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PROBLEMI DI CLASSIFICAZIONE In una fissata categoria il problema della classificazione consiste nel problema dellesistenza di un algoritmo capace di stabilire, in un numero finito di passi, se due dati oggetti sono o non sono isomorfi. La categoria a cui siamo interessati è quella che ha per oggetti le varietà topologiche n-dimensionali e per isomorfismi gli omeomorfismi. Quindi la domanda che ci poniamo è: date due varietà n-dimensionali è possibile stabilire se siano o meno omeomorfe? Visto che un omeomorfismo porta componenti connesse in componenti connesse ci limiteremo ad analizzare il caso di varietà connesse. Inoltre il caso di varietà con bordo deriva dallanalisi delle componenti di bordo (che sono varietà (n-1)-dimensionali) e dal caso senza bordo. Prenderemo quindi in esame solo varietà senza bordo.
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UN PO DI STORIA I n=1compatto: ogni curva è omeomorfa alla circonferenza. non compatto: ogni curva che soddisfa il II assioma di numerabilità è omeomorfa alla retta. La condizione aggiuntiva è necessaria in quanto esiste un controesempio: la lunga retta. n=2 compatto: si è giunti ad una classificazione grazie al contributo di numerosi matematici tra cui Riemann, Moebius, Klain, Poincaré, Seifert, Jordan (orientabile). La formulazione del teorema di calssificazione, nella forma che vedremo noi, è di Von Dick (1888) mentre la dimostrazione è di Brahana (1921). non compatto: il teorema di classificazione è stato formulato inizialmente da Kerékjàrtò (1922-1923) e poi sistemato da Richards (1963).
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UN PO DI STORIA II n=3 ancora irrisolto. La ricerca di un teorema di classificazione risale agli inizi del 1900 (Poincarè). Sono stati fatti tentativi con tecniche molto diverse fra loro: rivestimenti (Montersinos, Hilden), decomposizioni di Heegaard, cristallizzazioni (Pezzana). Negli anni70 Thurston introduce un approccio completamente diverso, che fa uso di strutture geometriche, e formula la sua famosa Congettura di Geometrizzazione. Nel 2001 Perelman annuncia una dimostrazione che attualmente è ancora sotto revisione. Il Teorema di Geometrizzazione non darebbe luogo ad una clsssificazione delle 3-varietà, ma avvicinerebbe di molto ad una soluzione del problema. n>3 risolto in senso negativo. Nel 1958 Markow dimostra che non può esistere un algoritmo finito di classificazione utilizzando un risultato di non esistenza di una classificazione dei gruppi finitamente generati (Adjan, 1955).
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IL CASO DELLE SUPERFICI
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GENERE DI UNA SUPERFICE
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SUPERFICI E POLIGONI Sia E un poligono regolare con un numero pari di lati e,e,…,e. 122n 1) scegliamo un senso di percorrenza su ogni lato e chiamiamo V il vertice iniziale del lato k. 2) scegliamo un accoppiamento tra i lati del poligono. Sia ~ la relazione di equivalenza sullinsieme dei punti di E definita da P~P se P=P oppure Pєe,Pє e, e ed e sono lati accoppiati e V P=V P. k k k hkh h [P]={P} se P è interno. [P]={P,P} se P e P sono punti interni di lati accoppiati. Infine se P è un vertice del poligono la cardinalità di [P] dipende dalle scelte fatte, ma in ogni caso è facile verificare che lunione degli intorni dei punti in [P] forma un disco. e 1 e 5 e 3 e 4 e 6 e 2 V 2 V 4 V =V 56 V 3 V 1 e 1 e 5 e 4 e 6 e 3 e 2 Quale superficie è? Allora E/ ~ è una superficie. Verifichiamolo:
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a b c a c b c c b b a a d d d c a a c b d a a d c d c d b a a d c d c dd e e E un toro! e e Osserviamo che i lati del poligono determinano un grafo sulla superficie e tutte le operazioni fatte (tranne lultima) cambiano il grafo, ma non la superficie. Lultima operazione consiste in un omeomorfismo di poligoni che passa al quoziente, determinando quindi un omeomorfismo di superfici.
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