16) STATISTICA pag.22. Frequenze frequenza assoluta (o frequenza): numero che esprime quante volte un certo valore compare in una rilevazione statistica.

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1 16) STATISTICA pag.22

2 Frequenze frequenza assoluta (o frequenza): numero che esprime quante volte un certo valore compare in una rilevazione statistica frequenza relativa: rapporto fra la frequenza assoluta di un certo valore e numero di individui su cui si è fatta la rilevazione:. –È sempre un numero fra 0 e 1. frequenza percentuale: è il valore della f r moltiplicato per 100:

3 Indici di posizione centrale Media aritmetica = = (se alcune modalità sono negative, vanno prese col loro segno). Moda: è il valore che si presenta con la frequenza assoluta più alta. Mediana: se i valori sono disposti in ordine crescente (i valori ripetuti vanno presi in considerazione!), la mediana è: –il valore centrale, se N è dispari –la media dei due valori centrali, se N è pari

4 Esempio di calcolo di una mediana Età degli intervistati: 1817 1819 mediana 1817 18 mediana

5 Variabilità

6 Scarti scarti semplici (o scarti) dalla media = differenze fra i valori e la loro media scarti assoluti = scarti semplici presi in valore assoluto scarti quadratici = scarti semplici elevati al quadrato Proprietà fondamentale degli scarti semplici: la somma algebrica di tutti gli scarti semplici è sempre 0.

7 Indici di variabilità Campo di variabilità (o range): differenza fra il valore massimo e quello minimo Scarto semplice medio: media degli scarti (presi in valore assoluto). Scarto quadratico medio: è la radice quadrata della media degli scarti elevati al quadrato.

8 Variabilità Range = 6

9 Test La moda dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4 è: 7 4 5 3 non è calcolabile

10 Test La mediana dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è: 4,5 4 5 3 non è calcolabile

11 Test Uno studente ha la media del 5,5 in 4 prove; quale voto minimo deve prendere nella verifica successiva per assicurarsi la media del 6? a. 6 b. 6,5 c. 7 d. 7,5 e. 8

12 Test Il campo di variabilità dei valori 1, 4, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 4, 4, 2, 2, 3, 3 è: 8 1 5 7 non è calcolabile

13 17) CALCOLO COMBINATORIO PAG. 23

14 Problema 1 15 persone devono eleggere fra loro 3 persone con i seguenti ruoli: Presidente Vicepresidente Segretario Quante diverse terne possono essere elette?

15 Ogni terna è diversa dalle altre… …per gli elementi che la formano …scelte 3 persone, per il ruolo da esse assunto (c’è un ORDINAMENTO interno) Non sono possibili ripetizioni

16 In generale, devo trovare il numero di tutti i possibili gruppi costituibili con k elementi presi fra gli n considerando ogni gruppo diverso dagli altri –o per gli elementi contenuti –o per l’ordine. Non sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo

17 Il risultato del conteggio è indicato con il simbolo D n,k = = numero delle disposizioni di k elementi scelti fra n elementi

18 Soluzione del problema 1 (metodo delle cellette) Pres.Vice.Segr. Uno dei 15 Uno dei 14 rimanenti Uno dei 13 rimanenti 15 possibilità 14 possibilità 13 possibilità xx

19 Problema Quanti numeri di 3 cifre posso formare, utilizzando le cifre 1,2,3,4,5 (anche ripetute)?

20 Importa QUALI CIFRE sono nella terna Importa, scelte 3 cifre, il loro ORDINAMENTO Sono possibili ripetizioni

21 In generale, devo trovare il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n tali che ogni gruppo è diverso dagli altri –per gli elementi contenuti –o per l’ordine. Sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo.

22 Il risultato del conteggio è indicato con il simbolo D’ n,k = = numero delle disposizioni con ripetizione di k elementi scelti fra n elementi

23 Soluzione del problema 2 Quanti numeri di 3 cifre posso formare, utilizzando le cifre 1,2,3,4,5 (anche ripetute)? 1ª cifra2ª cifra3ª cifra Uno dei 5 5 possibilità 5 possibilità 5 possibilità xx

24 Problema Quanti sono i modi di ordinare 5 libri su uno scaffale? Quanti sono gli anagrammi di AMORE?

25 Conta solo l’ordinamento Uso tutti gli oggetti a disposizione

26 Il risultato del conteggio è indicato con il simbolo P k = = numero delle permutazioni di k elementi N.B.: 1! = 1, 0! = 1.

27 Problema Ho 10 libri Devo sceglierne due da portare al mare. Quante coppie di libri posso portare?

28 Importa QUALI LIBRI metto in valigia Non importa il loro ordinamento Non sono possibili ripetizioni dello stesso libro

29 In generale, devo trovare il numero di tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi presi fra gli n tali che ogni gruppo è diverso dagli altri –per gli elementi contenuti Non sono ammesse ripetizioni di elementi in un gruppo.

30 Il risultato del conteggio è indicato con il simbolo C n,k = = numero delle combinazioni di k elementi scelti fra n elementi

31 Binomio di Newton Il simbolo è un sinonimo di C n,k ed è stato introdotto da Newton nella celebre formula per lo sviluppo di (a + b) n. (formula del binomio di Newton) si legge “n su k” ed è detto coefficiente binomiale.

32 Test Disponendo delle cifre da 1 a 7, quanti diversi numeri di 3 cifre si possono comporre, accettando le ripetizioni? a. 210 b. 350 c. 7 3 d. 3 7 e. infiniti

33 Test Quanti sono i modi distinti di realizzare un poker d’assi (4 assi e 1 carta diversa) scegliendo in un mazzo di 52 carte da gioco? 48 13 4 26 quesito senza soluzione univoca o corretta

34 Test Quanti terne non ordinate si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto? a. 2600 b. 1330 c. 63 d. 213 e. 321

35 Test Quanti sono i termini dello sviluppo di (a + b) 5 ? 5 25 7 6 2 5

36 18) PROBABILITÀ Pag. 24

37 La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1

38 Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell’uno impedisce il verificarsi dell’altro. Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi l’altro.

39 Teoremi per il calcolo della probabilità di eventi composti Col connettivo “o”: se A, B sono incompatibili (o disgiunti) se A, B sono compatibili

40 Teoremi per il calcolo della probabilità di eventi composti Col connettivo “e”: se A, B sono indipendenti se A, B sono dipendenti dove è la probabilità che si verifichi B, sapendo che si è già verificato A

41 Teoremi per il calcolo della probabilità di eventi composti Col connettivo “non”:

42 Test Due dadi sono lanciati insieme. Qual è la probabilità di ottenere un punteggio maggiore di 4? 1/6 5/5 5/6 7/6 4/36 123456 1 2 3 4 5 6

43 Test In una popolazione la probabilità di essere pittore è 0,03. La probabilità di essere musicista è 0,05. La probabilità di essere pittore e musicista è 0,01. Qual è la probabilità che un individuo preso a caso sia pittore e/o musicista? 7% 70% 8% 80% quesito senza soluzione univoca o corretta essere pittore ed essere musicista sono eventi compatibili; quindi p(P o M) = p(P) + p(M) – p(P e M) = 0,03 + 0,05 – 0,01 = 0,07

44 Test Si hanno due dadi con le facce di colori diversi. Ciascun dado ha 3 facce azzurre, 2 marroni e 1 verde. La probabilità che dopo un lancio simultaneo dei due dadi si ottengano facce dello stesso colore è: 7/18 6/36 1/4 1/9 1/36 Suggerimento: p[(A e A) o (M e M) o (V e V)]= =p(A e A) + p(M e M) + p(V e V) = =p(A)p(A)+ p(M)p(M)+ p(V)p(V)=(3/6) 2 +(2/6) 2 +(1/6) 2

45 Oppure Casi possibili: 36 Casi favorevoli: 9+4+1 Probabilità = 14/36 = = 7/18 *** *** *** ** ** *

46 Test Una moneta è lanciata 5 volte. Qual è la probabilità di ottenere 3 croci e due teste, sapendo che la prima volta si è ottenuto croce? 1/16 1/8 3/16 5/16 3/8 Suggerimento: poiché la prima volta è uscito croce, occorre che ora escano 2 croci e 2 teste: p(C e C e T e T) = p(C)p(C)p(T)p(T)= =(1/2) 4 =1/16. Ma le due croci e le due teste non necessariamente devono uscire nell’ordine CCTT; potrebbero anche uscire nell’ordine CTCT o CTTC o TTCC o TCCT o TCTC. In tutto in 6 possibili ordini. Quindi la probabilità richiesta è 6/16.