A cura di Maria Angela Varone

“Da tempo immemorabile l'infinito ha suscitato le passioni umane più di ogni altra questione. E' difficile trovare un'idea che abbia stimolato la mente in modo altrettanto fruttuoso, tuttavia nessun altro concetto ha più bisogno di chiarificazione" (D. Hilbert).  

Dato un insieme contenente oggetti di natura qualsiasi ha senso porsi la domanda “Quanti sono gli elementi di A?” oppure “A avrà più o meno elementi di un insieme B?” . Se A e B sono finiti, indichiamo il numero di elementi dell’insieme con un numero naturale. Questo procedimento appena descritto non è altro che il processo del contare. 1 2 3 4

Dati due insiemi A e B, si dice che A è equipotente a B se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di A e quelli di B.

Si dice che un insieme A è finito se è equipotente ad un insieme {1,2,3,4,…,n}  N e si scrive card A=card {1,2,3,4,…,n} =n Se A è finito e B  A allora Card B<Card A

Si dice che un insieme A ha la potenza del numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme N

SONO EQUIPOTENTI!!!!!!!! A: Insieme dei quadrati dei numeri naturali 1 4 9 16 ………. 1 2 3 4 ………. N :Insieme dei numeri naturali SONO EQUIPOTENTI!!!!!!!!

A è un sottoinsieme di N e ha lo stesso numero di elementi di N !!!! Ma A  N !!!!! A è un sottoinsieme di N e ha lo stesso numero di elementi di N !!!! ……..strano!

“Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrere che noi facciamo intorno agli infiniti, dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minorità o egualità non convenghino agl’i’nfiniti…” (Galileo Galilei)

Quanti sono i numeri pari???? 2 1 4 2 6 3 8 4 … … L’insieme dei numeri pari ha la potenza del numerabile

Quanti sono gli elementi di Q? Cantor ha dimostrato in maniera ingegnosa che l’insieme dei razionali è numerabile Data “la densità” dei razionali può sembrare impossibile che i due insiemi abbiamo la “stessa dimensione”, ma Cantor dimostrò che basta “disporli e contarli” nel modo seguente:

1 2 7 6 3 8 4 5 9 10 11

L’insieme numerico i cui elementi sono elencati nella tabella , a causa delle evidenti ripetizioni (1/1,2/2,…,1/2, 2/4,…) non rappresenta l’insieme Q , ma contiene più elementi di Q. Con il procedimento ideato da Cantor si dimostra che questo insieme “più grande” è numerabile, ma è facile concludere che anche Q è numerabile.

 Cantor dimostra anche, con un procedimento analogo che l’insieme NxN è numerabile. Basta osservare il modo in cui sono disposte le coppie ordinate nella seguente tabella e usare per contare le coppie il metodo a diagonale visto prima 1 2 7 6 3 8 4 5 9 10 11

La parte più “sconvolgente” del lavoro di Cantor, però è la dimostrazione del fatto che non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca l’insieme dei numeri naturali e i punti della retta, cioè i naturali con i reali.

Cantor inizia la dimostrazione supponendo che può esistere una corrispondenza fra l’insieme dei reali e quello dei naturali, ma tale supposizione porta ad una contraddizione, per cui la supposizione di partenza deve essere falsa e quindi una tale corrispondenza non può esistere. Un modo più semplice per affrontare la dimostrazione è quello di esaminare solo i reali compresi tra 0 e 1: se questo insieme di numeri reali ha più elementi dell’insieme dei naturali, anche l’insieme dei reali conterrà più elementi dell’insieme dei naturali.

Sia Supponiamo per assurdo che gli elementi di I si possano mettere in corrispondenza biunivoca con i naturali per cui se indichiamo xi con gli elementi di I si avrà che dove

Costruiamo a questo punto un numero y così fatto: sicuramente e inoltre perché ha almeno una cifra diversa da ogni xi Quindi è assurdo aver supposto che tutti i reali compresi tra zero e uno possono essere messi in corrispondenza con i naturali.

La cardinalità di I si chiama potenza del continuo.   La cardinalità di I si chiama potenza del continuo. Per cui se un insieme ha la potenza del continuo presenta un livello di infinito diverso rispetto a quello di un insieme che ha la potenza del numerabile, è come se fosse un livello ‘infinito più elevato’.

E’ facile dimostrare che ogni intervallo aperto a,bR ha la potenza del continuo. La figura mostra come ad ogni punto dell’intervallo 0,1 si può far corrispondere un punto dell’intervallo a,b (la corrispondenza è biunivoca)   P A A’ A 1 a b A’

 Con un’altra figura possiamo vedere come si può realizzare la corrispondenza biunivoca tra i punti di un intervallo ]a,b[ R e la retta reale P a b Q Proiettando da P i punti dell’intervallo verticale otteniamo i reali non negativi, mentre proiettando da Q i punti di si ottengono i reali negativi.

La rivoluzione di Cantor sta nell’aver rilevato che anche nel caso di insiemi infiniti ha senso parlare del numero di elementi ( proprio come nel caso di insiemi finiti) e che esistono almeno due tipi di infinito. Il primo tipo, l’infinità dei numeri naturali, viene detta 0(potenza del numerabile) , il secondo tipo di infinità è quello rappresentato da tutti i punti di un segmento e la sua cardinalità è indicata con 1(potenza del continuo). Ha la cardinalità del continuo l’insieme dei reali e Cantor dimostrò anche che ha la cardinalità del continuo l’insieme dei punti di un qualsiasi rettangolo nel piano e anche ogni cubo dello spazio.

Ricordiamo che se Card A= n allora Card p(A)=2n Il successivo passo di Cantor fu quello di considerare l’insieme dei possibili sottoinsiemi di un insieme: l’insieme potenza. Ricordiamo con un esempio il concetto di insieme potenza nel caso finito .Dato Ricordiamo che se Card A= n allora Card p(A)=2n infatti nel nostro caso Card A= 3 implica Card p(A)=23=8 Cantor riuscì a dimostrare che se A è infinito non è mai equipotente ad A .

In particolare se l’insieme in questione è l’insieme dei numeri naturali Cantor dimostrò che ha la potenza del continuo. A questo punto Cantor si chiese :esiste un insieme infinito la cui cardinalità sia compresa tra quella del numerabile e quella del continuo? Tentò per anni di dare una risposta cercando un insieme che avesse tale caratteristica, ma invano. Concluse , anzi suppose che un insieme con tale caratteristica non esiste. Questo problema lasciato aperto da Cantor è noto come l’ipotesi del continuo.

“La mia teoria si regge salda come una roccia; ogni freccia diretta contro di essa ritornerà rapidamente a chi l’ha lanciata . Come lo so? Perché l’ho studiata sotto tutti gli aspetti per molti anni, perché ho esaminato tutte le obiezioni che siano mai state mosse contro i numeri infiniti e soprattutto perché l’ho seguita fino alle sue radici, per così dire, fino alla prima causa infallibile di tutto il creato”. (G.Cantor)