Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie.

Presentazione sul tema: "Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie."— Transcript della presentazione:

1 Lancio dadi Analisi probabilità esito somme varie

2 La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi che siano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale degli eventi possibili Px = nx / ntotali Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6 eventi totali possibili = 6 eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numero P1 = 1/6 P2= 1/6 P3 = 1/6 P4 = 1/6 P5 = 1/6 P6 = 1/6

3 Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15
Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15 Frequenza relativa = numero successi / numero prove f = x / n Lanciando un dado volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ? F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25 Lancio singolo: eventi possibili = 6 evento favorevole a 4 = 1 P3 = 1 / 6 = 4 0.1666/ 1 = x /10000 x = 1666 È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzione anche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento

4 Simulazione lancio di un dado (1,2,3,4,5,6)
Visualizzazione esiti per 400 lanci, ripetuti per 6 volte: totale 2400 lanci Per ogni 400 lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6 Per lanci si visualizzano esiti per 1,2,3,4,5,6 Per 2400 lanci si visualizzano percentuali per 1,2,3,4,5,6 :somma = 1 Probabilità per uscita 1,2,3,4,5,6 = 1 / 6 = 0.166 Probabilità risultanti da esperimento (2400 lanci), si approssimano a teoriche 0.164 – – – 0.165 0.166

5 Primi 400 lanci del dado

6 Eseguiti 1200 lanci ( 3 volte 400)

7 Eseguiti 2400 lanci : 6 volte 400: tabella globale esperimento

8 Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = d1 = d2 numeri uguali (11,22,33,44,55,66) = 6 p(E1) = 6/36 E2 = d1 + d2 = 6 (15,24,33,24,15) = 5 p(E2) = 5 / 36 = 5/36 E3 = (E1 ∩ E2 ) = (33) = 1 P(E3) = 1/36 E12=escono due numeri uguali (E1) oppure la somma = 6 (E2) p(E12) = p(E1) + pE2) – p(E3) = 6/ /36 -1 /36 = 10 /36 = 5 / 18

9 Lancio contemporaneo di due dadi
E1 = non esce numero 1 (25) p(E1) = 25/36 E2 = somma facce = 5 (4) p(E2) = 4/36 E12 = non esce numero 1 (E1) oppure somma due numeri = 5 (E2) E3 = coppie comuni,intersezione (2) p(E3) = 2/36 p(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 25/36 + 4/36 – 2/36 = 3/4

10 Lancio di un dado: (1,2,3,4,5,6) E1 = esce pari (2,,4,6) =3………………………p(e1) = 3/6 E2 = esce < 5 (1,2,3,4)= 4…………………….p(e2) = 4/6 E3 = in comune , intersezione (2,4) = 2……..p(E3) = 2/6 E12 = esce E1 o E2 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E3) = 3 / 6 + 4/6 – 2/6 = 5/6 E1 1 3 2 4 6 E2 E3

11 Lancio di due dadi: probabilità di ottenere determinate somme con 36 lanci

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16 Osservare andamento diagrammi
200 prove 36 prove Osservare andamento diagrammi

17 Lancio di un dado S = 6 (1,2,3,4,5,6) Calcola probabilità uscita numero diverso da 2, non minore di 6, non maggiore di 3, non primo E1 = ≠ 2 (1,3,4,5,6) p(E1) = 5 / 6 E2 = non < 6 ( 6 ) p(E2) = 1 /6 E3 = non > 3 (1,2,3) p(E3) = 3 / 6 = 1 / 2 E4 = non primo (2,4,6) p(E4) = 3/6 = 1/2

18 Esercizi con soluzione
uso di probabilità semplice teoremi su probabilità calcolo combinatorio descrizione mediante immagini per didattica medio-elementare

19 Lancio consecutivo di un dado per due volte = lancio contemporaneo 2 dadi
E1 = non esce il 6 ( 1,2,3,4,5) Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D6,2 = 6^2 = 36 Eventi favorevoli = disposizioni con ripetizione Dn,k = D5,2 = 5^2 = 25 Calcola probabilità E1 (esce 1,2,3,4,5) = Pf / Pp = 25 /36

20 1 2 3 4 5 1 >> 1 ….5 (4) >> 2 …5 (3) >> 3…..5 (2) >> 1 …5 (1) >> 1…5 ( 0) Doppiette valide = 10 Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

21 486/38 Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6) n E1 = uscita numero maggiore di 2 (3,4,5,6) P(E1) = 4/6 E2 = uscita numero pari (2,4,6) P(E2)= 3/6 E12 = uscita numero pari o > 2 (2,4,6…3,4,5,6) ..(4,6) P(E12) = 2/6 2 4 6 3 5 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 4/6 + 3/6 – 2/6 = 5/6

22 486/38 Lancio di un dado (1,2,3,4,5,6) n E1 = uscita numero maggiore di 3 (4,5,6) P(E1) = 3/6 E2 = uscita numero <6 (1,2,3,4,5) P(E2)= 5/6 E12 = uscita numero >3 o < 6 ((4,5,6)..(1,2,3,4,5))..4,5 P(E12) = 2/6 1,2,3 4 5 6 P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2) = 3/6 + 5/6 – 2/6 = 6/6 = 1

23 Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presenta un evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n Il rapporto tra il numero dei successi e il numero di prove va aumentando con il numero delle prove e il rapporto tra successi e prove si avvicina al valore della probabilità

24 Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6
Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166

25 Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale

26 Ricerca su totale 499 e parziale 399
Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

27 Ricerca su parziale 299 e 199 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

28 Ricerca su parziale 99 e 1 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

29 Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

30 Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

31 Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

32 Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale
Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

33 Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità

34 D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3
D = evento differenza tra insieme E1 e E2: D = E1 – E2 si verifica quando si presenta E1 ma non E2: formato da elementi di E1 e non di E2 D si verifica se esce un numero divisore di 6 ,minore di 3 D={ 1, 2 } E1 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6 E2 = esce numero non inferiore a 3 (3, 4, 5, 6) E1 1 2 3 6 4 5 E2 D B E1 A E2 D Insieme differenza D : A - B Comprende gli elementi di A che non appartengono a B

35 A = evento contrario di A formato dagli elementi di X che non appartengono ad A A complementare di A rispetto a X Due eventi sono contrari se uno si verifica quando non si verifica l’altro { 1,2,3 } A= A = esce numero minore di 4 A { 4, 5,6 } B= Non esce A 4 5 6 1 2 3 { 1,2, 3 ,4, 5,6 } X=

36 Due ( o più) eventi , appartenenti allo stesso insieme di eventi, X, sono incompatibili se il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro Ed = esce numero dispari ( ) 1 3 5 X Ep = esce numero pari ( ) Ep ∩ Ed = Ø

37 C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3
C = evento totale o somma logica o unione di E1, E2 se si verifica almeno uno degli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad almeno uno dei due eventi C si verifica se esce un numero dispari o multiplo di 3 C={ 1, 3, 5, 6 } E1 = esce numero dispari ( ) 1 5 3 6 4 E2 = esce numero multiplodi 3 (3 6 ) 2 C = E1 U E2 = { 3 } { 1,2,3,4,5,6 } X=

38 D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6
D = evento composto,prodotto logico,intersezione di E1, E2 se si verificano entrambi gli eventi E1, E2 :comprende elementi che appartengono ad entrambi gli eventi D si verifica se esce un numero dispari e divisore di 6 D={ 1, 3 } E1 = esce numero dispari ( ) 5 1 3 4 E2 = esce numero divisore di 6 (1,2,3,6 D = E1 ∩ E2 = { 1,3 } { 1,2,3,4,5,6 } X=

39 Lancio di un dado :probabilità che esca numero dispari o 2
pEd = 3/6 pEp = 3/6 pE2 = 1/6 Ed = 1,3,5 Ep = 2,4,6 Ed U Ep = (1,3,5,2) 1 , 3 , 5 2 Unione di due eventi P (Ed U Ep) = 4/6 P (Ed U Ep ) = pEd + pEp = 3/6 + 1/6 = 4/6 Ed U Ep = Intersezione Ed e Ep = insieme vuoto Ed , Ep incompatibili La probabilità della unione di eventi incompatibili (totale) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

40 Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (A | B) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2 P(A) = A / S = 11/36 = < 0.5 : p(A | B) > p(A) Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

41 Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (B | A) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18 P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 ) p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11 Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

42 Se risulta p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti

43 Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

44 Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionante B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionato A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (A | B) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 P(A | B) = ( A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1/2 P(A) = A / S = 11/36 = < 0.5 : p(A | B) > p(A) Evento A correlato positivamente a evento B: aumenta probabilità

45 Eventi correlati Lancio di due dadi :S = 36 coppie di esiti evento condizionato B = somma dei due numeri dei due dadi sia 5 evento condizionante A = uno dei due dadi fornisce 2 Calcolare la probabilità di (B | A) X 2 B = [(1,4), (2,3),(3,2),(4,1)] eventi che forniscono come somma 5: 4 A =[(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)]: 11 eventi che forniscono almeno un 2 e somma 5 (A ∩ B) = [(2,3),(3,2)]: 2 eventi che forniscono insieme 5 e 2 p(B | A) = (A ∩ B) / A = 2 /11 = 0.18 P(B)= 4/36 = 1 /9 = 0.11 ) p(B | A) > p(B) : 0.18 > 0.11 Evento B correlato positivamente a evento A: aumenta probabilità

46 Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6 Lancio di una moneta tre volte : spazio campionario S = Sm * Sm * Sm =(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

47 Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari
Numero oggetti n = 6 (1,2,3,4,5,6) evento x numero pari (2,4,6) = 3 Px = x / n = 3 /6 = 1/2 Dato un mazzo con 40 carte (10 quadri, 10 cuori, 10 fiori, 10 picche) n = 40 calcolare probabilità di estrarre una figura (12 su 40): Pf calcola probabilità di estrarre un asso (4 su 40) :Pa calcola probabilità di estrarre asso rosso (2 su 4):Pr Pf = 12/40 = 3/10 Pa = 4 / 40 = 1 / 10 Pr = 2 / 40 = 1 /20

48 Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
Lanciando un dado, calcola probabilità che esca numero muliplo di 2 oggetti n = 6 evento (2,4,6) = 3 Px = 3/6 = 1/2

49 Lancio di due dadi : eventi possibili = 36:
Probabilità che la somma di due numeri risulti 4 ? Evento (2+2, 1+3, 3+1) = 3….Px = 3 /36 = 1/12 Probabilità che la somma sia minore di 5 ? Evento(1+1,1+2,2+1, 2+2,1+3,3+1) = 6 …Px = 6/36 = 1/6 Probabilità che non esca 1 ? Evento(n azzurri ) = 25…..Px = 25/36 Probabilità che escano due numeri pari ? Evento (….) 9 ….Px = 9/36 = 1/4

50 Colonne A, B valori dei due dadi colonna D somma valori dei due dadi per ogni lancio colonna E conta comparsa somme uguali per valori d 2 a 12

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52 Somme uguali con stesso colore, diverso per ogni somma
Vedi esempio soluzione con excel

53 Somma < 5 =1/6……due numeri pari = 1/4

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55 25 lanci senza comparsa di 1
Px = 25/36

56 Programma per trovare lanci senza comparsa di 1

57 Ricerca probabilità due dadi usando programma su excel