il teorema: la successione delle somme di C.R. converge, e il limite non dipende da come abbiamo fatto le scelte arbitrarie in ciascun intervallino e a ciascun passo della costruzione. Definizione: il numero s limite di (qualsiasi) successione di C.R. relativa a f in [a,b] si dice integrale (definito) di f in [a,b] e si indica col simbolo

La definizione di integrale Osservazione sul simbolo: è un simbolo, cioè ha un significato complessivo (il dx non ha un significato indipendente), però, come per il simbolo di Leibniz per la derivata, ricorda la definizione del concetto. (v. le due simulazioni Mathematica delle somme di Riemann). Per una motivazione dettagliata di questo modo di procedere, v. articolo su Emmeciquadro, nr. 36 - agosto 2009. (Scaricabile dalla pagina web).

Significato geometrico Se f(x) > 0 su [a,b] l'integrale ha il significato geometrico di area, anzi ne è la definizione (se i contorni sono curvilinei). Se f cambia segno l’integrale è un'area con segno. Se vogliamo un'area in senso geometrico per una funzione di segno variabile, dovremo calcolare l'integrale del modulo di f(x). Ma in molte questioni è proprio l'area con segno quella che serve (es. velocità / spostamento). Il fatto che nei casi elementari l'integrale restituisca l'area elementare dipende dalle proprietà dell'integrale, che vedremo un po’ alla volta. Vale la pena far osservare subito, dalla definizione di integrale come limite di somme che l'integrale di una retta è l’area del trapezio (basta scegliere il punto medio di ogni intervallino).

Significato cinematico Se v(t) è la velocità di un punto mobile sulla retta, lo spostamento netto in un intervallo di tempo [0,T] è pari all’integrale di v(t) in [0,T]: vederlo ragionando sul limite di somme, non sull'area. Invece, lo spazio totale percorso è l’integrale di | v(t) | in [0,T] (che il punto vada avanti o indietro, voglio in ogni caso sommare le lunghezze percorse). Altri significati fisici: la massa di una sbarra non omogenea è l'integrale della densità lineare di massa; il lavoro è l'integrale rispetto allo spostamento ds della componente della forza nella direzione dello spostamento. (vedremo esempi).

Proprietà elementari dell’integrale Dalla definizione di integrale come limite di somme seguono subito: la linearità dell'integrale, per la linearità del limite e della somma, (mentre non sarebbe ovvio per il significato geometrico); la monotonia dell’integrale per il teorema di permanenza del segno. L’additività dell'integrale rispetto agli estremi di integrazione esprime l’additività dell'area (mentre non è così ovvio dalla definizione). Possiamo limitarci a questo argomento intuitivo. Insieme alle osservazioni fatte prima sull'integrale della retta, l’additività ci garantisce che l’area definita dall'integrale coincide con l'area elementare nel caso dei poligoni. (E’ un circolo vizioso). Il teorema del valor medio segue dalla monotonia, dall’integrale della costante, dal teorema di Weierstrass e dei valori intermedi.

Come si calcola l’integrale? Si può fare l'esempio dell'integrale di x2 su [0,1] con le somme di C.R. per mostrare che l’uso della definizione caso per caso non è praticabile. Quindi si motiva il teorema fondamentale del calcolo integrale, vera novità introdotta da Newton-Leibniz rispetto ai tentativi precedenti. Definizione di primitiva. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla (conseguenza semplice di Lagrange) e caratterizzazione dell'integrale indefinito. (Sottolineare l'implicazione non banale). Teorema: ogni funzione continua su un intervallo ammette ivi primitiva (non lo dimostriamo), ma ciò non significa né che noi la sappiamo trovare, né che questa sia sempre esprimibile come composizione di funzioni elementari: per esempio la funzione exp(-x2)…

Come si calcola l’integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale (dimostrato direttamente, senza usare il concetto di funzione integrale). Idee di base sulla ricerca di primitive (sufficienti per applicazioni interessanti!): Primitive delle funzioni elementari (costante, potenze, 1/x, esponenziali, sinx, cosx); integrazione per scomposizione (linearità della derivata, non dell'integrale); ad es., integrazione dei polinomi; primitiva di af(bx+c) quando è nota la primitiva di f(x) (caso molto particolare di integrazione per sostituzione); utilizzo delle simmetrie negli integrali definiti e gestione dei valori assoluti negli integrali definiti.

Applicazioni del calcolo integrale Tradizionalmente: tecnica di calcolo delle primitive; teoria dell’integrale definito; calcolo di integrali. Si può fare: integrale definito; primitive elementari e prime applicazioni significative; poi, strada facendo, eventuali ulteriori metodi di integrazione, ed eventuali ulteriori esercizi “scolastici” di calcolo integrale. Applicazioni a: Calcolo di aree e volumi significativi; Calcolo del lavoro in fisica; (Integrale indefinito): integrazione di alcune equazioni differenziali già incontrate; Calcolo delle probabilità (variabili aleatorie continue).

Esempi significativi di calcolo di aree e volumi Premessa: la geometria elementare non va dimenticata: vietato usare integrali per l’area dei poligoni e del cerchio. Per tutto il resto, però… Esempio 1. Dall’area del cerchio, dedurre l’area dell’ellisse. Esempio 2. Dimostrare il Teorema di Archimede sul segmento di parabola. Volume di un solido di rotazione (formula, mediante l’area del cilindro e l’integrale come limite di somme). Esempio 3. Volume della sfera. Esempio 4. Volume del cono. Esempio 5. Volume della piramide di base qualunque.

Esempi significativi di calcolo di aree e volumi Esempio 6. Volume dell’ellissoide di rotazione (e poi qualsiasi). Esempio 7. Volume della scodella parabolica. …(eccetera) Raccomandazioni: 1. Usare calcoli dimensionati, cioè introdurre i parametri raggio, altezza, ecc., non fare tutto coi numeri puri “perché è più semplice”. 2. Quando è possibile e significativo, esprimere il risultato finale come formula di geometria sintetica (v. segmento di parabola). Osservazione: quante cose significative abbiamo fatto conoscendo solo la primitiva di x e x2! Non farei lunghezza del grafico e area della superficie di rotazione (primitive di funzioni irrazionali).

Applicazioni fisiche: lavoro Esempio 1. Lavoro ed energia potenziale del campo gravitazionale del sole. Esempio 2. Lavoro ed energia potenziale di una molla.

Primitive ed equazioni differenziali Utilizzando solo la primitiva di a/(bx+c) ed eventualmente un semplice caso di scomposizione in fratti semplici si possono integrare alcune equazioni del prim’ordine discusse in precedenza. Esempio 1. Il modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni. Esempio 1b. Decadimento radioattivo e tempo di dimezzamento. Esempio 2. Modello di Verhulst per la dinamica delle popolazioni: crescita in un ambiente a capacità finita. Esempio 3. Raffreddamento di un corpo. Esempio 4. Caduta di un grave nell’aria.

Applicazioni alla probabilità Dalle indicazioni nazionali per i licei non scientifici. Dati e previsioni “Saranno studiate le caratteristiche di alcune distribuzioni di probabilità (in particolare, la distribuzione binomiale e qualche esempio di distribuzione continua”. Gli esempi di distribuzione continua possono essere: la distribuzione uniforme su un intervallo; la distribuzione esponenziale (istante del 1° arrivo in un processo di Poisson); la distribuzione normale. A seconda dei concetti introdotti (funzione di ripartizione o no? Varianza o no?) servono strumenti matematici diversi. Parentesi…

La funzione integrale Se si dà una dimostrazione diretta del teorema fondamentale del calcolo integrale, non è necessario introdurre la funzione integrale, a meno che si intenda farlo in vista dello studio delle distribuzioni continue di probabilità. Introdotto il concetto di funzione integrale (idea chiave: è un nuovo tipo di funzione, non occorre trovare la primitiva per gestirla), si dimostra il 2° teorema fondamentale del calcolo integrale (la derivata della funzione integrale è l’integranda, se questa è continua). NB: Solo in questa dimostrazione si utilizza il teorema della media (altrimenti si poteva non farlo). Interpretazioni della funzione integrale: spazio percorso s(t) nota la velocità v(t); funzione di ripartizione di una distribuzione continua.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (1) (v. a parte documento “Applicazioni delle serie e degli integrali generalizzati al calcolo delle probabilità”) Distribuzione uniforme su un intervallo [a,b]. Se si vuole calcolare solo P(c < X < d) non c'è bisogno di usare gli integrali. Anche per il valore atteso, è intuitivo che sia il punto medio dell'intervallo. Se si parla di varianza, si può calcolare E(X2) e quindi VarX, con un integrale. Serve solo la primitiva di x2.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (2) Distribuzione esponenziale Esp() E’ l’istante del primo arrivo in un processo di Poisson di intensità . Nota la legge di Poisson, per l’esponenziale si calcola P(Y > t), quindi P(Y < t) (funzione di ripartizione, è la funzione integrale), quindi per derivazione la densità di Y (2° teorema del calcolo integrale). Poiché Y > 0, non occorre scrivere la funzione integrale con estremo infinito. Nota la densità si possono calcolare il valore atteso ed eventualmente la varianza. Qui serve la formula di integrazione per parti (per xeax). Didatticamente, matematicamente, è un esempio semplice e interessante. E’ molto meno utile della normale.

Distribuzioni di variabili aleatorie continue (3) Distribuzione normale Introdurrei subito le densità Gaussiane N(,2) come distribuzioni plausibili su un esempio guida (es. statura). Non si sa trovare la primitiva ma, prendendo per buono l’integrale della densità normale standard, si può verificare che l’integrale è 1. Funzione di ripartizione e suo grafico (giustificato da limiti e derivata). C’è la difficoltà aggiuntiva dell’estremo –infinito di integrazione. Istruttivo esempio di “funzione di tipo nuovo”. Calcolo di valore atteso e varianza. Esempio istruttivo di integrazione per parti e calcolo con le sostituzioni lineari. E’ istruttivo arrivare ad un esempio esplicito di calcolo della probabilità (tavole o Excel).

Sintesi sul calcolo delle primitive Se (come richiesto dalle indicazioni e suggerito dall’economia di tempo) si dà importanza alle applicazioni del calcolo delle primitive (calcolo di aree e di volumi, lavoro in fisica, risoluzione di alcune equazioni differenziali del 1° ordine, variabili aleatorie continue), è possibile e opportuno sviluppare questi esempi con un investimento iniziale minimo (primitive di funzioni elementari, di f(ax+b)), che ha il pregio di non creare un doppio binario mentale tra cos’è l’integrale e come si calcola; un successivo approfondimento (funzione integrale, integrazione per parti, sostituzioni semplici) può preludere allo studio della Gaussiana. L’integrale generalizzato si può considerare “en passant” negli esempi richiesti, senza una trattazione esplicita.