Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio.

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1 Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio

2 GIOCHI DI ARCHIMEDE 2Preparazione giochi di Archimede - Triennio INTERNAZIONALI GARA A SQUADRE ALLA SAPIENZA GARA A SQUADRE A TOR VERGATA GARA A SQUADRE NAZIONALE FASE PROVINCIALEFASE NAZIONALE PREPARIAMOCI DA SUBITO!

3 PROBLEMA 1 Marco distribuisce 1260 figurine tra tutti i suoi amici, che sono meno di 100, dando a ciascuno di loro lo stesso numero di figurine e in modo da distribuirle tutte. Qual è il massimo numero di amici che Marco può avere? (A)70 (B) 84 (C) 90 (D) 94 (E) nessuna delle precedenti Preparazione giochi di Archimede -Triennio3

4 FATTORIZZIAMO 1260 1260 2 630 2 315 3 105 3 1260 = 2² 3² 5 7 35 5 7 7 1 Preparazione giochi di Archimede -Triennio4 IL SOTTOMULTIPLO PIÙ GRANDE, MINORE DI 100 È 90 (C)

5 UNA BUONA PERCENTUALE DEI PROBLEMI DEI GIOCHI DI ARCHIMEDE È DI ARITMETICA. UN BUON APPROCCIO A QUESTI ESERCIZI È SPESSO SCOMPORRE IN FATTORI PRIMI I NUMERI IN GIOCO Preparazione giochi di Archimede -Triennio5

6 PROBLEMA 2 Si considerino i numeri naturali n di tre cifre che verificano la seguente proprietà: le cifre di n sono tre numeri consecutivi in ordine qualsiasi (esempio 645). Quanti fra questi numeri sono primi? (A)Nessuno (B) 1 (C) 2 (D) più di 2, ma meno di 10 (E) più di 10 Preparazione giochi di Archimede -Triennio6

7 CONSIDERIAMO LE TRE CIFRE GENERICHE CONSECUTIVE COME: (n-1) n (n+1) Preparazione giochi di Archimede -Triennio7 NOTIAMO CHE LA LORO SOMMA È 3n QUINDI IL NUMERO SARÀ SEMPRE DIVISIBILE PER 3 QUINDI IL NUMERO NON PUÒ ESSERE PRIMO (A)

8 Preparazione giochi di Archimede -Triennio8 Divisibilità per 2: cifra delle unità pari Divisibilità per 2 k : ultime k cifre divisibili per 2 k Divisibilità per 3: somma delle cifre divisibile per 3 Divisibilità per 5: cifra delle unità 0, 5 Divisibilità per 7: differenza del numero (senza l’unità) e il doppio della cifra delle unità è divisibile per 7 o un suo multiplo Divisibilità per 9: somma delle cifre divisibile per 9 Divisibilità per 10:ultima cifra uguale a 0 Divisibilità per 10 k : ultime k cifre uguali a 0 Divisibilità per 11:somma delle cifre prese a segno alterno uguale a zero

9 PROBLEMA 3 Data una tabella con 2 righe e 1007 colonne, scriviamo tutti i numeri da 1 a 1007 sulla prima riga in ordine crescente, e i numeri da 1008 a 2014 sulla seconda, sempre in ordine crescente. Guardiamo ora la tabella come 1007 coppie di numeri sovrapposti in verticale: in quante di esse il numero che compare nella seconda riga è un multiplo di quello che gli sta sopra? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Preparazione giochi di Archimede -Triennio9

10 LA TABELLA È DEL TIPO: Preparazione giochi di Archimede -Triennio10 1 2 3 … 1007 1008 1009 1010 … 2014 VEDIAMO IL GENERICO NUMERO DELLA PRIMA RIGA COME “k” IL SUO CORRISPONDENTE SARÀ “1007+k” CHE È UN MULTIPLO DI “k” SOLO SE 1007 LO È QUINDI “k” PUÒ ESSERE SOLO 1, 19, 53, 1007 (C)

11 RICORDIAMO CHE SPESSO CONVIENE CHIAMARE I NUMERI CON DELLE LETTERE IN MODO DA AGIRE SUL CASO GENERALE INOLTRE SE IN UNA SOMMA UNO DEGLI ADDENDI È MULTIPLO DI “n”, ALLORA LA SOMMA SARÀ MULTIPLO DI “n” SE E SOLO SE ANCHE L’ALTRO ADDENDO LO È Preparazione giochi di Archimede -Triennio11

12 PROBLEMA 4 4) Si sa che il numero 2 48 − 1 possiede esattamente due divisori compresi fra 60 e 70. Quali sono? (A) 61 e 63 (B) 61 e 65 (C) 63 e 65 (D) 61 e 67 (E) 63 e 69. Preparazione giochi di Archimede -Triennio12

13 VEDIAMO IL NUMERO COME DIFFERENZA DI QUADRATI E LO SCOMPONIAMO: Preparazione giochi di Archimede -Triennio13 MA (2 6 +1) = 65 E (2 6 -1) = 63 2 48 -1 = (2 24 +1) (2 24 -1) = (2 24 +1) (2 12 +1) (2 12 -1) = (2 24 +1) (2 12 +1) (2 6 +1) (2 6 -1) QUINDI LA RISPOSTA È (C)

14 PROBLEMA 5 Per quanti numeri naturali n, sia n che (n− 6) 2 + 1 sono primi? (A) 1, (B) 3, (C) 4, (D) 7, (E) più di 8. Preparazione giochi di Archimede -Triennio14

15 NOTIAMO SUBITO CHE PER n=2 VIENE 17 CHE È PRIMO Preparazione giochi di Archimede -Triennio15 CONSIDERIAMO POI CHE TUTTI I PRIMI TRANNE IL NUMERO 2 SONO DISPARI SE n È DISPARI ANCHE n-6 E (n-6)² LO SONO QUINDI (n-6)²+1 È PARI PERTANTO POTRÀ ESSERE SOLO (n-6)²+1=2 DA CUI n=5 OPPURE n=7 (B)

16 PROBLEMA 6 Qual è la cifra delle unità del numero 2013 2014 ? (A) 1, (B) 3, (C) 7, (D) 8, (E) 9. Preparazione giochi di Archimede -Triennio16

17 FOCALIZZIAMOCI SULLE UNITÀ Preparazione giochi di Archimede -Triennio17 NOTIAMO CHE 3x3=9; 3x9=27; 3x27=81; 3x81=243; 3x243=729; … SI RIPETONO SEMPRE LE STESSE 4 UNITÀ QUINDI 2013 2012 TERMINERÀ CON 1, 2013 2013 CON 3 E 2013 2014 CON 9 (E)

18 NOTARE UNA RICORSIONE IN UN ESERCIZIO PUÒ ESSERE LA CHIAVE DELLA SUA RISOLUZIONE TENIAMO ANCHE PRESENTE CHE QUASI OGNI ANNO COMPARE NEGLI ESERCIZI IL NUMERO DELL’ANNO CORRENTE, QUINDI QUEST’ANNO ASPETTIAMOCI QUALCOSA CON IL 2014! FATTORIZZATO È: 2014=2x19x53 Preparazione giochi di Archimede -Triennio18

19 PROBLEMA 7 7) Qual è la cifra delle unità del numero 66 66 /2? (A) 1, (B) 3, (C) 7, (D) 8, (E) 9. Preparazione giochi di Archimede -Triennio19

20 IL DISCORSO È ANALOGO AL PROBLEMA 6 Preparazione giochi di Archimede -Triennio20 QUESTA VOLTA TUTTE LE POTENZE DI 6 TERMINANO CON 6 BISOGNA SOLO STARE ATTENTI QUANDO SI DIVIDE AL FATTO CHE 6/2=3 MA 36/2=18! CHIARAMENTE 33x66 65 È PARI, QUINDI L’ULTIMA CIFRA DEVE ESSERE 8 E NON 3 (D)

21 PROBLEMA 8 Qual è la seconda cifra, partendo da sinistra, del numero (10 4 +1)(10 2 +1)(10+1)? (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4. Preparazione giochi di Archimede -Triennio21

22 SVOLGENDO IL PRODOTTO SI OTTIENE 10 7 +10 6 +10 5 +10 4 +10 3 +10 2 +10+1, OVVERO 11111111. Preparazione giochi di Archimede -Triennio22 LA RISPOSTA È QUINDI 1 (B)

23 PROBLEMA 9 Determinare la somma delle cifre del numero (10 2012 + 1) 3. (A) 4 (B) 8 (C) 2012 (D) 2013 (E) nessuna delle precedenti Preparazione giochi di Archimede -Triennio23

24 SVILUPPIAMO IL CUBO DEL BINOMIO Preparazione giochi di Archimede -Triennio24 (10 2012 +1) 3 =10 6036 +3x10 4024 +3x10 2012 +1 CHE È UN NUMERO DEL TIPO: 10000…30000…30000…1 QUINDI LA SOMMA DELLE CIFRE È 8 (B)

25 RICORDIAMO CHE PER LO SVILUPPO DELL’ENNESIMA POTENZA DEL BINOMIO (E PER TANTE ALTRE COSE) È UTILE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Preparazione giochi di Archimede -Triennio25

26 PROBLEMA 10 Sulla mia lavagna sono scritti alcuni numeri interi positivi, non necessariamente distinti. Se li sommo trovo 83, se li moltiplico trovo 1024. Qual è il più piccolo dei numeri scritti sulla mia lavagna? (A) 1, (B) 2, (C) 4, (D) 8, (E) 16. Preparazione giochi di Archimede -Triennio26

27 DATO CHE 1024 È UNA POTENZA DI 2, I NUMERI SCRITTI SARANNO TUTTE POTENZE DI 2. Preparazione giochi di Archimede -Triennio27 SICCOME LA SOMMA È DISPARI, FRA DI ESSI DEVE ESSERCI NECESSARIAMENTE L’UNICA POTENZA DI 2 DISPARI OVVERO 2 0 =1 (A)

28 PROBLEMA 11 La piccola Rita fa questo gioco: per ogni numero intero compreso tra 10 e 99, estremi inclusi, sottrae la cifra delle unità da quella delle decine e scrive il risultato su un foglio (ad esempio per 21 scrive 1, cioè 2 − 1, mentre per 37 scrive −4, cioè 3 − 7). Alla fine somma tutti i numeri che ha scritto sul foglio; quale risultato trova? (A) 0, (B) −30, (C) 45, (D) −50, (E) 100. Preparazione giochi di Archimede -Triennio28

29 FACCIAMO UNA TABELLA CON L’ANDAMENTO DI QUESTI NUMERI… Preparazione giochi di Archimede -Triennio29

30 PROBLEMA 12 In una classe gli alunni biondi sono il 40%, del totale mentre i restanti sono castani. Tra tutti gli alunni biondi, il 75% sono femmine. Sapendo che nella classe il numero di femmine è uguale al numero di maschi, qual è la percentuale di maschi castani sul totale degli alunni della classe? (A) 20% (B) 25% (C) 30% (D) 40% (E) 50% Preparazione giochi di Archimede -Triennio30

31 LA CLASSE PUÒ ESSERE VISTA COSÌ: Preparazione giochi di Archimede -Triennio31 FEMMINE BIONDE MASCHI BIONDI FEMMINE CASTANE MASCHI CASTANI

32 PROBLEMA 13 In una scuola il 60% degli studenti è di sesso maschile, il 90% è minorenne ed il 60% ha i capelli castani. Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera? (A) C’è almeno una ragazza maggiorenne. (B) C’è almeno una ragazza con i capelli castani. (C) C’è almeno un ragazzo minorenne e castano. (D) Non ci sono ragazzi maggiorenni e castani. (E) C’è almeno un ragazzo biondo. Preparazione giochi di Archimede -Triennio32

33 NON BISOGNA MAI FARSI CONDIZIONARE DALLA VEROSIMIGLIANZA DEL PROBLEMA E FARE ASSUNZIONI TIPICHE DELLA VITA REALE! QUANDO NELLE SOLUZIONI C’È “ALMENO” CONVIENE SPESSO ESSERE “PESSIMISTI”! Preparazione giochi di Archimede -Triennio33

34 GRAZIE DELL’ATTENZIONE! A GIOVEDÌ PROSSIMO! Matteo Passafiume Preparazione giochi di Archimede -Triennio34