Proposti Test della SEP. Risultato migliore: Ashby el a., Phys. Rev. Lett., 98 070802 (2007)  =1.4 10 -6.

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1 Proposti Test della SEP

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3 Risultato migliore: Ashby el a., Phys. Rev. Lett., 98 070802 (2007)  =1.4 10 -6

4 La Congettura di Schiff Congettura: Ogni teoria completa ed autoconsistente della gravità che includa il WEP necessariamente include il EEP Difficilmente dimostrabile, ma plausibile essendo il formalismo di una teoria gravitazionale unico, verificare il WEP potrebbe garantire anche la validità degli esperimenti sui clock, o altro.. ARGOMENTI A FAVORE ED ALCUNI CONTROESEMPI (Contestati) WEP provata con grande accuratezza (10 -13 ) con bilance di torsione. EEP verificato solo con un’accuratezza di 10 -4 con esperimenti di redshift gravitazionale. Nel 1960 Schiff ha ipotizzato che qualsiasi teoria della gravità che sia invariante di Lorentz e che obbedisca al principio debole obbedirebbe anche all’EEP (LLI e LPI). Se questo fosse vero, l’EEP sarebbe provato con la stessa precisione del principio debole, aumentando molto la solidità sperimentale della relatività generale.

5 FLOOR Fotone a frequenza ’ E k =m B g B H H B Decade da A  B FLOOR Fotone a frequenza H L’argomento proposto assume la conservazione dell’energia supponiamo che un sistema in caduta g A emetta un fotone a frequenza quando è ad altezza H perdendo energia h la frequenza del fotone e’ spostata a ’ quando raggiunge terra, e la variazione di energia potenziale del sistema nello stato B è

6 FLOOR H Fotone a frequenza ’ E k =m B g B H Ricostruisco lo stato A FLOOR H A Per ricostruire lo stato devo fornire energia h ’ e E B =m B g B H per cui affinchè si conservi l’energia totale dopo il ciclo deve essere:

7 FLOOR H A Posso riportarlo nella posizione originaria solo se m B g B H + h ’ = h + m A g A H (conservazione energia) Violazione WEP: Allora violi anche la LPI :

8 Contro-esempio alla congettura di Schiff: un campo pseudoscalare che interagisce con il campo elettromagnetico conducendo ad una violazione del EEP, pur obbedendo al WEP. il campo pseudoscalare produrrebbe una rotazione della polarizzazione, la CPR (Rotazione della polarizzazione cosmica) o birifrangenza cosmologica. La CPR, cioè una rotazione del piano di polarizzazione per una radiazione che viaggi per distanze cosmologiche, è teoricamente prevista nel caso di violazione di alcuni principi fondamentali della fisica. Il più noto di questi è il principio di equivalenza di Einstein (EEP), sul quale si basano tutte le teorie metriche di gravitazione, inclusa la relatività generale. La CPR, se esistesse, produrrebbe per accoppiamento un segnale anche nella polarizzazione B-mode del CMB… Limite superiore alla rotazione di circa un paio di gradi, usando la polarizzazione radio e ottica/UV delle radio galassie e la polarizzazione E-mode del CMB. Analisi con BICEP2 ma prima dei dati di Planck!! 

9 Lezione V Teorie metriche della gravitazione e confronti sperimentali

10 Contenuto della Lezione V 1) Diverse Teorie Metriche 2) Tests della Relatività Generale 3) Il principio di Equivalenza Forte

11 Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale Completa: Dai principi primi devono essere derivate tutte le equazioni necessarie a descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale. Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla). Relativistica: Quando il campo gravitazionale è trascurabile le leggi fisiche si devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale. Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana. (*) Condizioni Logiche Verifiche Sperimentali (*) L’ultima richiesta può sembrare superflua in quanto la meccanica relativistica, una volta raggiunta nell’ipotesi di campi deboli (vedi terzo punto), di per se stessa, nel limite di basse velocità, si riduce alla meccanica Newtoniana. Non bisogna però dimenticare che le leggi della gravitazione Newtoniana non sono compatibili con la Relatività Speciale. Chiedendo che queste siano verificate, chiediamo qualcosa di aggiuntivo.

12 Teorie metriche della Gravitazione L’unico campo che regola le equazioni del moto è la metrica g. Il ruolo degli altri campi che la teoria può contenere è solo quello di contribuire a generare la metrica. La materia crea questi campi che, insieme alla materia generano la metrica, ma la materia risponde solo alla metrica. (*) (*) Le leggi della fisica sono espresse in forma covariante  la loro forma della relatività speciale viene generalizzata ad una nuova forma che tenga conto della curvatura dello spazio. La logica è quindi quella di scrivere le leggi della Relatività Generale nella forma della Relatività Speciale rimpiazzando il tensore metrico pseudo-Euclideo con il tensore metrico g, le virgole in semi-colonne (derivate covarianti). Le diverse teorie si differenziano sul modo in cui la metrica viene generata. Il meccanismo di cui sopra si applica ad una qualunque teoria metrica, è solo la traduzione formale del EEP Nella teoria della Relatività Generale esiste un unico campo gravitazionale generato dal tensore energia-impulso che contiene sia la materia che gli altri campi. Nella teoria di Branse-Dicke-Jordan la materia ed i campi generano un campo scalare  che insieme a materia e campi generano la metrica. Nella teoria di Ni è supposto che esista una metrica piatta in tutto l’Universo dove esiste un tempo proprio. Il tensore metrico  coopera con la materia ed il campo scalare alla creazione della metrica g a cui la materia è accoppiata

13 Panorama del 20 o secolo … non completo Alcuni autori proposero più di una teoria, per esempio Einstein, Ni, Lee, Norvedt, Papapetrou, Yilmaz, etc… Alcune teorie sono variazioni di altre Anni più attivi 20/30 e anni 60/70

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21 All’interno del sistema solare la luce segue traiettorie rettilinee e i corpi di test si muovono seguendo le leggi della fisica Newtoniana con approssimazioni di una parte su 10 5 dove a è l’accelerazione di un corpo e U il potenziale generato dalla densità di massa a riposo  In una teoria Metrica l’accelerazione di un corpo a riposo in un campo gravitazionale statico si deduce a partire dall’equazione delle geodetiche (*) la virgola indica la derivazione ordinaria

22 Poichè il campo è statico e debole possiamo pensarlo come una perturbazione al primo ordine della metrica piatta di Minkowsky: Che a grandi distanze dalla sorgente diviene la metrica piatta

23 In questa approssimazione valgono le equazioni di Eulero della Fluidodinamica valide nella fisica Newtoniana e (con buona approssimazione) nel sistema solare LIMITE NEWTONIANO DI UNA TEORIA METRICA E’ LO SVILUPPO AL PRIMO ORDINE NELLE QUANTITA’ MENZIONATE Quindi il tensore energia-impulso per un fluido perfetto assume la forma: e le equazioni di Eulero sono equivalenti a

24 Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del viriale, sono piccole La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola della densità di energia gravitazionale  U (p/  circa 10 -5 nel sole e 10 -10 sulla terra) In tutto il sistema solare U < 10 -5 Altre forme di energia (termica, elastica, radiativa) sono piccole: densità specifica di energia  =u/  c 2 (densità di energia fratto energia a riposo)  <U  ~10 -5 per il sole, ~ 10 -10 per la terra

25 Il limite Newtoniano è valido per descrivere la fisica nel sistema solare con una precisione dell’ordine di una parte su 10 5. Già l’avanzamento del perielio di Mercurio è un effetto su scala inferiore (5 x 10 -7 rad su ogni orbita)…. In altre parole, negli anni ’70 il limite Newtoniano (cioè lo sviluppo al primo ordine era sufficiente a descrivere le osservazioni) Attualmente per lo studio di fenomeni ove è più forte la gravità non basta fermarsi al primo ordine ed in casi particolari addirittura va abbandonata la tecnica perturbativa

26 Il limite Newtoniano si può vedere come uno sviluppo della metrica troncato all’ordine O(2) =   L’azione I NG da cui si deriva l’equazione delle geodetiche per una singola massa neutra si può scrivere per cui l’integrando è la Lagrangiana di una singola particella in un campo gravitazionale metrico che nel limite Newtoniano si scrive:

27 Lo sviluppo post-Newtoniano include i termini di ordine successivo a O(2)=  2. I termini di ordine dispari O(1) e O(3) contengono un numero dispari di fattori velocità o derivate temporali, per cui non rispettano la conservazione dell’energia (dissipazioni, assobimento)…sono quindi vietati per rispettare il limite Newtoniano Oltre O(4) possono esserci e dare diverse predizioni a seconda della teoria. O(5) vietata dalla RG per la conservazione dell’energia O(7) può esserci ed è legata alla perdita di energia per emissione di onde gravitazionali

28 Lo sviluppo Post-Newtoniano si ferma all’ordine (  4 ) Ciascuna teoria deve fornire gli sviluppi a questi ordini della metrica Ciascuna teoria potrebbe presentare la sua “versione particolare” La metrica PN più generale è data da una lineare di vari funzionali di variabili che descrivono le proprietà della materia (potenziali PN). I coefficienti della combinazione possono dipendere dal tipo di modello cosmologico. La teoria è però obbligata a rispettare delle regole: ordine dello sviluppo, assenza di dimensioni, termini che vanno a zero almeno per 1/r, le correzioni siano date da prodotti delle grandezze di cui sopra, etc, etc, etc.. (Gravitation Par.39.8)

29 Le teorie si distinguono una dall’altra dai valori assunti dai parametri Post-Newtoniani w preferred frame parameters

30 Termini che regolano la dipendenza dalla metrica dalla velocità del sistema di riferimento rispetto ad un sistema di riferimento Universale

31 Teorie Semi-Conservative (conservazione globale dell’impulso) Totalmente Conservative (oltre all’impulso, conservazione del momento angolare su scala globale)  nullità di effetti dipendenti dalla velocità del sistema di riferimento   =0.  è non zero in tutte quelle teorie che predicono una dipendenza dalla posizione rispetto ad un sistema di riferimento privilegiato  anisotropia di G

32 PPN in General Relativity Per i dettagli del calcolo vedereC.Will Par.5.2

33 PPN in Brans-Dicke

34 Per i dettagli del calcolo vedere C.Will,Par.5.3

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36 Limiti sperimentali dei parametri PN Relazioni fondamentali sulla base delle quali si deducono i limiti ai parametri PN per i test classici della Relatività Generale Deflessione della luce Ritardo della luce Precessione del perielio di Mercurio

37 Equazioni del moto per i fotoni t=x o (1) (2)

38 Equazioni del moto per i fotoni (1) (2) Soluzione Newtoniana (0 order)

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40 origine delle coordinate sul centro del sole alla direzione di propagazione imperturbata della luce Potenziale gravitazionale generato dal sole di massa m (1) (2) la (2) integrata

41 Deflessione della Luce Un osservatore sulla terra riceve il fotone dalla sorgente e da una stella di riferimento in x r

42 Deflessione della Luce  b GRAZING PHOTONS Traiettorie dei Fotoni nello sviluppo Post-Newtoniano Osservatore Posizione vera Posizione apparente sole

43 Deflessione della Luce Prima ossevazione: Eddington (1919) Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante. 30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti. Misure Ottiche successive (‘70) pongono limiti al 10%

44 Very-Long-BaseLine Radio Interferometry Ogni anno il Sole raggiunge la minima distanza dalla linea visiva che congiunge la terra a gruppi di quasar. (Accuratezza di 100  arcsec) Deflessione della Luce da parte di Giove: 300 microarcsec verificate con accuratezze del 50%

45 Ritardo dell’eco radar dall’equazione del moto del fotone:

46 Ritardo di arrivo della luce (Shapiro delay) 3 Differenti tipi di misure basate sull’eco radar Alla deflessione e’ associato anche un ritardo che è massimo quando il pianeta o la stella sorgente è in congiunzione superiore con il sole. Calcolato da Irwin Shapiro all’inizio degli anni ’60. I. Vengono utilizzati pianeti come Venere o Mercurio come riflettori passivi di segnali radar. Una delle maggiori difficoltà è legata alla scarsa conoscenza della topografia planetaria  errori (~ 5  s). Se si manda un segnale radar ad un pianeta (o ad una sonda artificiale) che passi vicino al Sole, e lo si riceve indietro, si può misurare questo ritardo...

47 II. Utilizzo di satelliti artificiali come riflettori attivi (Mariner 6 e 7). Errori legati ad accelerazioni spurie, ai sistemi di controllo dell’assetto, al vento solare e alla pressione di radiazione (~ 50 m). Le migliori misure dello “Shapiro time delay” sono state fatte usando la sonda Mariner 6 (inviata verso Marte) durante 2 congiunzioni superiori con la Terra che ebbero luogo il 31 Marzo 1970 e 10 Maggio 1970. La NASA approvò questi esperimenti solo l’8 dicembre 1969, pochi mesi prima che le 2 congiunzioni si verificassero. Disporre di una sonda artificiale è importante perché ha a bordo un “transponder”, però i disturbi dovuti ai razzetti usati per controllare il suo assetto degradano la qualità della misura. I pianeti non hanno questi disturbi, ma non dispongono di “transponder”.

48 III. La cosa migliore è di “ancorare” la sonda al pianeta, in modo da avere il transponder senza i disturbi... quindi... usare un “orbiter” (attorno a Marte) o meglio ancora un “lander” (sulla superficie di Marte). E infatti Shapiro ripetè l’esperimento nel 1972 con il Mariner 9 e nel 1976 con il Viking Lander. (1+  misurato con accuratezze dello 0.1% Le traiettorie di Marte nel cielo, vicino al Sole, durante la congiunzione superiore con Mariner 9 (dal 30 Agosto al 15 Settembre 1972) e quella con il Viking (dal 15 Novembre al 4 Dicembre 1976)

49 Il parametro  Ruolo ridotto del campo scalare  = 1+(2.1±2.3)10 -5 Migliore misura con sonda Cassini

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52 che descrive lo spazio-tempo attorno a massa sferica M

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54 che rappresenta un moto armonico per u=r -1 con una piccola perturbazione

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58 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Terra: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su mille Sole: R equat. e R polare differiscono di 1 parte su 10 5 Effetto dovuto alla Relatività Generale o teorie alternative Perturbazione dal moto dei pianeti: 500” per secolo Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole Sottraibile con ottima accuratezza Perturbazione dovuto al rapporto delle masse dei corpi (nullo in teorie puramente conservative)

59 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla superficie  J = Q/2MR 3 = 2 x 10 -5 (errore al 10%) Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni compatibili con la teoria di Brans-Dicke. Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura J = Q/2MR 3 = 1 x 10 -6 (errore al 400%) Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari J = Q/2MR 3 = 2 x 10 -7 (errore al 10%) Brown et al.(1989): Misura più accurata J = Q/2MR 3 = 1.5 x 10 -7 (errore al 10%) Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento di quadrupolo del sole…

60 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. C ed A sono i momenti di inerzia rispetto all’asse di rotazione e all’asse equatoriale Trascurabile comunque m=m 1 +m 2 Massa totale  Massa ridotta R Raggio medio del sole Avanzamento per ciascuna orbita

61 un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. L’errore sperimentale dell’osservazione Radar di Mercurio (dal 1966) è circa una parte su mille Avanzamento per secolo Sotto l’errore sperimentale

62 Il SEP estende i concetti di LLI e LPI agli esperimenti con una forte componente autogravitante. Nella RG il SEP è valido. Nel caso di violazione di SEP un corpo di massa m caratterizzato da energia  g autogravitante cade in un campo U con accelerazione:   è la densità del corpo

63 Effetti legati alla violazione del SEP Effetti di preferred frame e location nelle misure di G Variazioni di G su scale cosmologiche

64 Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può violare il principio di Unicità del Free-Fall L’effetto Nordvedt: crescente polarizzazione dell’orbita Terra-Luna per effetto del Sole rispetto al quale Terra e Luna hanno una diversa energia autogravitante

65 Laboratory-size objects Misurabile in sistemi con rapporto  a /m a grandi Sun Earth Moon

66 Polarizzazione dell’orbita lunare verso il sole  o frequenza di rotazione Luna-Terra  s frequenza di rotazione Terra-Sole

67 Apollo 11 ha piazzato nel 1969 dei retro-riflettori sulla superficie lunare. Un laser manda impulsi di 10 18 fotoni della durata di 200 ps. 1 fotone ogni qualche secondo viene rivelato. Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps) sull’orbita lunare. Lunar Laser Ranging Experiments Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, post- Newtonian Gravitational Effects,….etc.. (Williams et al., 1976) (Shapiro et al., 1976)

68 Materiale Didattico un corpo in movimento, in assenza di forze esterne, si muove con velocità costante. TESTI FONDAMENTALI Cap.4 dello Will per capire la logica complessiva dello sviluppo Post-Newtoniano e delle diverse teorie metriche. C.Will: “The Confrontation Between General Relativity and Experiment”, sul sito web. Capitolo 39 del Gravitation. TESINE POSSIBILI I 3 test standard della Relatività Generale (problematiche sperimentali) Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani