Università Federico II di Napoli Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di laurea in Informatica Fisica Sperimentale I Gruppo 1 Docente.

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1 Università Federico II di Napoli Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di laurea in Informatica Fisica Sperimentale I Gruppo 1 Docente Prof. Leopoldo Milano Anno accademico 2010-2011

2 Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h e poi per lo stesso tempo alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocità media. Soluzione – La velocità media si ottiene dalla definizione : Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasformare da Km/h a m/s.

3 Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità di 40 Km/h, percorrendo un cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità di 80 km/h. Trovare la velocità media. Soluzione – La velocità media si ottiene dalla definizione : NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!); 2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s.

4 Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto A al punto B alla velocità costante v1 = 10 Km/h rispetto alla riva. Successivamente torna indietro alla velocità v2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motore della barca ha lavorato al massimo della potenza in entrambi i percorsi, trovare la velocità della corrente e la velocità della barca rispetto alla corrente. La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa nei due casi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si sottrae dalla velocità della barca, nel secondo si somma : Soluzione – NB – Non c’è nessun bisogno di trasformare da Km/h a m/s, ma non è vietato.

5 Esercizio – Stessa situazione del caso precedente. Sono note la velocità della corrente (w=2Km/h) e la velocità della barca rispetto alla corrente (u=10Km/h). Calcolare la velocità media della barca. Soluzione – Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragitto totale 2S. Il tempo totale è facile da calcolare :

6 Esercizio – Un’automobile, durante una frenata uniforme, passa in un minuto dalla velocità di 40 Km/h a quella di 28 Km/h. Trovare il valore della accelerazione e lo spazio percorso. Soluzione – v1 = 40 Km/h = 11.11 m/s; v2 = 28 Km/h = 7.78 m/s; a = (v2 -v1 ) /  t = (7.78 - 11.11) / 60 = - 0.055 m/s 2 ; [quale è il significato del segno “-” ???] s = 1/2 a  t 2 + v1  t = - 0.5 · 0.055 · 60 2 + 7.78 · 60 = = - 100 + 666.6 = 566.6 m.

7 Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, poste ad 1.5 Km di distanza.Percorre la prima metà del tragitto di moto uniformemente accelerato e la seconda di moto uniformemente ritardato. Data la velocità massima (50Km/h), calcolare il valore dell’accelerazione e il tempo totale di percorrenza. Soluzione – È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello spazio e della velocità, e poi risolvere per T ed a; prima bisogna trasformare la velocità in m/s :

8 Esercizio– In una gara sui 100 m, due atleti impiegano lo stesso tempo di 10.2 s. Il primo impiega 2 s in accelerazione costante, poi mantiene la velocità costante fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poi mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente l’accelerazione e la velocità massima. Soluzione –

9 Esercizio [ parte 2] – Nella stessa gara dell’es. precedente, Quale concorrente si trova in testa dopo un tempo di 6 secondi ? Soluzione – È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54.3 - 51.7 = = 2.6 m.

10 Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Visto un ostacolo, il conducente riesce a fermarsi in 110 m. Quale è l’accelerazione e quanto tempo impiega ? Soluzione –

11 Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso l’alto con velocità iniziale di 12 m/s. a)Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto della traiettoria ? b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ? c) Dopo quanto tempo ricade a terra ? d) Con che velocità la palla tocca terra ? e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ? Soluzione –

12 Esercizio – Un oggetto viene lanciato da terra ad un’altezza di 4 m. Il tragitto dura 1.5 s. Determinare la velocità dell’oggetto : a) al momento del lancio; b) all’istante di arrivo. Soluzione –

13 Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un palazzo verso l’alto, con una velocità di 12.25 m/s. Il sasso raggiunge il suolo dopo 4.25 s. Si calcoli : a) l’altezza del palazzo; b) la massima altezza raggiunta dal sasso; c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo. Soluzione –

14 Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s. Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente. Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi : a) barca in favore di corrente; b) barca contro corrente; c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente. Soluzione:

15 Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7.2 Km/h, in Direzione perpendicolare alla riva. Però la corrente la fa approdare a 150 m più a valle di un fiume largo 500 m. Trovare la velocità della corrente e il tempo totale di attraversamento del fiume. Soluzione: I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stesso tempo totale T. Pertanto : v y = v motore = 7.2 Km/h = 2 m/s; v y = v motore = s / T  T = s / vy = 500 / 2 = 250 s = 4 min 10 s; v x = v corrente = d/T = 150 / 250 = 0.6 m/s.

16 Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre, alta 25 m, in direzione orizzontale, con velocità 15 m/s. A che distanza cade, rispetto al bordo della torre ? In quanto tempo ? Soluzione –

17 Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velocità di 100 m/s. Si calcoli l’angolo rispetto al piano orizzontale che causa la gittata massima e il valore della gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario per colpire un bersaglio a 500 m di distanza. Soluzione –

18 Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguenti casi : a)la Terra che ruota attorno al Sole (assumere moto circolare uniforme); b) la Terra che ruota attorno a se stessa; c) la lancetta delle ore; d) la lancetta dei minuti; e) la lancetta dei secondi. Soluzione – a)  1 = 2  / T1 = 2  / (365 · 24 · 60 · 60) = 1.99 · 10 -7 rad/s; b)  2 = 2  / T2 = 2  / (24 · 60 · 60) = 7.27 · 10 -5 rad/s; c)  3 = 2  / T3 = 2  / (12 · 60 · 60) = 1.45 · 10 -4 rad/s; d)  4 = 2  / T4 = 2  / (60 · 60) = 1.7 · 10 -3 rad/s; e)  5 = 2  / T5 = 2  / 60 = 0.104 rad/s.

19 Esercizio – Determinare la velocità e la velocità angolare che deve mantenere un aeroplano all’equatore affinché il sole appaia fisso all’orizzonte. L’aereo deve volare verso est o verso ovest ? Soluzione –  aereo = -  Terra = 7.27·10 -5 rad/sec (vedi esercizio precedente); il segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso ovest; v aereo =  · r Terra = 7.27·10 -5 · 6.37·106 = 463 m/s = 1670 Km/h.

20 Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggio 150 m, nei 15 s che impiega a percorrere la curva rallenta da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolare l’accelerazione tangenziale e normale nel momento in cui la velocità è 50 Km/h, assumendo che il treno continui a decelerare. Soluzione – a) trasformiamo da Km/h a m/s : v1 = 90 Km/h = 25.0 m/s; v2 = 50 Km/h = 13.9 m/s; b) l’accelerazione tangenziale : a Tmedia = (v 2 - v 1 ) / T = =-0.74 m/s 2 ; c) accelerazione radiale : a Rcentripeta = v 2 2 / r = 1.29 m/s 2 ; d) accelerazione totale (modulo), poiché a T e a R sono ortogonali : NB – se il treno non continuasse a decelerare, a T =0, a tot =a R

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22 Singola Massa: Forza agente netta F F O R Z A = 0 A T R I T O F= F Netta = ma P + N =0

23 Singola Massa: Forza agente netta F Netta = F -  N F O R Z A  0 A T R I T O F Netta = F -  N = F -  mg = ma P + N = 0 N = mg

24 Singola Massa  Forza agente ad angolo  Forza netta agente  F Netta = F cos  F O R Z A = 0 A T R I T O F Netta = F cos  = ma P + N =0

25 Singola Massa  Forza agente ad angolo  Forza netta agente  F Netta = F cos  -  N F O R Z A  0 A T R I T O F Netta = F cos  -  N = ma P + N =0

26 Doppia Massa  Forza netta agente F Netta = (m 1 + m 2 )a F O R Z A = 0 A T R I T O F 2 = m 2 a F 1 = F- F 2 =(m 1 + m 2 )- m 2 a = m 1 a

27 F O R Z A  0 A T R I T O Doppia Massa  Forza netta agente F Netta = F-  (m 1 + m 2 )g= (m 1 + m 2 )a

28 Masse connesse da corde : piano liscio Per esercizio: sviluppare lo stesso esempio con piano scabro: coeff. attrito  s

29 Massa appoggiata su un piano inclinato liscio Scegliamo uno degli gli assi parallelo al piano inclinato e troviamo le componenti delle forze parallele e  al piano

30 Massa appoggiata su un piano inclinato scabro Scegliamo uno degli gli assi parallelo al piano inclinato e troviamo le componenti delle forze parallele e  al piano NB La massa scende strisciando sul piano inclinato.

31 Massa appoggiata su piano inclinato liscio e forza esterna F agente non parallela al piano inclinato Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

32 Massa appoggiata su piano inclinato scabro e forza esterna F agente non parallela al piano inclinato Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

33 Masse collegate da puleggia: piano liscio Applicando la 2° legge di Newton troviamo:

34 Masse collegate da puleggia: piano scabro Diagramma di corpo libero

35 Macchina di Atwood La tensione T è la stessa per le due masse La puleggia è di massa trascurabile

36 Diagramma di corpo libero Massa sospesa

37 Il problema dell’ascensore La forza F esercitata dal pavimento dell’ascensore sull’uomo viene detta ‘peso apparente’: deve essere > mg per accelerare la persona verso l’alto. F dà la sensazione di peso all’uomo nell’ascensore. Cosa succede se si rompe il cavo di sostegno?

38 Analisi delle situazioni: problema dell’ascensore

39 Masse collegate da puleggia: piano liscio

40 Masse collegate da puleggia: piano scabro

41 Applicazioni Numeriche Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione massima di 4400 N. Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere ad un oggetto di 400 Kg ? Per il corpo : ma = T – mg; pertanto : T = m (a + g)  T max = m (a max + g)  a max = T max /m – g = 4400 / 400 – 9.8 = 1.2 m/s 2. Soluzione:

42 Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connette due Masse identiche, una delle quali è libera di muoversi su un piano inclinato di angolo (  = 30°), mentre l’altra penzola nel vuoto. Calcolare l’accelerazione su entrambe le masse. Soluzione: L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bilancio delle forze dà : (m 1 + m 2 ) a = m 2 g – m 1 g sin   m 1 = m 2 = m  a = m g (1 – sin  ) / (2m) = g (1 – sin  ) / 2 = 9.8 × (1 - 0.5) / 2 = 2.45 m/s 2 ; l’accelerazione è diretta verso il basso Per la massa libera e verso l’alto del piano per quella sul piano inclinato. Disegnare il diagramma di corpo libero

43 Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano inclinato di angolo 30°,lungo 40 m, partendo da fermo. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale. a = g sin  L = ½ a t 2 = ½ g sin  t 2  t = [2 L / (g sin  )] ½ = 4.04 s; v = a t = g sin  t = 19.8 m/s. Soluzione: Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un attrito dinamico, di coefficiente k d = 0.5. Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale. ma = m g sin  - k d m g cos  a = g sin  - k d g cos  = g (sin  - k d cos  ); L = ½ a t 2 = ½ (g sin  - k d cos  ) t 2  t = [2 L / (gsin  - kgcos  )] ½ = 11.03 s; v = a t = g (sin  - k d cos  ) t = 7.24 m/s.

44 Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza attrito] Al termine del piano inclinato [senza attrito] c’è un tratto piano, con attrito dinamico di coefficiente k d = 0.25. Determinare la distanza percorsa dal corpo sul tratto piano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi. Soluzione – ma = F = - k d m g  a = - k d g; v(t) = v o - k d g t  t fin = v o / k d g = 8.08 s; L tot = v o t fin + ½ a t fin 2 = v o t fin - ½ k d g t fin 2 = 80 m.

45 Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare un corpo di massa 2 Kg dalla velocità di 2 m/s a quella di 5 m/s. Soluzione – L = ½ m v fin 2 - ½ m v ini 2 = 0.5 × 2 × (5 2 -2 2 )= 21 J. Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un corpo di massa 2 Kg, che procede alla velocità di 8 m/s. Soluzione – L = - ½ m v ini 2 = - 0.5 × 2 × 82 = - 64 J. [perché “-” ?]

46 Esercizio – Un carrello di massa 100 Kg compie il percorso indicato in figura, passando dal punto A al punto C. Nota la velocità iniziale (v A =0) e le differenze di quota tra A e B (a=20 m) e tra C e B (c=18m), calcolare il valore dell’energia potenziale in A e della velocità in B e in C. Soluzione – Scegliamo la costante dell’energia potenziale in modo che E pot B =0. In tal caso : E pot A =m g a = 100 × 9.8 × 20 = 19600 J; E pot A + ½ m v A 2 = E pot B + ½ m v B 2 = mga = ½ m v B 2  v B 2 = 2 g a  v B = (2 × 9.8 × 20) ½ = 19.8 m/s; m g a = ½ m v C 2 + mgc  v C 2 = 2 g (a - c)  v C = [2 × 9.8 × (20-18)] ½ = 6.26 m/s.

47 Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 m su una molla di costante elastica 200 N/m. Di quanto si abbassa la molla ? Dopo un po’, le oscillazioni si smorzano. Dove è il punto di riposo della molla ? mg (h + d) = ½ k d 2  k d 2 - 2mgd - 2mgh = 0  Soluzione: [scegliere il segno ‘  ‘  perche' ?] Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb  b = mg/k = 2 ×9.8 / 200 = 9.8 cm. b d h

48 Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre una salita di pendenza 30°; il motore eroga una potenza di 9800 W. Calcolare la velocità massima disponibile. Soluzione – In un tempo t : L = W t = m g h=m g s sin  s / t = v = W / (m g sin  ) = 9800 / (1200 × 9.8 ×0.5) = =1.67 m/s = 6 Km/h.

49 Supponiamo che una persona che faccia attività fisica sia in grado di esprimere una potenza di 4W per ogni kg di massa corporea. Supponiamo che essa debba salire i 6 piani di un edificio e che fra un piano e l’altro ci siano 2 rampe di scale con ciascuna 10 gradini, alti ognuno 20cm. In quanto tempo riesce ad effettuare la salita? Solizione: 20 cm Spostamento: s = 2*10*6*0.2 m=24 m Forza : F= mg=(1*9.8) N=9.8 N Lavoro=F  s=(9.8*24) J =235,2 J Potenza P=L/t t=L/P=235,2/4=58,8 s Conto approssimato assumendo g=10m/s 2 t=60 s

50 In una gara di salto con l’asta un atleta, un istante prima di puntare l’asta a terra, per compiere il salto ha una velocità di 36 Km/h. Di quanto riesce ad innalzare il suo baricentro nell’ipotesi che l’energia potenziale gravitazionale derivi solo dalla conversione dell’energia cinetica e che tale conversione sia totale. Soluzione:Ep i +Ec i =Ep f +Ec f Ep i =0 ; Ec i =1/2mv i 2 Ep f =mgh ; Ec f =0 0+ 1/2mv i 2 =mgh+0 h=v i 2 /(2g)=(36*1000/3600) 2 /(2*9.8)=5.1 m

51 Un blocco è sospeso ad una corda che scorre senza attrito attorno ad un piolo ed è collegata ad un altro blocco, poggiato su un tavolo senza attrito. Si trovi l’accelerazione di ciascun blocco e la tensione della corda e calcolarne il valore nel caso in cui m 1 =750 g, m 2 = 0.8 kg.

52 SOLUZIONE Le forze agenti sul blocco m 1 sono la tensione della corda T 1, la forza peso P 1 = m 1 g e la forza di reazione esercitata dal tavolo F n ; le forze agenti sul blocco m 2 sono la tensione della corda T 2 e la forza peso P 2 = m 2 g. T 1 = T 2 = T e F n = P 1 Le equazioni del moto (seconda legge di Newton) per i due blocchi sono (assumiamo come positiva la direzione verso il basso): T = m 1 a 1 e m 2 g –T = m 2 a 2 Se la corda non si allunga, le due accelerazioni devono necessariamente essere uguali in modulo: Per il caso numerico proposto: a = 5.1 m/s 2, T = 3.8 N.

53 Un quadro che esercita una forza peso di 8 N è retto da due fili aventi tensioni T 1 e T 2. Si trovi la tensione dei fili. SOLUZIONE Poiché il quadro non accelera, deve essere nulla la risultante delle forze agenti su di esso: il peso mg e le tensioni T 1 e T 2. Deve essere T 1 +T 2 +mg = ma =0 Le componenti orizzontali delle forze devono equilibrarsi tra loro, così come le componenti verticali.

54 Asse x  T 1x + T 2x + 0 = T 1 cos30°- T 2 cos60° = 0 Asse y  T 1y + T 2y + 0 = T 1 sin30°+ T 2 sin60°-mg = 0 Dove cos30° =  3/2 = sin60°; sin30°= ½ = cos60° Si risolve il sistema per T 1 e T 2 :

55 Con quale forza orizzontale costante F deve essere spinta lungo un pavimento di coefficiente di attrito dinamico  d =2/7 una cassa di massa m = 50 kg, se si vuole che acquisti una accelerazione a = 5 m/s 2 ? SOLUZIONE: Equazione del moto secondo l'asse x: F-F attrito = ma F attrito =  d mg  F = ma +  d mg = 390 N

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57 La figura mostra una struttura mobile (scultura di Calder) costituita da 4 pesi appesi a 3 barre di massa trascurabile. Si trovi ciascuno dei pesi sconosciuti se la struttura è in equilibrio.

58 SOLUZIONE Cominciamo col determinare il peso P 1. Consideriamo pertanto la sbarretta più in basso e i due pesi ad essa attaccati; poiché il sistema è in equilibrio deve essere nullo il momento delle forze rispetto al punto A: 0 = (0.03 m)(2 N)- (0.04 m)(P 1 ) P 1 = (0.03  2)/0.04 = 1.5 N (forza peso esercitata); la massa sarà pertanto: 1.5 N/ 9.8 m/ s 2 = 0.153 kg = 153 g Analogamente, considerando la seconda sbarretta, a un'estremità della quale c'è il peso P 2, mentre all'altra viene esercitata una forza peso pari a (2 + 1.5) N = 3.5 N, si ottiene: P 2 = (0.04  3.5)/0.02 = 7 N, la massa corrispondente è 0.714 kg Infine: P 3 = (0.02  10.5)/0.06 = 3.5 N, la massa corrispondente è 0.357 kg.

59 Una grande cassa appoggiata su rulli, che pesa 500 N, deve essere sollevata fino ad una piattaforma di caricamento situata ad una quota di 3 m rispetto alla strada. La massima forza disponibile è 180 N. Qual è la massima inclinazione di un piano inclinato che può Essere usato per spingere la cassa sulla piattaforma? Quanto deve essere lungo il piano inclinato? SOLUZIONE L ? Occorre esercitare una forza che può essere diminuita di un fattore sin  se  è l’ inclinazione di un piano inclinato :

60 Un proiettile viene lanciato da un cannone con un angolo di 45°rispetto alla direzione orizzontale e con una velocità iniziale v 0 pari a 100 m/s. Se il cannone si trova sul bordo di un precipizio alto d = 400m, trovare a quale distanza dal precipizio il proiettile toccherà terra. Scegliamo il sistema di riferimento come indicato in figura, in modo da far coincidere la bocca del cannone con l’origine O. Le componenti della velocità iniziale sono: x) v x =v 0 cosα y) v y =v 0 senα Nella direzione x il moto è uniforme, nella direzione y è uniformemente accelerato (accelerazione di gravità g):

61 Ponendo y=-d=-400m si ottiene il risultato richiesto risolvendo la: Completare l’esercizio