Mathesis Varese 22 marzo 20161 La moltiplicazione 1° incontro.

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2 Mathesis Varese 22 marzo 20161 La moltiplicazione 1° incontro

3 Date incontri Mathesis Varese 22 marzo 20162 1° Incontro: martedì22 MARZO 2016 2° Incontro: martedì12 APRILE 2016 3° Incontro: martedì26 APRILE 2016 4° Incontro: martedì10 MAGGIO 2016 5° Incontro: martedì17 MAGGIO 2016

4 Mathesis Varese 22 marzo 20163 La moltiplicazione … a fumetti

5 Mathesis Varese 22 marzo 20164 Itinerario didattico Capitolo ottavo La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche 8.1 Risoluzione di problemi di schieramento 8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta 8.3 Risoluzione di problemi di incroci 8.4 Risoluzione di problemi di combinatoria Capitolo nono La moltiplicazione tra numeri naturali 9.1 Calcolo di un prodotto con l’utilizzo di materiale predisposto 9.2 Le proprietà della moltiplicazione 9.3 Calcolo di un prodotto mediante l’algoritmo Capitolo decimo Consolidamento dei significati e della tecnica della moltiplicazione 10.1 Risoluzione di esercizi relativi alla moltiplicazione 10.2 Risoluzione di problemi relativi alla moltiplicazione (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 154 a pag.185

6 Mathesis Varese 22 marzo 20165 Indagine sulle conoscenze pregresse L’indagine sulle conoscenze pregresse può esse guidata da domande e attività come le seguenti: 1. Che cosa significa “moltiplicare”? 1.a – Cosa significa raddoppiare, fare il doppio? 1.b – Come si fa a fare il doppio? Fate un esempio. 1.c – Cosa significa triplicare, fare il triplo? 1.d – Come si fa a fare il triplo? Fate un esempio. 2. Formiamo degli schieramenti. 2.a – Tre di voi formino una riga. 2.b – Quattro di voi formino una fila. 2.c – Mettetevi in fila a cinque a cinque. Si fanno schierare alcuni bambini oppure si schiera del materiale e si chiede: 3. Come fate a sapere quanti bambini (o oggetti) sono schierati? Si pone all’attenzione dei bambini l’immagine di un parcheggio con auto schierate; si chiede loro di ricostruire lo schieramento con materiale, tipo cubetti: 4. Come possiamo sapere quanti cubetti serviranno per ricostruire lo schieramento di auto? Si legge ai bambini un testo come il seguente e lo si fa drammatizzare al fine di rilevare la comprensione di termini frequenti nell’espressione di problemi moltiplicativi: 5. La mamma per la festa ha preparato 3 vassoi di pasticcini; in ogni vassoio ci sono 7 pasticcini. Quanti pasticcini ha preparato la mamma in tutto?

7 Mathesis Varese 22 marzo 20166 Esito dell’indagine Il termine moltiplicare, se noto, viene associato dai bambini alla azione del “creare oggetti” e al conseguente aumento della loro quantità, talvolta con riferimenti religiosi come la moltiplicazione biblica dei pani e dei pesci. In genere, gli alunni conoscono gli operatori moltiplicativi espressi dalle parole raddoppiare-fare il doppio e triplicare-fare il triplo e sanno applicarli sia attraverso la manipolazione di materiale sia graficamente e numericamente. In merito agli schieramenti, le conoscenze pregresse sono influenzate da eventuali esperienze scolastiche già condotte nell’ambito dell’orientamento spaziale (si veda in proposito Nel mondo della geometria Volume 1); in ogni caso il significato delle parole fila e riga è noto. Tale calcolo viene eseguito tramite addizioni ripetute, soprattutto se i bambini hanno già lavorato con gli operatori additivi e la loro applicazione successiva.

8 Mathesis Varese 22 marzo 20167 La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche La moltiplicazione è un’operazione che si presta a diverse interpretazioni, nelle quali possono ricorrere anche grandezze non omogenee, ossia i numeri naturali della coppia ordinata ai quali viene applicata la moltiplicazione possono essere la quantificazione di “oggetti” di natura diversa. È questa una differenza fondamentale della moltiplicazione rispetto all’addizione, che è interpretabile solo come operazione tra numeri di “oggetti” omogenei (si veda in proposito Nel mondo dei numeri e delle operazioni Volume 2). Inoltre, a sua volta il risultato di una moltiplicazione può essere la quantificazione di grandezze di natura diversa rispetto ai numeri dati.

9 Mathesis Varese 22 marzo 20168 Moltiplicazioni tra due quantità  non omogenee: si consideri l’esempio “Vi sono 3 vasi, ciascuno dei quali contiene 4 fiori; quanti fiori vi sono in tutto?”. Dal punto di vista formale, se si indica con f la grandezza “fiori” e con v la grandezza “vasi”, la traduzione simbolica del testo è: La moltiplicazione non è, dunque, tra numero di fiori e numero di vasi, ma tra numero di “fiori per vaso” e numero di vasi e il risultato è il numero di fiori.

10 Mathesis Varese 22 marzo 20169 Moltiplicazioni tra due quantità  omogenee: sono moltiplicazioni tipiche della geometria e generano grandezze diverse rispetto a quella dei dati; per esempio, il prodotto di due lunghezze è un’area: 5cm x 3cm = 15 cm 2 concettualmente

11 Mathesis Varese 22 marzo 201610 3 cm 5 cm AREA DEL RETTANGOLO 1 cm 2 Se 5cm e 3cm sono le lunghezze dei lati si ha:

12 Mathesis Varese 22 marzo 201611 Moltiplicazioni tra una quantità e un numero  Moltiplicazioni tra una quantità e un numero: il prodotto è una quantità omogenea a quella data; per esempio, nella moltiplicazione utilizzata per determinare la lunghezza C di una circonferenza di diametro lungo d, espressa dalla formula C =  d,  è un numero, mentre d e C sono due grandezze dello stesso tipo (lunghezze): se d = 4 m si ha C =   4 m  12,56 m

13 Mathesis Varese 22 marzo 201612 Equazioni dimensionali Il calcolo dimensionale è piuttosto complesso; non è banale neppure il calcolo con le grandezze, ossia con le unità di misura, in quanto si opera su tali unità con le regole del calcolo letterale. Nell’Enciclopedia delle Matematiche elementari, vol.II parte I p. 132 si leggono le seguenti parole di Peano: «è lecito operare sulle grandezze, purché le “marche” con le quali si indicano le singole unità di misura accompagnino (a guisa di fattori) il procedimento algoritmico, assoggettate alle leggi stesse del calcolo letterale; il che, se nella maggior parte dei casi già si usa dai pratici, può ricevere una sistemazione formalmente ineccepibile».

14 Mathesis Varese 22 marzo 201613 Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche 1) Le mele, oggi, costano €1,60 al chilogrammo. Se ne compero 8kg quanto spendo? Lo svolgimento con l’uso corretto delle “marche” è Qualsiasi altra scrittura non è corretta dal punto di vista dimensionale.

15 Mathesis Varese 22 marzo 201614 Esempi di esercizi classici nelle proposte didattiche 2) Nel caso che il problema richieda l'operazione di divisione le cose si complicano ulteriormente. Il precedente problema proposto nelle due possibili formulazioni inverse porta a scrivere

16 Mathesis Varese 22 marzo 201615 Come procedere … in modo corretto Nei tre casi sopra considerati si potrebbe scrivere: 1)Calcolo la spesa in euro: 1,6 x 8 = 12,8 2)Calcolo la quantità di mele, in chilogrammi, che posso comperare: 12,8 : 1,6 = 8 3)Calcolo il costo, in euro, di un chilogrammo di mele: 12,6 : 8 = 1,6

17 Mathesis Varese 22 marzo 201616 8.1 Risoluzione di problemi di schieramento 8.1.1 Conteggio degli elementi manipolati o disegnati 8.1.2 Messa in evidenza della coppia ordinata dei numeri associati ai dati e del relativo risultato 8.1.3 Denominazione e scrittura formale della moltiplicazione Si ritiene opportuno introdurre la moltiplicazione attraverso gli schieramenti, in quanto ad essi si possono ricondurre le altre accezioni della moltiplicazione tra numeri naturali. Uno schieramento, infatti, è uno schema che consente di disporre spazialmente in modo ordinato una certa quantità e la moltiplicazione è la descrizione di questa organizzazione, nella quale ogni posizione è individuata da una riga e da una colonna.

18 Mathesis Varese 22 marzo 201617 Attività sugli schieramenti a livello corporeo: giochi in palestra Fa parte dell’esperienza dei bambini il mettersi in riga – uno di fianco all’altro in modo che per tutti i bambini della riga valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari davanti/dietro il mettersi in fila – uno dietro l’altro in modo che per tutti i bambini della fila valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari destra/sinistra. Esempio Si consideri il gioco “Leprottino scappa tra le siepi” e lo si supponga proposto ad una classe di 20 alunni: un alunno è il leprottino, un altro il lupo e i rimanenti 18 si dispongono in fila a tre a tre per formare le siepi. Se l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare tra le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando è “Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi. Se il leprotto riesce a completare la propria corsa tra le siepi è salvo, mentre se viene preso diventa a sua volta lupo; in ogni caso, un altro bambino assume il ruolo di leprotto.

19 Mathesis Varese 22 marzo 201618 Se l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare tra le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando è “Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi. Corsa tra le righe Corsa tra le file

20 Mathesis Varese 22 marzo 201619 Quando l’insegnante dice “Cambio” i bambini che formano le siepi ruotano di un quarto di giro verso destra e il gioco riprende con le siepi orientate in modo diverso, per cui: Corsa tra le righeCorsa tra le file

21 Mathesis Varese 22 marzo 201620 Riflettere Guidare l’attenzione dei bambini sul numero delle righe e delle file e sulla rispettiva equonumerosità, con domande come:  Quanti bambini in ogni riga?  Quante righe?  Quanti bambini in tutto? Quest’ultima domanda ha lo scopo di fare esplicitare le strategie messe in atto per stabilire il numero complessivo degli elementi schierati: è possibile che alcuni bambini procedano contando uno a uno gli elementi, ma è anche probabile che qualcuno utilizzi addizioni ripetute (3+3+3+3+3+3 oppure 6+6+6). “Abbiamo formato 6 righe di 3 bambini ciascuna e abbiamo sistemato 18 bambini” sinteticamente resa con la scrittura (6, 3)  18

22 Mathesis Varese 22 marzo 201621 Schieramenti relativi alla moltiplicazione come operatore Si chiede ai bambini di costruire uno schieramento avente il numero doppio o triplo di righe rispetto ad uno dato; si suggerisce di partire da uno schieramento costituito da una sola riga, per poi passare a schieramenti iniziali costituiti già da più righe Formalizzazione con i numeri: (3 x 2) 6

23 Mathesis Varese 22 marzo 201622 Osservazione sugli schieramenti Il numero degli elementi di una riga è uguale a quello delle colonne e, viceversa, il numero degli elementi di ogni colonna è uguale a quello delle righe. Nel proseguo del lavoro questa rilevazione consentirà di parlare di schieramento semplicemente come insieme di posizioni ordinate e individuate dall’intersezione di righe e colonne, indipendentemente dagli elementi che occupano tali posizioni.

24 Mathesis Varese 22 marzo 201623 TRA I GIOCHI Luca ha una camera colma di giochi di tutti i tipi. E’ un bambino molto preciso e ama molto vedere i suoi giochi perfettamente in ordine. I peluches sono sempre tutti sul suo letto. Ogni mattina Luca li sistema come raffigurato qui sotto. Quanti sono i peluches di Luca Quanti sono i peluches in ogni riga? Quante sono le righe? Quanti peluches ha Luca? (…, …) …..

25 Mathesis Varese 22 marzo 201624 TRA I GIOCHI Luca è appassionato di macchinine e le colleziona. Le ha sempre in bella mostra sulla sua scrivania per poterle rimirare. Sistema le macchinine sempre nello stesso modo, schierandole come vedi nel disegno. Quante sono le macchinine di Luca? Quanti macchine ci sono in ogni riga? Quante sono le righe? Quanti macchinine ha Luca? (…, …) ….. moltiplicazione

26 Mathesis Varese 22 marzo 201625 TRA I GIOCHI Luca, terminati i suoi compiti, dispone i suoi birilli per una partita. Schiera su una riga 6 birilli e rispetta questa regola per tutto il gioco. Dopo i primi lanci i birilli vengono tutti abbattuti. Luca decide allora di iniziare una seconda partita. Schiera, questa volta, il triplo dei birilli messi in gioco nella partita precedente, in modo che su ciascuna fila ci sia lo stesso numero di birilli. Quanti birilli sistema Luca per la seconda partita? Disegna i birilli che schiera Luca. Prima partitaSeconda partita I birilli nella prima partita sono (…, …) ….. moltiplicazione I birilli nella seconda partita sono (…, …) ….. moltiplicazione

27 Mathesis Varese 22 marzo 201626 NEL NEGOZIO DI DOLCI Luca è entrato con la mamma in una favolosa e invitante dolceria. Si guarda intorno incantato I ciucci …. dolci Quanti ciucci in ogni fila? Quante file? Quanti ciucci in tutto? (…, …) ….. moltiplicazione (…, …) ….. x

28 Mathesis Varese 22 marzo 201627 NEL NEGOZIO DI DOLCI Lecca lecca Quanti lecca lecca in ogni riga? Quante righe? Quanti lecca lecca in tutto? Operazione: …… x ……… = …………

29 Mathesis Varese 22 marzo 201628 8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta Dal conteggio all’operazione aritmetica L'approccio alla moltiplicazione tramite l'addizione ripetuta è quello più praticato. Tuttavia c’è una differenza fondamentale tra addizione e moltiplicazione: l'addizione è eseguibile solo tra quantità dello stesso tipo, mentre la moltiplicazione opera in genere su grandezze non omogenee. Inoltre, se la moltiplicazione viene letta come la scrittura stenografata di una successione di addizioni con gli addendi uguali, non hanno senso le scritture a  0 e a  1 (con a numero naturale qualunque), dato che l'addizione è un'operazione binaria, dunque può essere applicata solo quando si hanno due addendi (o più di due, per la proprietà associativa): cosa significa, allora, addizionare a con se stesso 0 volte o 1 volta? Né vale invocare la proprietà commutativa e dire che, se a è maggiore di 1, a  0 = 0  a e a  1 = 1  a, quindi i prodotti sono, rispettivamente, la somma di 0 con se stesso e la somma di 1 con se stesso a volte, dato che non si può attribuire la proprietà commutativa ad un’operazione non ancora definita.

30 Mathesis Varese 22 marzo 201629 Attenzione Infine, l’utilizzo dell’addizione ripetuta rafforza ulteriormente il misconcetto secondo cui il risultato di una moltiplicazione è sempre un numero maggiore dei due numeri moltiplicati, indipendentemente dal tipo di numeri utilizzati. Si suggerisce di ricondurre le situazioni problematiche di addizione ripetuta agli schieramenti.

31 Mathesis Varese 22 marzo 201630 Esempio 1 “Sul balcone di zia Teresa ci sono 4 vasi; ogni vaso contiene 3 fiori. Quanti fiori ci sono in tutto?”. La rappresentazione della situazione con il disegno è:

32 Mathesis Varese 22 marzo 201631 Si suggerisce ai bambini di togliere i fiori dai vasi e di schierarli, in modo da contarli più facilmente:

33 Mathesis Varese 22 marzo 201632 La descrizione di questa disposizione spaziale è “3 fiori in ogni riga per 4 righe; sono in tutto 12 fiori” Gli alunni, in forza del lavoro fatto sugli schieramenti, sanno già tradurre questa affermazione nell’operazione: 3x4=12 Invece dei vasi, nello schieramento come “contenitore” c’è la riga: il tipo di problema non cambia. La risoluzione del problema con un'addizione ripetuta comporta di trascurare "vasi e righe" e considerare solo il numero dei fiori: prendendo un gruppo di 3 fiori per 4 volte si hanno in tutto 12 fiori" e, astraendo anche dai fiori si può dire: 3 unità per 4 volte danno 12 unità. Questa frase viene matematizzata con la scrittura 3+3+3+3 =12 del problema iniziale non restano che 4 raggruppamenti equonumerosi, ciascuno formato da 3 unità.

34 Mathesis Varese 22 marzo 201633 I golosi di mele Chiara ha invitato i suoi amici Martina, Davide, Riccardo e Sara a giocare. La mamma sapendo che Chiara e i suoi amici sono golosi di mele, prende il cesto della frutta, prepara 5 piatti e mette 3 mele in ogni piatto. Quante mele ha preso la mamma di Chiara dal cesto della frutta?

35 Mathesis Varese 22 marzo 201634 I golosi di mele Si rappresenta la situazione finale sul quaderno: Si fa verbalizzare ai bambini come hanno fatto a trovare il numero di tutte le mele. La risposta comune sarà: “Abbiamo contato facendo 3 + 3 + 3 + 3 + 3 e abbiamo trovato 15” Successivamente si descrive l’operazione concreta: “Abbiamo preso 5 piatti e in ogni piatto abbiamo messo 3 mele, in tutto sono servite 15 mele”. Con i numeri possiamo scrivere: (3, 5) 15 Dalla conversazione dei bambini dovrebbe emergere che:  ci sono gruppi equonumerosi di mele  se mettiamo insieme le mele di tutti i gruppi scopro quante sono le mele  è come negli schieramenti

36 Mathesis Varese 22 marzo 201635 Come poter disegnare le mele in modo da contarle con facilità? Basta togliere le mele dai piatti e formare con esse 5 righe ciascuna con 3 mele In questo schieramento si mette in evidenza la presenza di 5 righe ciascuna di 3 mele, perciò si può scrivere : 3  5 = 15

37 Mathesis Varese 22 marzo 201636 IN MEZZO AL MAR 6 pesci palla di grossa taglia ballano in tondo un bel girotondo. Ad ogni nota di RE-BEMOLLE da ogni bocca escono 5 bolle. Disegna le bolle che escono dalla bocca dei pesci e scopri quante sono se le mettiamo tutte insieme. Quante bolle fa ogni pesce palla? Quanti sono i pesci palla? Quante sono tutte le bolle? Operazione: ……………………………

38 Mathesis Varese 22 marzo 201637 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Dal conteggio all’operazione aritmetica L’utilizzo degli incroci in ambito aritmetico ha uno scopo essenzialmente quantitativo: stabilire il legame operativo tra la coppia ordinata dei numeri di linee che si incrociano e il numero dei punti intersezione ottenuti. Per riprendere o introdurre i problemi di incroci si può proporre, ricostruita sul pavimento, la mappa di un quartiere nel quale le strade sono di due tipi: due strade di uno stesso tipo sono tra loro parallele, mentre ogni strada di un tipo è perpendicolare ad ogni strada dell’altro tipo. Le strade possono essere tracciate con nastri trasparenti di colore diverso, così che il punto in cui due strade si incontrano ha entrambe le colorazioni.

39 Mathesis Varese 22 marzo 201638 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Esempio Si supponga che nel quartiere le strade di un tipo siano 3 e quelle dell’altro tipo siano 2; la vista dall’alto della rete stradale sarà per esempio: nastro blunastro giallo Si fanno evidenziare gli incroci con dei bollini adesivi e si fa rappresentare la situazione sul quaderno: “3 strade blu si incrociano con 2 strade gialle e abbiamo 6 incroci” Con i numeri si può scrivere: (3, 2) 6 I bollini che evidenziano gli incroci sono disposti secondo uno schieramento: 2 file di 3 bollini ciascuna. Il numero complessivo degli incroci è, dunque, risultato di una moltiplicazione: 3  2 = 6

40 Mathesis Varese 22 marzo 201639 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Gli incroci consentono di dare significato intuitivo anche alle moltiplicazioni a x 1, per la quale anche gli schieramenti sono idonei, e, in particolare, a x 0. Esempio 1 Se si continua con la modalità di lavoro dell’esempio precedente, tracciando sul pavimento 3 strade rosse e nessuna gialla non si ottengono incroci La verbalizzazione della situazione è dunque: “3 strade rosse incrociano 0 strade gialle; si formano 0 incroci”. Con i numeri si avrà perciò: (3, 0) 0 ossia 3 x 0 = 0 Se almeno uno dei numeri della coppia è 0 il risultato è della moltiplicazione è 0. conclusione

41 Mathesis Varese 22 marzo 201640 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Esempio 2 Sul pavimento dell’aula si tracciano 4 strade rosse e 1 gialla. La descrizione della situazione è dunque: “4 strade rosse incrociano 1 strada gialla; si formano 4 incroci”. Con i numeri si avrà perciò: (4, 1) 4 ossia 4 x 1 = 4 Se almeno uno dei numeri della coppia è 1 il risultato è della moltiplicazione è uguale all’altro numero della coppia. conclusione

42 Mathesis Varese 22 marzo 201641 LA CITTÀ DI STRADOPOLI Cinque strade principali, tra loro parallele, attraversano la città di Stradopoli, che è divisa in quattro quartieri A, B, C e D. In alcuni quartieri vi sono delle strade secondarie; ognuna di esse incontra tutte e cinque le strade principali. In ogni quartiere quanti sono gli incroci? Quartiere A Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione: ……………………………

43 Mathesis Varese 22 marzo 201642 Quartiere B Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione: …………………………… Quartiere C Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione: ……………………………

44 Mathesis Varese 22 marzo 201643 Quartiere D Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione: ……………………………

45 Mathesis Varese 22 marzo 201644 ATTENZIONE AGLI INCROCI Completa come nell'esempio, disegnando ciò che manca. 15……… ………. ………(6,3) 6(3,2) INCROCISTRADEDISEGNO

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