Forma da X Oltre alla già citata stereoscopia, sono molti i metodi per il rilevamento della forma. Si parla di forma da: moto focalizzazioni diverse zoom.

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1 Forma da X Oltre alla già citata stereoscopia, sono molti i metodi per il rilevamento della forma. Si parla di forma da: moto focalizzazioni diverse zoom contorni interferometria laser tessitura ombreggiatura luce strutturata...

2 Forma dallombreggiatura Un po di terminologia radiometrica. Irradianza dellimmagine E(p): potenza luminosa per unità di area ricevuta presso il punto p dellimmagine. Radianza della scena L(P,d): potenza luminosa per unità di area emessa presso il punto P dellimmagine, nella direzione d. Superficie lambertiana: superficie la cui radianza è costante al variare di d.

3 Forma dallombreggiatura

4 Supponiamo che la luce provenga da una sola sorgente. Per una superficie lambertiana vale la seguente relazione, dove I(P) è il vettore (colonna) che ha direzione della luce incidente in P, verso rivolto da P alla sorgente, e modulo uguale alla potenza luminosa per area rispetto ad un piano ortogonale alla sua direzione; n(P) è il versore normale alla superficie in P: L(P) = I(P) T n(P) dove lalbedo è una costante positiva caratteristica del materiale della superficie.

5 Forma dallombreggiatura Lequazione fondamentale della formazione radiometrica dellimmagine è la seguente, dove d è il diametro della lente, f è la distanza focale, è langolo fra lasse ottico e la congiungente il centro ottico con P: Data la ridotta apertura angolare, e data la possibilità di compensare con lottica lultimo fattore, E(p) risulta proporzionale a I(P) T n(P).

6 Forma dallombreggiatura

7 Le possibili direzioni della normale alla superficie nel punto P sono dunque vincolate dallirradianza in p a giacere su un cono quadrico. Losservazione di un singolo punto P non può farci determinare la normale. Nei casi reali, però, avremo conoscenza dei coni relativi a punti di unintera regione (che supporremo di classe C 2 ). Se cè un punto in cui la normale sia nota, allora si può ottenere normale e, conseguentemente, profondità di ogni punto della regione.

8 Forma dallombreggiatura

9 Supponendo che tutta la regione in questione sia illuminata e visibile, quindi rappresentabile come grafico di Z=Z(X,Y), se è nota la profondità di un certo punto P, Z(X 0,Y 0 ), allora la profondità del generico punto di ascissa e ordinata (X 1,Y 1 ) si ottiene da dove p e q sono, in ogni punto, i coefficienti dellequazione z = px + qy + c del piano tangente.

10 Forma dallombreggiatura Avendo ununica sorgente luminosa, la mappa delle normali viene usualmente ottenuta con metodi variazionali. Potendo, invece, regolare lilluminazione ad hoc, si può illuminare la scena con tre sorgenti diverse ed ottenere la normale in ogni punto come intersezione di tre coni. La conoscenza delle normali e delle aree (per poliedri) o delle curvature (per superfici curve) permette la ricostruzione delloggetto tridimensionale!

11 Forma dallombreggiatura

12 Teorema (Minkowski, 1897) - Se, dati due poliedri convessi dello spazio euclideo tridimensionale, esiste unapplicazione biunivoca fra gli insiemi delle loro facce, tale che facce corrispondenti hanno stessa normale e stessa area, allora i due poliedri sono congruenti. Si noti che non si chiede che le facce corrispondenti abbiano lo stesso numero di lati: viene di conseguenza!

13 Forma dallombreggiatura Per fortuna ne esiste una versione liscia. Teorema (Aleksandroff, 1942) - Se, dati due convessi dello spazio euclideo tridimensionale, esiste unapplicazione biunivoca fra gli insiemi dei punti dei loro bordi, tale che in punti corrispondenti la curvatura gaussiana è la stessa, allora i due convessi sono congruenti.

14 Luce strutturata In ambienti controllati è possibile condizionare totalmente lilluminazione e proiettare sulloggetto, di cui si vuole rilevare la forma, una lama di luce o una griglia. La deformazione subita dà indicazioni sulla normale nei punti della superficie. Il calcolo relativo alla proiezione di una griglia può essere ricondotto al calcolo da stereoscopia, in quanto una immagine è costituita dalla griglia non deformata. Si ripresenta, però, il problema della corrispondenza.

15 Luce strutturata

16 Un tentativo di griglia disambiguante.

17 Luce strutturata La sua proiezione su un cilindro.

18 Luce strutturata

19 Uninteressante variante della luce strutturata è luso di frange marezzate (moiré fringes), figure di interferenza (o di battimento) che si ottengono proiettando una griglia molto fine sulla superficie della scena, e interponendo unanaloga griglia davanti allobiettivo. Le frange costituiscono curve di livello di una funzione di Morse definita sulla superficie; i loro punti singolari danno perciò informazioni sulla struttura topologica della superficie stessa.

20 Luce strutturata Lattenzione si concentra sui punti critici della funzione di Morse.

21 Grafo delle viste Una sintesi combinatoria della forma di un poliedro è fornita dal grafo delle viste (aspect graph). Una vista è un insieme di facce del poliedro che può essere visto da una particolare direzione (con verso). Ogni vertice del grafo corrisponde ad una vista, e due vertici sono connessi se e solo se si può passare direttamente fra le viste corrispondenti cambiando direzione.

22 Grafo delle viste

23 Si noti che i vertici corrispondono a classi di equivalenza di punti della sfera di Gauss, per cui sono equivalenti due punti se e solo se rappresentano direzioni con verso da cui si vede la stessa vista. Due vertici sono adiacenti se e solo se le classi di equivalenza sono regioni confinanti. La versione più usata richiede che le regioni confinino per più di un punto. Esiste anche una versione in cui invece di direzioni si considerano punti di osservazione, con proiezione prospettica. Ogni vertice corrisponde allora ad una bolla di spazio.

24 Grafo delle viste Che relazione cè fra le immagini che possono essere registrate da due direzioni (o da due punti) equivalenti? Si tratta di una trasformazione omografica a tratti, cioè tale che su parti diverse dellimmagine agiscono omografie diverse. Nel caso liscio, non ci può essere un insieme di facce, dato che linsieme dei punti visibili cambia con continuità al variare della direzione (o del punto) di vista. Una vista, allora, è definita dal tipo di diffeomorfismo del contorno apparente, cioè della curva formata dai punti della superficie in cui la congiungente col centro ottico è tangente.

25 Grafo delle viste I punti del contorno apparente sono i punti critici della proiezione (cioè quelli in cui il differenziale della proiezione cala di rango).

26 Grafo delle viste Anche questa volta si ottiene una partizione della sfera di Gauss.

27 Grafo delle viste Per di più, le transizioni fra le diverse classi di equivalenza (corrispondenti alle diverse viste) sono etichettabili attraverso dei tipi ben classificati di singolarità, le cosiddette catastrofi elementari.

28 Funzioni di taglia Sia M uno spazio topologico; supponiamo data una funzione misurante continua : M IR. Per ogni numero reale y denotiamo con M y linsieme di tutti i punti di M in cui la funzione misurante assume valori non maggiori di y. Per ogni numero reale y diciamo che due punti P,Q sono y -omotopi se e solo se appartengono alla stessa componente connessa in M y.

29 Funzioni di taglia Chiamiamo funzione di taglia (size function) della coppia di taglia (M, ) la funzione l (M, ) : Rx R N + che associa ad ogni punto (x,y) del piano reale il numero di classi di equivalenza di M x rispetto alla y -omotopia.

30 Funzioni di taglia

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33 Similitudini

34 Funzioni di taglia Affinità

35 Funzioni di taglia Omografie

36 Applicazione al riconoscimento di melanomi

37 Segmentazione (individuazione della zona pigmentata). Separazione in due metà rispetto a 90 rette passanti per il suo baricentro. Confronto delle due metà mediante Funzioni di Taglia rispetto a tre funzioni misuranti diverse, che individuano asimmetrie di bordo, di colore e di strutture. Tracciamento di tre curve che riassumono i confronti e calcolo di alcuni loro parametri caratteristici. Classificazione dei vettori di parametri mediante SVM. Oltre che con la traduzione diretta in funzioni di taglia, ogni immagine di lesione viene trattata come segue. Applicazione al riconoscimento di melanomi

38 Unimmagine ed un suo spezzamento La curva relativa allimmagine Applicazione al riconoscimento di melanomi

39 Applicazione al recupero di immagini Concettualizzazione indotta dallinput: la scelta delle funzioni misuranti è determinata dalla concordanza sulle tre immagini della query.

40 Applicazione al recupero di immagini Gruppo di trasformazioni indotto dallinput.

41 Applicazione al recupero di immagini Senza informazioni semantiche: poligonali generate a caso...

42 Applicazione al recupero di immagini … e curve lisce a tratti generate a caso.

43 Applicazione al recupero di immagini Un campione del nostro database di 498 schizzi.

44 Applicazione al recupero di immagini Una query e i primi 10 risultati.

45 Applicazione al recupero di immagini La funzione misurante può risultare inadatta...

46 Applicazione al recupero di immagini …ma può essere cambiata.

47 Applicazione al recupero di immagini La sfida di un database pubblico. de Trazegnies et al. (2002) noi

48 Applicazione al recupero di immagini La sfida di un database pubblico. Query 1 2 3 de Trazegnies et al. (2002) noi

49 CONCLUSIONI Di matematica nella visione ce nè tanta, ma ce ne potrebbe (dovrebbe? ) essere molta di più!