Dall’esperienza al sapere IN LABORATORIO PER IMPARARE MATEMATICA Ileana Saporiti Fornovo, 25 gennaio 2008 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dall’intuizione alla certezza “La pianta prende acqua dal terreno, non beve acqua se la si mette sulle foglie. Allo stesso modo la vera conoscenza non va appiccicata, come si fa con un cerotto. La vera conoscenza è qualcosa che impregna l’uomo. Davanti ai nostri occhi passano tante cose meravigliose. E’ uno spreco se voi non ve ne accorgete.” Etsuro Sotoo Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Congettura e scoperta Scoprire perché certe relazioni sono vere, dà la stessa emozione di chi le ha scoperte la prima volta. ( un collega ) “I testi matematici hanno la forza dell’evidenza, danno l’impressione che le spiegazioni siano così chiare che avrebbero dovuto esistere da sempre” “Ciò che soddisfa il desiderio è frutto di un lavoro accanito: l’apparente facilità impedisce una vera conoscenza.” Laurent Lafforgue Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 OBIETTIVI stimolare la curiosità sviluppare la capacità critica riempire di senso le forme astratte pervenire alla comprensione attraverso l’esperienza saper dimostrare Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Strumenti In aula: materiali scolastici semplici o strutturati In laboratorio di informatica: Excel – Cabri – Derive Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Attraverso i problemi Qual è la situazione di partenza? Analisi delle conoscenze e delle capacità attraverso problemi: riannodiamo i fili Quante celle in Excel? La palestra I figli della vicina Dividere in gruppi Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Quante celle? In Excel: scopri quante colonne ci sono quante righe quante celle scopri se i numeri trovati sono potenze di 2 e quali sono gli esponenti Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 La palestra “L’insegnante di educazione fisica, per un problema di spazio, ha detto che avrebbe portato in palestra metà della classe più mezzo studente. Alle proteste degli altri, l’insegnante ha risposto che la settimana successiva avrebbe portato in palestra metà dei rimanenti più mezzo studente, e nella terza settimana avrebbe portato i rimanenti. Di quanti alunni potrebbe essere composta la classe?” Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Congetture Quando possiamo dire mezzo alunno? “19 va bene, anche 23 va bene: forse il numero deve essere primo” “ Il primo numero deve essere dispari e anche il secondo” Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 I figli della vicina “La vicina di casa ha dei figli: l’età del minore è la metà dell’età del maggiore e il prodotto di tutte le età è 1664. Quanti sono i figli della vicina?” - si deve scomporre - le età dei figli sono i sottomultipli di 1664 - la metà di una potenza Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Dividere in gruppi “Un insegnante vuole dividere la classe in gruppi da tre, ma un ragazzo rimane da solo; allora divide in gruppi da quattro ma ne restano due. Prova a dividere in gruppi da cinque, ma restano ancora due ragazzi. Qual è il numero degli alunni della classe?” Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Il cartone del latte Due cartoni del latte hanno la stessa superficie laterale data da 16ab, essendo 4a e 4b le dimensioni del rettangolo che si ottiene sviluppando la superficie laterale nel piano. 4a 4b Quale dei due contiene più latte? 4a 4b Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 V1 = a2  4b V2 = b2  4a a2  4b ; b2  4a dividiamo per 4ab: a ; b Il volume dipende dallo spigolo di base: se a > b allora V1 > V2 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Il teorema di Pick I poligoni reticolari I poligoni reticolari sono poligoni che hanno i vertici nei punti di un piano cartesiano a coordinate intere. “Che legame c’è tra l’area di un poligono reticolare, i suoi punti interni e i punti del suo perimetro?” Area = I + P/2 – 1 Con questa formula si può calcolare l’area di un triangolo equilatero? E’ sempre possibile decidere se un punto è interno o si trova sul perimetro? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Trovare formule I numeri triangolari n(n + 1) / 2 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Al lavoro con i numeri naturali I numeri quadrati Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Errori per riflettere I numeri quadrati 1 I numeri quadrati 2 Il foglio di brutta Scomposizione 1 Scomposizione 2 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 La spirale dei numeri quadrati Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Le terne pitagoriche Esse sono terne di numeri interi, x, y e z, che soddisfano il teorema di Pitagora: x^2 + y^2 = z^2 Scriviamo i quadrati dei primi venti numeri naturali e tra questi venti quadrati, operiamo la differenza tra ciascun quadrato e il suo precedente. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 121 144 169 196 225 256 289 361 400 23 25 27 29 31 33 35 37 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dall’intuizione alla certezza Osserviamo che 9 è un quadrato, differenza di due quadrati: 25 e 16. Allora i numeri 3, 4, 5, costituiscono una terna pitagorica. Ci sono altre terne pitagoriche? Quante sono? Le terne sono infinite, perché ci sono infiniti numeri quadrati dispari. Guardiamo le prime terne scoperte: com’è una terna rispetto alla precedente? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 3 4 5 1 12 13 2 7 24 21 9 40 41 I numeri della prima colonna sono i numeri naturali. I numeri della seconda colonna sono i numeri dispari a partire da 3, quindi: 3 + 2n I numeri della terza colonna sono dati da: 4 più 4n più quattro volte i numeri triangolari (1, 3, 6, …). Abbiamo quindi la formula: 4 + 4n + 4n(n +1)/2 = 4 + 2n(n + 3) I numeri dell’ultima colonna sono i numeri della colonna precedente aumentati di 1. Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Il crivello di Eratostene 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Euclide e i numeri primi Possiamo scrivere una formula per continuare la sequenza dei numeri primi? Euclide aveva la certezza che i numeri primi fossero infiniti. Aveva supposto che i numeri primi fossero tre: il 2, il 3 e il 5, e aveva scritto un numero non divisibile per nessuno di essi: o era primo o era divisibile per un numero primo diverso da essi. Questo significa che i numeri primi non sono solo tre, ma non sono neppure quattro, o cinque, o …. Euclide però non sapeva determinare il successivo numero primo, a partire da un qualsiasi numero primo: questo è un problema ancora aperto! Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio per calcolare Verifichiamo con Derive la seguente congettura: “Se il resto della divisione di 2^n diviso n è 2, allora n è un numero primo.” n è primo? Per affermare che una congettura è falsa basterebbe un controesempio … controesempio 341 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Sequenze in Excel Esprimi a parole le formule proposte e realizza una sequenza di almeno10 termini per ogni formula, avendo posto n = 0, 1, 2, 3, … 1) = 7*n 2) = 3n 3) = n*(n+1) Osserva le sequenze proposte e visualizza almeno 10 termini di ogni sequenza, esprimendo a parole la formula da inserire : 4) 1 3 5 7 9 … ? 5) 0 3 6 9 12 … ? 6) 0 3 7 15 31 … ? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Un orizzonte infinito L’insieme dei numeri razionali è denso -“Qual è il numero che viene dopo il 10?” -“l’ 11” -“non possiamo dire il 10,1?” - “sì” -“e il 10,01? Dimmi un numero tra 10 e 10,01” -“Ce ne sono infiniti” E’ utile considerare e risolvere i problemi sapendo che tipo di soluzione si cerca e in quale insieme si trova: ha valore riflettere sul finito se si ha presente l’infinito. Ridurre la matematica a ciò che serve è una grave mutilazione della ragione. Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Il percorso minimo Trovare il percorso minimo Quale percorso deve fare la formica per raggiungere il punto B partendo dal punto A, in modo che sia il più breve? A B Disegniamo le due facce del cubo: quando la somma dei segmenti è minima? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Area minima Il quadrato inscritto di area minima In un quadrato ABCD, inscrivi un altro quadrato PQRS, con P su AB. A quale distanza da A deve essere fissato il punto P, perché PQRS abbia area minima? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Congettura e scoperta Qual è la somma degli angoli interni di un quadrilatero? E di un pentagono? E di un poligono di n lati? Qual è la somma degli angoli esterni di un quadrilatero? E di un pentagono? E di un poligono di n lati? Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio per intuire “Sia ABC un triangolo equilatero e P un punto interno qualsiasi. Traccia da P le rette perpendicolari ai lati opposti che intersecano in H, K, L. Calcola la somma delle lunghezze dei segmenti di perpendicolare PH, PK, PL. Verifica che muovendo il punto P all’interno del triangolo, la somma dei segmenti è costante” Spiega perchè si ottiene tale risultato. Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Equazioni e problemi Risolvere problemi con Excel Il problema degli alunni Il problema della pizzeria Il problema delle api EXCEL Un approccio ai problemi per tentativi, può essere un aiuto per l’analisi e la formalizzazione. Occorre tuttavia condurre i ragazzi a rilevare i limiti della macchina. Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio per vedere Disuguaglianze nel triangolo Se in un triangolo sono date le lunghezze di due lati, che valori può assumere la misura del terzo lato? ! Seguire le istruzioni e completare Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Disuguaglianze in Excel Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio … criticamente Risolvere equazioni fratte con Derive Anche con un software per l’algebra ci sono limiti che dobbiamo evidenziare: il simbolo  ci fa capire che l’equazione non ha soluzione, ma non dice perché … Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Verso gli irrazionali Laboratorio con i fogli di carta A4 ottenere un quadrato ottenere un rettangolo 1 x 2 misurare il lato lungo del foglio con il lato corto Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Nel foglio A4 Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 La chiocciola degli irrazionali Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 Obiettivi raggiunti? Rimotivazione Adesione al lavoro proposto Ricaduta positiva come maggiore comprensione degli argomenti svolti Verifiche di laboratorio 1a 2a Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008 grazie e buon lavoro! Ileana Saporiti 25 gennaio 2008