PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora. Ottavio Serra PITAGORA: Numeri e figure - Il teorema di Pitagora.

Aristotele, nella Metafisica, I, 5, scrive: I cosiddetti pitagorici, avendo cominciato a occuparsi di ricerche matematiche ed essendo grandemente progrediti in esse, furono condotti da questi studi ad assumere come principi di tutte le cose esistenti quelli di cui fanno uso le scienze matematiche, cioè i numeri […]. Avendo poi riconosciuto che le proprietà delle armonie musicali corrispondono a rapporti numerici, e che in altri fenomeni naturali si riscontrano analoghe corrispondenze coi numeri, conclusero che tutto è numero e che il cielo sia proporzione ed armonia.

Il cosmo dei pitagorici

) è un’asta di legno a squadra Lo gnomone ( per conoscere l’ora dall’ombra del Sole. Indice dell’orologio solare. E’ un oggetto, numero o una figura, che aggiunto a un oggetto lo lascia immutato in forma,simile a sé.

Queste proprietà aritmetiche convinsero i pitagorici che tutto è numero, il mondo, i cieli, la musica. In particolare, le linee sono somma di punti. Però l’altro grande trionfo dei pitagorici, il Teorema di Pitagora, infranse questa grandiosa concezione, con la scoperta che esistono segmenti incommensurabili.

I numeri perfetti Prima del famoso teorema, accenniamo a un’altra conquista dei pitagorici, i numeri perfetti. Sono i numeri uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso. I pitagorici conoscevano 6 e 28, forse anche 496. Euclide dimostrò una formula per generare numeri perfetti pari e trovò così 8128. (Elementi, Libro IX ).Nel 1700 Eulero dimostrò che la formula di Euclide genera tutti i numeri perfetti pari (è necessaria, non solo sufficiente). Senza computer è praticamente impossibile andare oltre 8128. Infatti il prossimo è 33.550.336, poi vengono 8.589.869.056 e 137.438.691.328, poi un numero di 19 cifre, che non riporto, poi anche il mio pc si arrende.

E ora il teorema di Pitagora In verità era conosciuto anche presso altri popoli e prima del V secolo, almeno in casi particolari. Per esempio, i cinesi conoscevano il caso 3,4,5 come risulta dalla successiva diapositiva, già dal 1100 a.C. Forse gli egizi anche da prima. Il merito dei pitagorici è stato di averne tentato una giustificazione e di aver aperto la via alla scienza dimostrativa.

Basta un’occhiata per capire la dimostrazione di Chou

Una “dimostrazione” del teorema dovuta a Pappo

Il disegno eseguito da Socrate (Platone) nel “Menone” per la duplicazione del quadrato. Da esso si ricava il Teorema di Pitagora nel caso particolare del triangolo rettangolo isoscele (AOB).

Dal disegno riportato nel “Menone” si ricava l’irrazionalità della radice quadrata di 2. La via aritmetica, congeniale ai pitagorici, sembra però troppo astratta e ardua per quei tempi. Tuttavia Aristotele negli ANALITICI PRIMI Libro I, Cap. 23, 41 a, dice che i pitagorici dimostrarono l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, mostrando che l’ipotesi opposta avrebbe condotto all’assurdo che un numero fosse pari e dispari nello stesso tempo. (Euclide, spaventato dai numeri irrazionali, indicibili , seguirà, con Eudosso, dimostrazioni geometriche).

Spirale pitagorica delle radici quadrate A partire dal triangolo rettangolo isoscele (in rosso)

Similitudine di un triangolo rettangolo con le due parti in cui l’altezza lo divide (Euclide VI 8), da cui discendono i teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora. Questa via più semplice dovette aspettare la teoria dei rapporti incommensurabili(V libro).

Vedi le due diapositive seguenti. Secondo Odifreddi l’irrazionalità comparve dapprima dallo studio del pentagono e perciò il primo numero irrazionale conosciuto dai pitagorici fu la radice quadrata di 5, legata alla sezione aurea. (Il lato del pentagono regolare è uguale alla sezione aurea della diagonale) . La sezione aurea, scoperta dai pitagorici, serviva anche per la costruzione dei poliedri regolari. La Sezione aurea di un segmento è la parte MEDIA PROPORZIONALE tra il segmento e la parte restante ESTREMA RAGIONE. Vedi le due diapositive seguenti.

Il Pentagramma, Stella a 5 punte, era il segno di riconoscimento dei pitagorici

La dimostrazione geometrica di Euclide dell’irrazionalità della radice quadrata di 2. Non si troverà mai un sottomultiplo comune ad AC ed AB.

Per finire, Il teorema di Pitagora dimostrato da Garfield. Questa chicca è riportata da Piergiorgio Odifreddi su “Le Scienze”, luglio 2005. Garfield, (1831-1881) Maggior generale nordista nella guerra civile, (1861-63), fu presidente Usa per pochi mesi, assassinato il 7 luglio 1881.

Pitagora e la musica. Studiando i suoni emessi da corde tese, i pitagorici notarono che i suoni erano tanto più acuti quanto più le corde, a parità di spessore e di tensione, erano corte. Essi, pur non introducendo il concetto assoluto di frequenza, ebbero idea della frequenza relativa in base al rapporto tra le lunghezze delle corde. Si accorsero così che alcuni accordi erano particolarmente gradevoli: quello di quarta, rapporto di 4/3 con una frequenza di riferimento, di quinta, rapporto di 3/2 e di ottava o unisono, rapporto 2.

Secondo altri, e secondo me è più probabile, i pitagorici trovarono le leggi dell’armomia musicale percuotendo vasi di uguale altezza riempiti d’acqua a livelli diversi, in modo che fosse diversa la colonna d’aria vibrante. In tal modo la frequenza dipende solo dalla colonna d’aria h. Per chi vuol sapere: h= (2n+1)l/4  n= c/l = (2n+1)c/4h. (Si formano onde stazionarie se h contiene un numero intero di “mezzi fusi”) Per n=0 si ha l’armonica fondamentale, la nota.

Essi introdussero perciò una Scala musicale di 7 note separate da intervalli di quinta: 2/3, 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32. Per farle entrare in un’ottava, la prima si moltiplica per 2, la quarta e la quinta nota si dividono per 2, la sesta e la settima si dividono per 4. Ordinandole per frequenze crescenti, si ha: 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128. Si noti la corrispondenza parziale con la scala naturale di Aristòsseno (III secolo a.C.), ripresa da Zarlino (1500, Venezia):

1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128 (Pitagora) Do Re Mi Fa Sol La Si Do 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2. (Zarlino). Infine con Bach (1700) si passa dalla scala naturale alla scala temperata, inserendo altre 5 note dette diesis, #, della nota precedente o bemolle, b, della nota successiva, in modo che l’intervallo tra una nota e la seguente fosse costante, pari a Così anche nella musica si estende attraverso i millenni il genio di Pitagora.

Pitagora < --- > Bach