Le Pierangiolate n.3 ALLINEATI e COMPATTI verso l'INFINITO Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche Luca Chiantini presenta ALLINEATI e COMPATTI verso l'INFINITO

s r VA DIMOSTRATO!! PROBLEMA Siano r,s due rette parallele. Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s. Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. Analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C. Il triangolo LMN: 1) è sempre rettangolo, 2) è sempre equilatero, 3) ha sempre area 0, 4) non è mai isoscele. cioè i 3 punti sono sempre allineati VA DIMOSTRATO!! A' B' C' s L N M r A B C

Pappo di Alessandria TEOREMA di PAPPO Siano r,s due rette paralelle. Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s. Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. e analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C. Allora i 3 punti L, M, N sono sempre allineati. Pappo di Alessandria Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Pappo fu uno dei più importanti matematici del periodo tardo ellenistico. Della sua vita si conosce ben poco e anche le date della sua nascita e della sua morte sono assai incerte. Sembra accertata solo la data del 320, anno intorno al quale egli ha scritto un commento all'Almagesto di Tolomeo. Si ritiene inoltre che fosse un insegnante. Le sue opere sono in gran parte andate perdute; l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

{ ( ) ( ) ( ) TEOREMA di PAPPO dimostrazione s r x - a retta AB' y = aa' - bb' a - b b' - a L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' x - b ( aa' - cc' a - c ) retta A'B y = M = , a' - b a - c + a'- c' a - c + a'- c' ( cc' - bb' c - b ) analogamente ... N = , c - b + c'- b' c - b + c'- b' allineamento di tre punti A' (a',1) B' (b',1) C' (c',1) s y = 1 L N M r A (a,0) B (b,0) C (c,0) y = 0

( ) ( ) ( ) ( ) TEOREMA di PAPPO dimostrazione viene 0 s r si calcola il determinante di aa' - bb' a - b ) L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' ( aa' - bb' a - b a - b + a'- b' ) ( aa' - cc' a - c ) M = , aa' - cc' a - c a - c + a'- c' a - c + a'- c' a - c + a'- c' cc' - bb' c - b c - b + c'- b' ( cc' - bb' c - b ) N = , c - b + c'- b' c - b + c'- b' viene 0 allineamento di tre punti A' (a',1) B' (b',1) C' (c',1) s y = 1 L N M r A (a,0) B (b,0) C (c,0) y = 0

( ) ( ) ( ) TEOREMA di PAPPO dimostrato! IL PUNTO L SPARISCE! s r cosa succede se questo denominatore si annulla? aa' - bb' a - b L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' IL PUNTO L SPARISCE! ( aa' - cc' a - c ) M = , a - c + a'- c' a - c + a'- c' ( cc' - bb' c - b ) Tutto sistemato. N = , c - b + c'- b' c - b + c'- b' O FORSE NO? caso concreto: a - b + a' - b' = 2 - 5 + 9 - 6 = 0 B' (6,1) A' (9,1) s le due rette sembrano parallele r A (2,0) B (5,0)

( ) TEOREMA di PAPPO s r quando a - b + a' - b' = 0 cosa succede se questo denominatore si annulla? aa' - bb' a - b ) L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' quando a - b + a' - b' = 0 cioè b' - a = a' - b 1 a retta AB' y = x - b' - a b' - a il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele hanno lo stesso coefficiente angolare 1 b retta A'B y = x - a' - b a' - b B' (b',1) A' (a',1) C' (c',1) s la retta MN è parallela alle precedenti (VERIFICARE!) M N le due rette sono parallele r A (a,0) B (b,0) C (c,0)

( ) TEOREMA di PAPPO ancora vale! s r quando a - b + a' - b' = 0 aa' - bb' a - b ) cosa succede se questo denominatore si annulla? L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' quando a - b + a' - b' = 0 cioè b' - a = a' - b va all'infinito due rette parallele si incontrano in un punto all'infinito ... il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele B' (b',1) A' (a',1) C' (c',1) s la retta MN è parallela alle precedenti M N la retta MN passa ancora per il punto L! r A (a,0) B (b,0) C (c,0)

( ) ( ) ( ) TEOREMA di PAPPO ? aa' - bb' a - b L = , cosa succede se DUE denominatori si annullano? a - b + a'- b' a - b + a'- b' ( aa' - cc' a - c ) M = , a - c + a'- c' a - c + a'- c' a - b + a'- b' = 0 ( cc' - bb' c - b ) a - c + a'- c' = 0 N = , c - b + c'- b' c - b + c'- b' sottraggo la seconda dalla prima c - b + c'- b' = 0 anche il terzo denominatore si annulla: se due dei punti L,M,N "vanno all'infinito", anche il terzo "va all'infinito" ABA'B' è un parallelogramma B' A' C' O CBC'B' è un parallelogramma X X O CAC'A' è un parallelogramma C A B

INTERSEZIONE E RETTE PARALLELE P5 P6 non c'è, sul piano r6 lassù è andato "all'infinito" r5 talvolta i punti di intersezione si "volatilizzano" P4 non c'è una "legge di conservazione dell'intersezione" r4 r3 P3 Il piano non è un ambiente compatto: r2 ci sono successioni di punti i cui limiti sembrano uscire fuori dall'ambiente P2 r1 P1 o forse di qua?

( ) [ ] ambiente compatto ogni successione ha una sottosuccessione che ha limite intervallo aperto intervallo chiuso ( ) [ ] 1 1 non compatto compatto retta reale (non compatta) una circonferenza è compatta anche una sfera è compatta negli ambienti compatti è possibile fare “ragionamenti al limite”

APPLAUSI Pappo, Pappo ... ci penso io! che bello sarebbe poterli vedere questi punti all'infinito ... orizzonte ECCOLO! il punto all'infinito APPLAUSI

Piero della Francesca ma chi sarebbe questo tizio? (Sansepolcro, 1416 circa – Sansepolcro, 12 ottobre 1492) pittore e matematico. Tra le personalità più emblematiche del Rinascimento, le sue opere sono mirabilmente sospese tra arte, geometria. La sua attività può senz'altro essere caratterizzata come un processo che va dalla pratica pittorica, alla matematica e alla speculazione matematica astratta. Il De prospectiva pingendi ("Della prospettiva del dipingere") è un trattato sulla prospettiva scritto da Piero. La datazione dell'opera è incerta e in ogni caso legata alla tarda maturità dell'autore, tra gli anni sessanta e ottanta del Quattrocento, entro il 1482. Il manoscritto originale, ricco di illustrazioni, è alla Biblioteca Ambrosiana di Milano. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Piero della Francesca è stato un precursore della Geometria Prospettica, oggi detta Geometria Proiettiva. Nella Geometria Proiettiva, una retta (quella dell'orizzonte) funziona come se si trovasse “all'infinito”, per cui due rette parallele si incontrano in un punto della linea d'orizzonte. orizzonte visione dall'alto visione prospettica Nel trattato di Piero della Francesca si spiega come le costruzioni geometriche del piano normale si possono ripetere nel piano proiettivo, con la retta dell'orizzonte.

TEOREMA di PAPPO ? funziona B' A' C' C A B L, M, N sono ancora allineati! orizzonte L M N B' A' C' C A B

TEOREMA di PAPPO funziona Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. Se guardo l'orizzonte del mare, però, più che una retta, mi sembra un cerchio ... ... ma è un cerchio di raggio infinito, quindi è come una retta. L, M, N sono ancora allineati! orizzonte L M N B' A' C' C A B

LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA

LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA

NO! è l'unica compattificazione possibile del piano? Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamo compattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. è l'unica compattificazione possibile del piano? NO! Ad esempio, si possono mandare all'infinito la x e la y separatamente. Oppure si può introdurre un UNICO punto all'infinito che vada bene per tutto (compattificazione di Alexandrov) punto all'infinito sfera

PadreEterno diavolo o qua? e qua? e quaggiù che c'è?

SFERA: compattificazione di Alexandrov del piano tutto tornerebbe meglio ...

Renato Cartesio (Renè Descartes) un momento! Non correte troppo ... ... e le coordinate? Renato Cartesio (Renè Descartes) Nacque il 31 marzo 1596 a La Haye nella Touraine, da famiglia della nobiltà di toga. Fu educato nel collegio dei gesuiti a La Flèche. In seguito Cartesio poté viaggiare per tutta l'Europa, dedicandosi agli studi di matematica e di fisica. Nel 1628 si stabilì in Olanda per godervi di quella libertà filosofica e religiosa che era propria del paese. La condanna di Galilei del 22 giugno 1633 lo sconsigliò dal pubblicare un'opera, nella quale egli sosteneva la dottrina copernicana. In seguito pensò di divulgare almeno alcuni risultati che aveva raggiunti; e così nacquero i tre saggi la Diottrica, le Meteore e la Geometria ai quali premise una prefazione intitolata Discorso del metodo, e che pubblicò a Leyda nel 1637. INel 1649 egli cedette ai ripetuti inviti della regina Cristina di Svezia di andare a stabilirsi presso la sua corte. Nell'ottobre egli giungeva a Stoccolma; ma nel rigido inverno nordico si ammalò di polmonite e l'11 febbraio 1650 moriva. Enciclopedia Multimediale delle Scienze Filosofiche

( ) s r un momento! Non correte troppo ... ... e le coordinate? Come mettere coordinate ai punti all'infinito? ( se questo denominatore si annulla, L va all'infinito. aa' - bb' a - b ) L = , a - b + a'- b' a - b + a'- b' Anche se va all'infinito, il punto L può essere visualizzato nel piano proiettivo. Ma non possiamo dargli coordinate, perchè non si può dividere per zero. B' (b',1) A' (a',1) C' (c',1) s M N r A (a,0) B (b,0) C (c,0)

Già: ma perchè non si può dividere per zero? Una volta, 3 meno 5 non si poteva fare. Poi hanno inventato i numeri negativi, e ora si può fare. Una volta, 2 diviso 7 non si poteva fare. Poi hanno inventato le frazioni, e ora si può fare. Una volta, certi segmenti non si potevano misurare. Poi hanno inventato i numeri reali, e ora tutti i segmenti possono essere misurati. Una volta, la radice quadrata di -1 non si poteva fare. Ma hanno inventato i numeri complessi, e ora si può fare. Allora: perchè non si può dividere per zero? vogliamo 1/0 Mettiamo una buona volta 1/0 = ∞ , e non se ne parla più!

Allora: perchè non si può dividere per zero? 1 = ∞ ∞ • 0 = 1 distributiva ∞ • 0 + ∞ • 0 = ∞ • (0 + 0) = ∞ • 0 = 1 2 = 1 + 1 = ∞ si comporta male, come numero. In particolare, non si integra bene con le operazioni e la legge distributiva. Dovendo necessariamente scegliere, preferiamo tenerci la legge distributiva e buttiamo via ∞ dagli insiemi numerici. Va bene. Ma allora, queste coordinate?

Coordinate proiettive August Ferdinand Möbius (Schulpforta, 17 novembre 1790 – Lipsia, 26 settembre 1868) è stato un matematico e astronomo tedesco. Era discendente di Martin Lutero per parte di madre. Si iscrisse all'Università di Lipsia, all'inizio seguendo i corsi di legge secondo i desideri della famiglia, poi seguendo la sua inclinazione, frequentando corsi di matematica, astronomia e fisica. Nel 1813 si trasferì a Gottinga per studiare astronomia con Gauss nel suo osservatorio. Nel 1816 divenne, molto giovane, professore straordinario su una cattedra di astronomia e meccanica superiore all'Università di Lipsia. Möbius fu il primo matematico ad introdurre le coordinate omogenee in geometria proiettiva.

Coordinate proiettive punto all'infinito 1 1 7 1 4 (1,1) (7,4) ... (1,0) punto all'infinito PROBLEMI. 1) Ogni punto della retta proiettiva ha due coordinate. 2) Poiché 7/4 = 14/8, i punti (7,4) e (14,8) coincidono. Più in generale, tutti i punti della forma (7k, 4k) coincidono. 3) Poiché (-1,0) = -(1,0), il punto all'infinito dalla parte negativa coincide con quello della parte positiva.

{ { e sul piano? è una retta!!! 5 5 2 P = ( , 1 ) 2 2 2 = ( 5, 2, 2 ) P = ( , 1 ) = ( , ) 2 2 2 y x equazione della retta y= mx + q = m + q z z y = mx + qz equazione della retta proiettiva OK è una retta!!! punti all'infinito z = 0 Ex. Punto all'infinito della retta y= 3x + 6z pongo z = 0 ottengo y = 3x cioè il punto (x, 3x, 0) = x ( 1, 3, 0) y = 2x + z y = 2x { { punto all'infinito x (1, 2, 0) rette parallele y = 2x + 2z z = 0 intersezione

) ( ( ) ( ) ( ) TEOREMA di PAPPO dimostrazione aa' - bb' a - b ) L = , = (aa' - bb', a - b, a - b + a' - b') a - b + a'- b' a - b + a'- b' ( aa' - cc' a - c ) M = , = (aa' - cc', a - c, a - c + a' - c') a - c + a'- c' a - c + a'- c' ( cc' - bb' c - b ) N = , = (cc' - bb', c - b, c - b + c' - b') c - b + c'- b' c - b + c'- b' allineamento di tre punti nel piano proiettivo si calcola il determinante di ( aa' - bb' a - b a - b + a'- b' ) viene 0 aa' - cc' a - c a - c + a'- c' punti allineati cc' - bb' c - b c - b + c'- b' dimostrazione valida anche per rette parallele

TEOREMA di PAPPO s r vale qualunque siano le rette di partenza C' C N B' M r B A' L A

punti generici C' B' C B A' A punti su conica Pappo non vale Pappo vale

cosa hanno in comune? y = mx + q y = m'x + q' equazione di secondo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 y = mx + q y = m'x + q' unione (y - mx - q)(y - m'x - q') = 0 ancora un'equazione di secondo grado

coniche orizzonte parabola ellisse iperbole

xy = 1 1 xy = 2 1 xy = 10 xy = 0 iperbole coppia di rette insieme di tutte le coniche sta nella compattifi-cazione non è compatto Il Teorema di Pappo vale quando i 6 punti stanno su una conica, comprese le coniche spezzate in due rette, che stanno nel bordo della compattificazione

fine della storia? MAGARI! in realtà siamo solo a metà strada cosa succede al teorema di Pappo, quando due punti vanno a coincidere? per esempio quando B' va a coincidere con A? che fine fa la retta AB'? C punti su conica Pappo vale C' B' A A' = B' B retta tangente

MA TUTTI I NUMERI, moltiplicati per 0, DANNO 0!!! ma ho barato! A = B' il coefficiente angolare viene x - a retta AB' y = b' - a un numero tale che, moltiplicato per 0, mi dà 0 MA TUTTI I NUMERI, moltiplicati per 0, DANNO 0!!! è una FORMA INDETERMINATA mancano i dati sufficienti per una risoluzione del problema e la sostanza cambia!

ABBIAMO COMPATTIFICATO TROPPO! Quando due dei sei punti coincidono, ce la possiamo cavare specificando che devono stare su una conica Ma quando 3 o più punti coincidono, anche la conica diventa indeterminata, e stavolta mancano dati per davvero ABBIAMO COMPATTIFICATO TROPPO! Stavolta il problema consiste nel DECOMPATTIFICARE il problema, per poi RICOMPATTIFICARLO in maniera meno stretta. caso super-limite A = B = C = A' = B' = C' ???

pensate che capire come descrivere le collisioni di punti sia un aspetto marginale della Matematica? I Fisici studiano cosa avviene nella collisione di atomi, per capire la strutttura della materia Gli esseri viventi come noi originano dalla collisione di due frammenti di DNA Ma tutto l'Universo nasce da una grande decompattificazione di un punto: il Big Bang Italo Calvino - Le Cosmicomiche “Tutto in un punto” Isaac Asimov - Il meglio di Asimov “Palla da biliardo”

All'alta fantasia, qui mancò possa confine della Matematica hic sunt leones

GRAZIE PER L'ATTENZIONE