BIRIFRANGENZA E DISPERSIONE DI POLARIZZAZIONE Silvello Betti.

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1 BIRIFRANGENZA E DISPERSIONE DI POLARIZZAZIONE Silvello Betti

2 Origine degli effetti di polarizzazione in fibra ottica In una fibra ottica singolo-modo, un campo e.m. con arbitraria polarizzazione può essere rappresentato mediante la sovrapposizione lineare di due modi HE 11 con polarizzazioni ortogonali (HE x 11 e HE y 11 ). In condizioni ideali, per la simmetria cilindrica della struttura guidante, i due modi sono indistinguibili (degeneri), ma tale degenerazione, che rende valido il termine “singolo-modo”, è ottenuta ad un livello più o meno elevato nelle fibre reali in relazione al processo di costruzione e all’entità degli stress meccanici esterni cui è sottoposta la fibra. Le fibre reali sono caratterizzate da un certo grado di anisotropia dovuta alla perdita casuale della simmetria circolare. Tale condizione dà luogo a due distinti modi HE 11, con polarizzazioni ortogonali e differenti velocità di gruppo. ideale Cladding ellittico core ellittico Stress asimmetrici HE x 11 HE y 11 Modi ottici

3 Richiami relativi alla polarizzazione di un campo e.m. (1) In termini generali un campo e.m. a frequenza angolare  può essere espresso nella forma E(r,t) = 2Re[Ê(r) e j  t ] H(r,t) = 2Re[Ĥ(r) e j  t ] in cui Ê e Ĥ sono quantità complesse di carattere vettoriale Ê = (E xr +jE xj )x 0 + (E yr +jE yj )y 0 + (E zr +jE zj )z 0 = E r + jE j ed analogamente per Ĥ. Le componenti di tali “vettori” sono complesse e pertanto essi non sono rappresentabili nello spazio ordinario mentre lo sono i vettori “reale” (E r, H r ) e “immaginario” (E j, H j ).

4 Richiami relativi alla polarizzazione di un campo e.m. (2) A partire dalle definizioni iniziali, il vettore funzione del tempo può essere espresso mediante i vettori “reale” e “immaginario”, ottenendo E(t)/2= Re[(E r +jE j ) (cos  t+jsen  t)] = E r cos  t - E j sen  t che mostra come, in generale, E(t) descriva un’ellisse nel piano individuato da E r ed E j (polarizzazione ellittica). In casi particolari, l’ellisse degenera in - circonferenza (nel caso in cui E r ·E j =0 e  E r  =  E j  ): polarizzazione circolare; - segmento di retta (nel caso in cui E r xE j =0): polarizzazione lineare.

5 Stato di polarizzazione Esempi di polarizzazione al variare della differenza di fase Φ= Φ x - Φ y tra le componenti E x e E y, nel caso in cui |E x | = |E y | Φ = 0 Φ = -  /2Φ = -  /4 Φ = -  Φ =  /2Φ = 3  /4 ellisse di polarizzazione x y X Y |E x | |E y | ab   Fissato un sistema di riferimento nel piano cartesiano (x, y), un generico stato di polarizzazione richiede due parametri angolari: - l’angolo di inclinazione tra l’asse maggiore dell’ellisse e la direzione orizzontale (azimuth,  ); - l’angolo che indica il grado di ellitticità (ellitticità,  )

6 Equazioni dei modi accoppiati (1) Dato che in una fibra ottica singolo-modo, un campo e.m. con arbitraria polarizzazione può essere rappresentato mediante la sovrapposizione lineare di due “modi” con polarizzazioni ortogonali HE x 11 e HE y 11, è possibile utilizzare la teoria dei modi accoppiati, valida nell’ipotesi di “debole” accoppiamento, condizione normalmente soddisfatta in fibra ottica. Pertanto, trascurando per semplicità l’attenuazione, un generico campo monocromatico che si propaga in fibra ottica può essere espresso nella forma E(x, y, z) = [a x (z) E x (x, y) e -j  x z + a y (z) E y (x, y) e -j  y z ] in cui E x (x, y) ed E y (x, y) sono i campi elettrici riferiti ai “modi” HE x 11 ed HE y 11,  x e  y le costanti di propagazione, a x (z) ed a y (z) sono funzioni complesse di z, le quali possono essere ricavate imponendo che l’espressione precedente sia soluzione delle equazioni di Maxwell.

7 Equazioni dei modi accoppiati (2) Sulla base delle precedenti considerazioni, nell’ipotesi di perturbazioni “deboli”, tali da modificare le funzioni a x (z) ed a y (z) della combinazione lineare, mantenendo comunque invariata la struttura modale, con l’ulteriore ipotesi che  x   y, è possibile dimostrare che tali funzioni soddisfano le seguenti equazioni accoppiate in cui k ij sono parametri definiti mediante relazioni integrali a partire dai campi e dalle perturbazioni (coefficienti di accoppiamento). Le precedenti equazioni mostrano che può esistere sia un fenomeno di battimento tra i modi (k xx  k yy e k xy =0), sia uno scambio di potenza (k xx = k yy e k xy  0), sia la coesistenza di entrambi, condizione che si verifica in fibra ottica.

8 Birifrangenza lineare costante (1) Se sottoposta ad una perturbazione esterna, ipotizzabile, in prima approssimazione, uniforme, una fibra ottica singolo-modo diventa “bimodale”, a causa della perdita della condizione di degenerazione dei modi HE 11. In questo caso, la fibra può essere considerata come un mezzo lineare birifrangente, con indici di rifrazione n x ed n y diversi lungo i due assi principali di birifrangenza. Questa condizione può essere modellata considerando la differenza delle costanti di propagazione riferite ai due “modi” con polarizzazioni ortogonali  =  x -  y = (n x -n y )  /c =  n eff  /c Tale parametro può essere assunto come misura della birifrangenza della fibra. Spesso ci si riferisce al valore di  n eff che, tipicamente, varia nell’intervallo 10 -7 - 10 -5.

9 Lunghezza di battimento Nella figura è mostrata l’evoluzione spaziale dello stato di polarizzazione (SOP, State of Polarization), causata da birifrangenza uniforme. La figura mostra il caso di un campo e.m. polarizzato linearmente a 45° rispetto agli assi di birifrangenza della fibra. La polarizzazione evolve dallo stato lineare d’ingresso attraverso stati ellittici fino a riassumere lo stato iniziale con una periodicità spaziale definita dalla lunghezza di battimento L B = /  n eff. Questa evoluzione ciclica prescinde dallo specifico stato di polarizzazione d’ingresso e si verifica durante tutta la propagazione.

10 Lunghezza di accoppiamento modale l c Parametro fondamentale per caratterizzare l’evoluzione del SOP in fibra è la lunghezza di accoppiamento l c, definita in base alla figura seguente Asse della fibra / SOP di ingresso P || = 1 P  = 0 P ||  P  = 1/2 Se si accoppia in fibra un campo ottico il cui SOP è allineato lungo una delle due direzioni relative ai modi di polarizzazione ortogonali (assi della fibra), a causa di variazioni della birifrangenza dovute a perturbazioni aleatorie, il SOP evolve dallo stato lineare di ingresso ad uno stato di polarizzazione, in corrispondenza ad una distanza l c, che corrisponde alla equiripartizione della potenza ottica di ingresso tra i due SOP ortogonali, corrispondenti ai due modi di polarizzazione della fibra.

11 Rappresentazione secondo Jones L’approccio basato sul formalismo dei modi accoppiati ha permesso l’introduzione di una rappresentazione (Jones) dell’evoluzione della polarizzazione del campo e.m. durante la propagazione in fibra ottica. In condizioni di propagazione lineare, in corrispondenza ad una distanza z dall’ingresso della fibra, il campo E(z) può essere espresso mediante la matrice di trasferimento T (matrice di Jones), in base alla relazione E(z) = T(z) E o T(z) = e (-  /2+j  )z U(z) in cui E o è il campo in ingresso ed U(z) una matrice unitaria (tale per cui U -1 =U † ), a coefficienti complessi, espressa da con |u 1 | 2 + | u 2 | 2 = 1.

12 Birifrangenza lineare costante (2) Nel sistema di riferimento solidale con gli assi principali di birifrangenza, la matrice di trasferimento può essere rappresentata nella forma in cui si è tenuto conto dell’ovvia dipendenza dei parametri dalla frequenza angolare  e si è posto  (  )=[  x (  )+  y (  )]/2 e  (  )=  x (  )-  y (  ). Poiché la birifrangenza  (  ) dipende dalla frequenza, componenti spettrali diverse avranno, in generale, stati di polarizzazione (SOP) diversi. Se si espande  (  ) in serie di McLaurin (intorno ad   =0),  (  ) =  0 +  1  + … troncando al prim’ordine e ponendo  =  1 z si ottiene

13 Birifrangenza lineare (3) La dipendenza della birifrangenza dalla frequenza determina un ritardo differenziale di gruppo,  (DGD, Differential Group Delay) tra le due polarizzazioni ortogonali, che provoca un allargamento temporale del segnale in uscita. Nella precedente analisi è stata considerata una fibra birifrangente nell’ipotesi che gli assi x ed y del sistema di riferimento cartesiano coincidano con i due assi principali di birifrangenza della fibra. In realtà, tali direzioni ortogonali non sono in genere note in una fibra, essendo determinate dalle caratteristiche geometriche del nucleo che, ovviamente, sono note solo in termini medi. Inoltre, tali assi ortogonali non sono fissi ma variano con la distanza e la frequenza poiché, nella realtà, la birifrangenza non si mantiene costante lungo la fibra a causa della presenza di tensioni locali e disomogeneità, determinate sia dal processo di fabbricazione sia dall’installazione del cavo ottico. In generale, quindi, la matrice di trasferimento non risulta essere più diagonale ma assumerà la forma T(z,  ) = e (-  /2 + j  (  ))z U(z,  ) ove, in assenza di perdite dipendenti dalla polarizzazione, U(z,  ) è una matrice unitaria.

14 Ritardo differenziale di gruppo (DGD) Il ritardo tra i due modi degeneri della fibra, denominato ritardo differenziale di gruppo,  (DGD, Differential Group Delay) rappresenta un limite per la massima velocità di trasmissione del sistema, poiché determina un allargamento dell’impulso. Tale effetto, che prende il nome di Dispersione di Polarizzazione (PMD, Polarization Mode Dispersion), presenta caratteristiche di aleatorietà tali da renderne difficoltosa la compensazione.  SOP

15 Birifrangenza Δn eff = n x - n y β x (ω) = n x (ω)·k 0 e β y (ω) = n y (ω)·k 0 k 0 = 2π/λ 0 dβ(ω) / dω = τ g x y x y ττ nxnx nyny

16 Considerazioni generali sulla PMD Impulso in uscita y x x y z L T bit Impulso in ingresso

17 Ritardo Differenziale di Gruppo Nel caso di spezzoni di fibra di lunghezza limitata, oppure in fibre a mantenimento di polarizzazione (fibre PMF), in cui la birifrangenza può essere considerata uniforme,  risulta proporzionale alla lunghezza L, così da poter caratterizzare il fenomeno della PMD mediante il parametro  /L, misurato in ps/km. Nel caso invece di tratte di fibra di elevata lunghezza in cui, cioè, non sia più valida la condizione di uniformità, la PMD è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza della fibra ottica, così da poterla caratterizzare, come verrà dimostrato nel seguito della trattazione, mediante il parametro  /  L, misurato in ps/  km.

18 Rappresentazione nello spazio di Stokes Per rappresentare lo stato di polarizzazione (SOP, State of Polarization) di un generico campo E = (E x, E y ), è possibile adottare il formalismo di Stokes, introducendo il vettore di Stokes, il quale evolve dinamicamente su una sfera, di raggio unitario con opportune normalizzazioni, denominata sfera di Poincaré Dato che la dipendenza del campo elettrico da z è di tipo lineare, il vettore di Stokes, rappresentativo dello stato di polarizzazione dello stesso campo, soddisfa la relazione lineare in cui M(z) è una matrice 3x3 a coefficienti reali, legata alla matrice di Jones, che prende il nome di matrice di Müller.

19 Vettore di Stokes e sfera di Poincaré S1S1 S2S2 S3S3 S0S0 22 22 Introducendo sulla sfera di raggio unitario un sistema di coordinate sferiche, con coordinate angolari 2  e 2 , si ottiene

20 Matrice di Müller e vettore di birifrangenza Tenendo conto della definizione della matrice di Müller si ottiene, derivando rispetto a z, La precedente relazione mostra come sia possibile definire un vettore tale che Tale vettore è noto come VETTORE DI BIRIFRANGENZA.

21 Si è già mostrato come le proprietà trasmissive di una fibra “birifrangente” possano essere analizzate mediante una matrice di trasmissione 2x2, a coefficienti complessi (matrice di Jones). Se si mette in evidenza la dipendenza dalla frequenza si può scrivere in cui u 1 (  ) e u 2 (  ) sono grandezze complesse, tali da soddisfare la condizione |u 1 (  )| 2 + |u 2 (  )| 2 = 1 Il vettore campo elettrico E 2 (ω), riferito al segnale ottico all’uscita della fibra, può quindi essere messo in relazione al vettore E 1 (ω) all’ingresso mediante la espressione Matrice di Jones - PMD

22 T(ω) = matrice di Jones (matrice di trasferimento complessa 2x2; mezzo ottico lineare). L’analisi degli effetti dovuti alla PMD è stata sviluppata mediante un modello che introduce il concetto di Stati Principali di Polarizzazione (Pool e Wagner, 1986). In tale modello si assume che l’attenuazione nella fibra ottica non dipenda dalla polarizzazione e che il ritardo , dovuto alla PMD, sia molto più piccolo dell’intervallo di bit. Questa seconda ipotesi può essere ragionevolmente accettata per sistemi che operino a velocità di trasmissione inferiori a 10 Gbit/s. Matrice di Jones - PMD E 1 (ω) T(ω) E 2 (ω)

23 PMD nel dominio della frequenza Il ritardo differenziale di gruppo  è una grandezza che caratterizza la PMD nel dominio del tempo. E’ possibile anche una rappresentazione nel dominio della frequenza, come diretta conseguenza della dipendenza dalla frequenza di  / . Per una data polarizzazione in ingresso alla fibra, la PMD fa sì che lo stato di polarizzazione all’uscita vari con la frequenza, come mostrato in figura. 11 22 33 11 22 33 SOP dipendente da  11 22 33 Sfera di Poincaré

24 PMD nel dominio della frequenza Tale variazione è periodica e, nel caso di birifrangenza uniforme, nella rappresentazione sulla sfera di Poincaré, il punto rappresentativo della polarizzazione in uscita percorre, al variare della frequenza, una circonferenza sulla sfera con una periodicità associata ad una variazione caratteristica della frequenza  ciclo, legata a  dalla relazione  ciclo = 2  /  Il vettore  normale alla sfera in corrispondenza del centro della circonferenza prende il nome di vettore di dispersione.

25 Stati Principali di Polarizzazione: analisi nel dominio della frequenza Il modello degli Stati Principali di Polarizzazione (PSP, Principal State of Polarization) è basato sull’osservazione che, per una data matrice di trasmissione T(  ), per ogni frequenza, esiste una coppia di stati (principali) di polarizzazione, ortogonali, all’ingresso della fibra, che godono della seguente proprietà: se la polarizzazione del campo ottico all’ingresso della fibra è allineata con uno di tali stati ortogonali, la corrispondente polarizzazione d’uscita risulta invariante, al primo ordine, rispetto a variazioni della frequenza. Immediata conseguenza di tale proprietà è che se un impulso ottico in ingresso è allineato lungo uno degli stati principali, tutte le componenti spettrali del corrispondente impulso all’uscita della fibra avranno la stessa polarizzazione. Ciò implica che, dal punto di vista della dispersione di polarizzazione, tale impulso subirà soltanto una distorsione di fase che, al prim’ordine, non modificherà la forma dell’impulso ma determinerà solo una traslazione nel tempo.

26 Stati Principali di Polarizzazione (1) Per ricavare gli Stati Principali di Polarizzazione si consideri la relazione ingresso-uscita di un mezzo ottico lineare (fibra ottica), riferita al campo elettrico nell’ipotesi di segnale monocromatico a frequenza angolare , ove si assume in cui  è, in generale, complesso ed U(  ) rappresenta la matrice unitaria della fibra ottica. Adottando una opportuna normalizzazione, è possibile esprimere i vettori complessi campo elettrico nella forma in cui si considerano le ampiezze E 2,1 e le fasi  2,1 dei campi; rappresentano i vettori unitari complessi che specificano gli stati di polarizzazione..

27 Stati Principali di Polarizzazione (2) Derivando rispetto ad  la relazione ingresso-uscita, nell’ipotesi di campo in ingresso costante rispetto ad  (campo monocromatico), si ottiene avendo indicato con  ’ ed U’ le derivate rispetto ad . Tenendo conto delle espressioni di si ottiene combinando le relazioni precedenti e tenendo conto della definizione di T(  ) si ottiene in cui

28 Stati Principali di Polarizzazione (3) Imponendo che lo stato di polarizzazione del campo in uscita non dipenda dalla frequenza, ovvero che, si ottiene l’equazione agli autovalori in cui i valori possibili di k sono determinati imponendo, come al solito, che il determinante della matrice che moltiplica sia nullo. Imponendo tale condizione e ricordando l’espressione di U, si ottiene per gli autovalori dell’equazione che, inseriti nella precedente equazione agli autovettori, forniscono le espressioni dei campi corrispondenti ai due stati principali di polarizzazione, i quali risultano tra loro ortogonali. A tali stati principali all’ingresso della fibra corrispondono, in uscita, campi elettromagnetici ortogonali, la cui polarizzazione risulta, al prim’ordine, indipendente dalla frequenza.

29 Stati Principali di Polarizzazione (4) L’importanza della conoscenza degli stati principali all’ingresso della fibra è duplice. Innanzitutto, la loro proprietà garantirebbe che un segnale reale, allineato all’ingresso lungo uno dei due stati principali, dia luogo ad un campo in uscita dalla fibra caratterizzato da uno stato di polarizzazione che dipende dalle caratteristiche di birifrangenza della fibra stessa ma, almeno al prim’ordine, non dalle caratteristiche spettrali del segnale d’ingresso. Inoltre, l’ortogonalità di tali stati permetterebbe di utilizzarli come vettori di una base con cui costruire un sistema di riferimento “privilegiato”, che renderebbe possibile una descrizione fenomenologica della dispersione di polarizzazione in fibre ottiche singolo-modo. Il problema fondamentale è rappresentato dalla difficoltà di determinare tali stati che ha reso difficoltoso e complicato il loro utilizzo in contesti pratici.

30 Stati Principali di Polarizzazione (5) Sfruttando le proprietà degli stati principali di polarizzazione di una fibra e ricordando la loro dipendenza dai coefficienti della matrice di Jones, è possibile ricavare un’espressione del ritardo differenziale  dipendente da tali coefficienti. Infatti, un generico segnale all’ingresso della fibra potrebbe essere rappresentato mediante le sue componenti nella base costituita dagli stati principali. Tali onde “componenti” ortogonali si propagheranno lungo la fibra mantenendo la condizione di ortogonalità e giungeranno in uscita in istanti e, in generale diversi. Si può dimostrare che la differenza è uguale al ritardo differenziale di gruppo  e risulta espressa dalla relazione in cui le derivate sono, ovviamente, da intendersi rispetto alla frequenza angolare.

31 Birifrangenza e PMD: descrizione tramite il formalismo di Stokes La variazione del SOP di un segnale che si propaga in fibra può essere rappresentata mediante la variazione rispetto a z del suo vettore di Stokes, nello spazio della sfera di Poincaré. Se si definisce il vettore di birifrangenza, di modulo pari alla birifrangenza  e direzione pari a quella degli assi di birifrangenza, definita dal versore, si può dimostrare che il vettore di Stokes soddisfa l’equazione differenziale ovvero il vettore di Stokes compie una rotazione attorno all’asse fisso di direzione con velocità

32 L’angolo 2  rappresenta l’angolo compreso tra e. Il segnale ripercorre quindi periodicamente una serie di SOP posti su di una circonferenza risultante dalla intersezione della sfera di Poincaré con il piano perpendicolare a, la cui posizione è fissata dall’angolo 2 . Birifrangenza uniforme e PMD: descrizione tramite il formalismo di Stokes 22  Il vettore di Stokes, rappresentativo del SOP del campo e.m. ad una data distanza z, effettua una rotazione di ampiezza  =  z, essendo  z la variazione della distanza.

33 Birifrangenza uniforme – Formalismo di Stokes vettore di birifrangenza birifrangenza versore con direzione uguale a quella degli assi di birifrangenza L B =2π/Δβ lunghezza di battimento LBLB 22 Birifrangenza non uniforme

34 Lo stesso tipo di rappresentazione permette di descrivere il fenomeno della dispersione di polarizzazione nel dominio della frequenza. Infatti, in generale, il SOP di ogni componente spettrale del campo ruota con una velocità angolare  =  z diversa attorno a. Si può definire quindi il vettore di dispersione, in cui è il vettore di Stokes unitario associato ad uno dei due PSP della fibra. Si dimostra che, ad una data distanza z, il vettore rappresentativo del SOP d’ingresso varia con la frequenza in base alla relazione che mostra come il vettore ruoti con la frequenza con velocità La misura dell’angolo  =  permette di misurare  Birifrangenza e PMD nel dominio della frequenza: descrizione tramite il formalismo di Stokes

35 PMD – Formalismo di Stokes VETTORE DI DISPERSIONE Δτ ritardo accumulato tra i PSP versore di Stokes associato ad uno dei due PSP 22 α 

36 Dalle precedenti equazioni differenziali che descrivono l’evoluzione dei vettori di birifrangenza e di dispersione è possibile determinare l’equazione dinamica della PMD. Infatti, se si deriva la prima equazione rispetto ad  e la seconda rispetto a z, eguagliando le due espressioni e ricordando che dati tre vettori si ha si ottiene l’equazione dinamica della PMD che mette in relazione il vettore globale della dispersione con il vettore di birifrangenza locale. Equazione dinamica della PMD

37 Dalla equazione dinamica della PMD si osserva che, solo nel caso in cui sia parallelo a (ad esempio, nelle fibre a mantenimento di polarizzazione PMF, Polarization Maintaining Fibre), l’ultimo termine dell’equazione risulta identicamente nullo e quindi si ottiene In tutti gli altri casi, ogni variazione locale della birifrangenza induce una rotazione del vettore di dispersione. Nei collegamenti in fibra ottica è importante conoscere all’uscita della fibra, così da poter determinare e la direzione degli stati principali di polarizzazione. Pertanto, determinata la statistica di è possibile concentrare l’attenzione direttamente sul DGD risultante dalla propagazione degli impulsi ottici.

38 Statistica della PMD La densità di probabilità del DGD può essere determinata nell’ipotesi che la lunghezza della fibra sia molto più grande della lunghezza di accoppiamento l c degli stati principali. In quest’ipotesi, le tre componenti del vettore sono caratterizzate da una densità di probabilità gaussiana. Poiché  corrisponde al modulo di tale vettore ovvero la radice quadrata della somma del quadrato di tre variabili gaussiane, esso risulta essere una variabile aleatoria con distribuzione maxwelliana, esprimibile nella forma in cui

39 Statistica della PMD - la funzione q(z) tiene conto del rapporto tra lunghezza della fibra e lunghezza di accoppiamento degli stati principali di polarizzazione in cui  è il DGD della fibra per unità di lunghezza, che dipende dalle caratteristiche intrinseche della fibra; - per una data distanza z, il valor medio di  vale - per una data distanza z il valore quadratico medio vale e quindi la deviazione standard, sempre per una fissata distanza z,

40 Statistica della PMD 1234 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p(x) x =  Densità di probabilità del ritardo di gruppo differenziale, normalizzato al valor medio.

41 Un parametro di valore sistemistico è il coefficiente di PMD, D PMD, la cui definizione dipende dal tipo di fibra. Indicata con l c la lunghezza di accoppiamento degli stati principali, si possono considerare i casi limite:  L<< l c, condizione in cui gli assi principali di birifrangenza possono essere considerati fissi e coincidenti con gli assi di dispersione; in questo caso, durante la propagazione non si verifica alcun accoppiamento tra i due modi degeneri (fibre a mantenimento di polarizzazione, PMF); il coefficiente di dispersione è definito nella forma D PMD = /L coefficiente di PMD per fibre ad alta birifrangenza (ps/km) Coefficiente di PMD

42  L>> l c, condizione in cui si verifica accoppiamento durante la propagazione; si può modellare la tratta come una concatenazione di N spezzoni di fibra con stati principali casuali ed indipendenti tra loro; il coefficiente di dispersione è definito come D PMD = /  L coefficiente di PMD per fibre a bassa birifrangenza (TLC) (ps/  km)

43 PMD nel caso di fibre in cascata N spezzoni N-1 giunzioni con accoppiamento tra i modi “degeneri” 2 N contributi di ritardi aleatori che definiscono il ritardo totale Δτ valor medio del ritardo l c lunghezza di accoppiamento dei PSP Date due fibre in cascata con ritardi tra i rispettivi stati principali pari a  1 e  2, si dimostra la seguente relazione per la PMD risultante essendo 2  l’angolo tra i vettori di Stokes associati agli stati principali in uscita della prima fibra e agli stati principali d’ingresso alla seconda fibra. lclc L

44 Valori tipici della PMD e suo impatto sistemistico I valori tipici della PMD variano in base al tipo di fibra e al suo stato (avvolgimento su bobina, cordatura in cavo, posa aerea, ecc..). - Impianti di vecchia installazione (tipicamente fino al 1996) presentano valori elevati di D PMD (3 - 5 ps/  km). - Fibre convenzionali, ottimizzate per operare in II finestra, presentano valori anche inferiori a 0.1 ps/  km nel caso di fibre avvolte su bobina, 0.2-0.3 ps/  km per fibre cablate in cavo installato. - Per fibre DS (dispersion shifted) cablate in cavo si hanno, tipicamente, valori dell’ordine di 0.3 - 0.7 ps/  km). - Nel caso di fibre a nastro si hanno valori di circa 0.1 - 0.5 ps su 2.5 km di lunghezza tuttavia, in cavi a nastro, possono esserci differenze di comportamento anche notevoli tra le fibre centrali e quelle più esterne.

45 Gli effetti dispersivi dovuti alla PMD causano un allargamento dell’impulso ed inoltre, essendo il fenomeno tempo-variante, si possono verificare fluttuazioni del BER, fino ad eventuali condizioni di fuori servizio (outage). Una stima delle limitazioni determinate dalla PMD può essere fornita per piccole penalità nel caso di sistemi ottici operanti con formato NRZ, in cui l’energia dell’impulso venga ripartita tra i due modi degeneri, che risultano traslati nel tempo. Con queste ipotesi la penalità è esprimibile nella forma in cui 0    1 è il rapporto di ripartizione, T la larghezza a metà altezza dell’impulso (FWHM) ed A è un parametro adimensionale che dipende dal tipo di impulso (ad esempio, A=25 per impulsi gaussiani; A=22 per impulsi a coseno rialzato; A=12 per impulsi rettangolari). Valori tipici della PMD e suo impatto sistemistico

46 Se si stabilisce di mantenere la riduzione della massima apertura del diagramma ad occhio entro il limite di 1 dB (penalità superiori vengono associate a condizioni di fuori servizio), assumendo che la probabilità di fuori servizio sia  1/18000, corrispondente alla condizione di outage massimo pari 30 minuti/anno, nel caso di impulsi gaussiani il limite per il valor medio del DGD è imposto dalla condizione ricordando che D PMD = /  L ed assumendo per il bit-rate B  1/T, si ottiene la condizione limite Valori tipici della PMD e suo impatto sistemistico

47 Impianti vecchi (orientativamente fino al 1996) D PMD = 3 - 7 ps /  km Impianti attuali D PMD  0.5 ps /  km

48 PMD – Polarization Mode Dispersion TECNICHE DI MISURA

49 The focus is on the measurement of PMD in the long-length regime, i.e. on measuring average and rms value of DGD in a given fiber. TECHNIQUES FOR MEASURING PMD Interferometric method RF spectral response Poincaré sphere method Jones matrix method Fixed analyzer method PMD MEASUREMENTS

50 INTERFEROMETRIC METHOD LEDPOLARIZERS POLARIZATION MAINTAINING FIBER COUPLER MOTORIZED MIRROR DETECTOR A broadband signal travels through the fiber and then into the interferometer. The visibility of the fringe pattern as a function of the mirror position yields information about the DGD of the fiber. Interferometric method

51 Sorgen te ottica polarizzatore Fibra in misura accoppiatore Specchio mobile Braccio variabile Braccio di riferimento specchio rivelatore Interferometro di Michelson Misura della PMD nel dominio del tempo Metodo interferometrico

52 τ intensità Δτ Δτ Calcolo del ritardo dovuto alla PMD Δτ = 2d / c - 4 ritardo (ps) Intensità 0.5 0.3 0.1 Fibra ad alta birifrangenza Fibra a bassa birifrangenza tempo di attraversamento dell’interferometro - 2 0 2 4

53 Example of fringe pattern interference obtained for low (a) and high (b) polarization mode coupling. (a) (b) INTERFEROMETRIC METHOD

54 A sinusoidally intensity-modulated optical signal is launched into the fiber. The magnitude of the output RF signal depends on the time delay between PSP’s. The RF spectrum shows a minimum at those frequencies where the DGD is equal to one-half the RF cycle. Advantage: the measurement requires only a commercial network analyzer. Disadvantage: the depth of minima depends on the power splitting between the two PSP’s. RF SPECTRAL RESPONSE RF spectral response

55 PMD is measured analyzing the arc described (vs. ) by the output SOP as function of wavelength, while the input polarization is kept fixed. PSP TUNABLE LASER SOURCE FIXED POLARIZER FUT POLARIMETER POINCARE’ SPHERE METHOD The requirement is: Poincaré sphere method

56 controllo di fibra in polarizzazione misura Misura della dispersione di polarizzazione nel dominio della frequenza Metodo polarimetrico Δ τ λ Δτ = α / Δω DFB Analizzatori di stati di polarizzazione Ω nn 11

57 Using this method one can determine both the direction and the modulus of the vector ; this yields also information about higher-order PMD. Advantage: accurate for both large and small values PMD. Disadvantage: the limiting factor is the stability of the fiber under test. POINCARE’ SPHERE METHOD

58 JONES MATRIX METHOD Using a set of predetermined launch polarization states, one can obtain the complete Jones matrix of the fiber at each frequency. Jones matrix method

59 Advantage: provides the most accurate characterization of the fiber; the transmission properties are completely identified by the frequency-dependent Jones matrix Disadvantage: it is necessary to have very stable fiber and laser source. The maximum allowable value of is set by the requirement: i.e. the rotation should be less than 180° around the PSPs. JONES MATRIX METHOD

60 Input state of polarization Device under test Jones matrix JONES MATRIX METHOD

61 In the basis of its eigenvectors, the Jones matrix of the device is: Eigenvalues are: The DGD is calculated from the eigenvalues: JONES MATRIX METHOD

62 OPTICAL BROADBAND SOURCE POLARIZERFUT ANALYZER DETECTOR The SOP evolves on the Poincaré sphere describing “rotations” as a function of wavelength. Placing a polarizer in front of the photodiode, rotations over a large frequency span  are transformed into “oscillations” in the detected power, T(  ). FIXED-ANALYZED METHOD Fixed analyzer method

63 The DGD can be calculated by counting the number of extrema (N E ) and/or the number of mean-level crossing points (N m ) of the detected signal T(  ). An example of a sequence of peaks and valleys in the spectrum as a result of changes in output polarization caused by PMD: FIXED-ANALYZED METHOD T( )

64 COMPARISON OF MEASUREMENT TECHNIQUES domainsourceHigher Order PMD StatisticsMeas. Range (ps) interf.timebroadbandNo 0.1-100 RFtimechirp-freeNo 0.1-100 Poincaréfreq.tunableYes 0.02-500 Jones matrix freq.tunableYes 0.02-500 fixed pol.freq.tunableNo 0.1-100

65 FIBRE OTTICHE A MANTENIMENTO DI POLARIZZAZIONE PMF (Polarization Maintaining Fibre) Se sottoposta ad una perturbazione esterna, ipotizzabile, in prima approssimazione, uniforme, una fibra ottica singolo-modo diventa “bimodale”, a causa della perdita della condizione di degenerazione del modo HE 11. La fibra standard può quindi essere considerata come un mezzo lineare, birifrangente con indici di rifrazione n x ed n y diversi lungo i due assi principali di birifrangenza. Questa condizione può essere modellata considerando la differenza delle costanti di propagazione riferite ai due “modi” con polarizzazioni ortogonali  =  x-  y = (n x -n y )  /c =  n eff  /c Tale parametro può essere assunto come misura della birifrangenza della fibra. Nelle fibre ottiche standard  n eff varia tipicamente nell’intervallo 10 -7 - 10 -5. Le fibre a mantenimento di polarizzazione (PMF, Polarization Maintaining Fibre) sono progettate in modo tale da MANTENERE il segnale ottico nello stesso stato di polarizzazione di ingresso. Sono ottenute mediante una ELEVETA BIRIFRANGENZA raggiunta attraverso un profilo ASIMMETRICO.

66 Lunghezza di battimento Nella figura è mostrata l’evoluzione spaziale dello stato di polarizzazione (SOP, State of Polarization), causata da birifrangenza uniforme. In una fibra ottica standard la polarizzazione evolve dallo stato lineare d’ingresso attraverso stati ellittici fino a riassumere lo stato iniziale con una periodicità spaziale definita dalla lunghezza di battimento L B = /  n eff  n eff  10 -7 - 10 -5 L B  1-100 m In una fibra PMF (ad elevata birifrangenza) si ha tipicamente  n eff  10 -3 – 10 -4 L B  1-10 mm

67 La realizzazione di fibre PMF è basata sull’idea di introdurre opportune anisotropie così da “rompere” la condizione di DEGENERAZIONE tra i due stati di polarizzazione ortogonali in cui può essere decomposto il modo fondamentale HE 11, in un opportuno sistema di riferimento. Una volta “rotta” la degenerazione tra le polarizzazioni ortogonali, il loro “accoppiamento” durante la propagazione in fibra risulta molto ridotto rispetto al caso di una fibra convenzionale. Nelle fibre PMF le condizioni di anisotropia permettono di ottenere livelli di disaccoppiamento (crosstalk) tra polarizzazioni mutuamente ortogonali superiori a 20 dB su distanze di diversi km. Inizialmente si era pensato che il modo migliore fosse di rendere il più possibile ellittica la sezione trasversale del core della fibra. Tuttavia, la birifrangenza di tale fibre “a core ellittico” non è risultata molto efficace. Migliori risultati sono stati ottenuti con fibre in cui sono state indotte opportune ANISOTROPIE, ad esempio sfruttando effetti di tipo ELASTO-OTTICO, che permettono di variare l’indice di rifrazione di materiali dielettrici inducendo stress meccanici (ad esempio, fibre PMF del tipo Bow-Tie e PANDA). FIBRE OTTICHE PMF 1

68 FIBRE OTTICHE PMF 2 Per tali fibre il parametro di birifrangenza  è una funzione molto complessa che dipende dalle componenti del tensore che modella la tensione meccanica applicata al materiale. Un caso più semplice è rappresentato dalle fibre a core “ellittico” per le quali  è espresso da una relazione che dipende dai parametri della fibra e dall’ellitticità della sezione del core.

69 FIBRE OTTICHE PMF 3 Nel caso di fibre a core “ellittico”,  risulta espresso dalla relazione in cui e rappresenta l’ellitticità della sezione del core della fibra, tale che e 2 = 1- a 2 /b 2, essendo a e b rispettivamente i semiassi minore e maggiore dell’ellisse,  = (n 1 – n 2 ) / n 1 e  (V)  una funzione della frequenza normalizzata V, il cui andamento è mostrato nella figura seguente in cui è anche riportato il confronto con una guida ottica rettangolare di tipo SLAB.

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71 In generale, le fibre a mantenimento di polarizzazione sono disponibili in una gamma completa delle lunghezze d'onda (esempio delle fibre PMF OFS ClearLite TruePhase).