Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi Modellare 1 Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi

Sintesi e analisi Dalla forma geometrica all’immagine dall’immagine alla forma geometrica Problema diretto e problema inverso

Creare una rappresentazione Una rappresentazione di un modello ha due significati: rappresentazione astratta, matematica della struttura raffigurazione della forma La rappresentazione astratta richiede tecniche di costruzione La rappresentazione astratta richiede un metodo di descrizione della struttura dati che la descrive Riassumiamo questi concetti distinguendo tra superfici e volumi nel diagramma seguente

Schemi di rappresentazione Sono il modo con cui un modello per la sintesi di immagini viene descritto. I principali: mesh o griglia poligonale poliedri patch parametriche (bicubiche ..) CSG (geometria solida costruttiva) suddivisione spaziale (voxel) implicite: x2 + y2 + z2 = r2 Oggetto di studio del CAD

Quale schema scegliere? per il rendering di forme statiche? per il rendering di forme animate o dinamiche? oggetti rigidi o flessibili o malleabili? quali tipi di forma: semplici come un mondo di solidi elementari o complesse come la testa di una persona? NON ESISTE LO SCHEMA UNICO UNIVERSALE

Superfici o volumi I modelli possono essere forme bidimensionali descritte su una superficie … oppure forme tridimensionali Le forme tridimensionali possono essere descritte da superfici nello spazio … o da volumi nello spazio I volumi possono anche essere rappresentati come solidi delimitati da superfici

Elementi base Quadrilatero (o triangolo) piano Patch parametrica CSG voxel

Rappresentazione Poliedrica Vertici, spigoli, facce, oggetti Semplice, a volte costoso, problemi di precisione e accuratezza, dipende dalla curvatura, può essere automatizzato (reverse modeling 3d, luce strutturata, o con algoritmi - es. sweep -trascinamento) Con sistemi automatici si generano molti triangoli: problema della decimazione dei triangoli (eliminazione dei triangoli inutili) video

Importanza della struttura dati: struttura di un disegno piano video

Struttura di una scena

Procedimenti costruttivi: sweep (estrusione e rotazione) video

Rotazione

Rappresentazione parametrica Funzioni di Bernstein blending functions Funzioni di Bernstein fino al 3° ordine:

Costruire una curva di Bezier

Vincoli di continuità agli estremi del poligono video

Superfici parametriche: Bezier

Patch bicubiche parametriche P(u,v) = Si=0..3 Sj=0,.3 Ci,j Bi(u)Bj(v) Ci,j sono 16 punti di controllo u, v sono parametri reali in (0,1) P è un polinomio bicubico video

Valutare la superficie parametrica Come trovare punti sulla superficie: Valutazione diretta dell’equazione parametrica (costosa) Algoritmi progressivi: De Casteljau - interpolazione lineare progressiva, vediamo l’esempio di calcolo dei punti su una parabola: b0 b1 b2 b01 b11 b02

De Casteljau Il caso della parabola riguarda una curva piana, per le superfici il metodo si generalizza: Il punto è il punto con parametro t sulla curva di Beziér bn calcolato come: Per le superfici di interesse per la grafica n=3 I punti bi sono i punti di controllo dettagli sul metodo si trovano su: G. Farin Curves and surfaces for computer aided geometric design, AP

NURBS Non Uniform Rational B Splines: si considerano i pesi wi (chiamati shape parameters) se i pesi sono tutti =1 si hanno le curve di Bezier

Curve parametriche per interpolazione Spline cubiche Matrice di Hermite: Teoria, vantaggi e svantaggi delle diverse forme sono oggetto di studio della geometria computazionale video