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Corso di Economia ed Estimo Civile Prof. Ing. Vincenzo Del Giudice PARTE TERZA Matematica Finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA
La matematica finanziaria costituisce uno strumento indispensabile per risolvere determinati problemi economici ed estimativi. Essa non fa parte, però, né dell’economia né dell’estimo: fornisce soltanto gli strumenti necessari per confrontare fatti finanziari che avvengono in momenti diversi. Si definisce operazione finanziaria qualsiasi operazione che preveda lo scambio tra prestazioni riferire ad epoche diverse, con tali epoche contate a partire da una comune origine. Quando una persona o un’impresa ha bisogno di denaro chiede un prestito per un certo tempo. Colui che da il prestito si chiama mutuante, colui che riceve il prestito si dice mutuatario, la somma data in prestito di dice capitale. Di regola il mutuante richiede un compenso che si chiama interesse. La somma del capitale (C) e dell’interesse (I) si dice montante (M). M = C + I I = M – C L’interesse è dunque il prezzo d’uso del capitale.

Il Saggio di Interesse L’interesse per ogni unità di capitale e per ogni unità di tempo prende il nome di saggio d’interesse. Il saggio d’interesse può essere espresso in termini percentuali (ad es. 5%) o in termini unitari (ad es. 0,05). Il saggio d’interesse è direttamente proporzionale al rischio. Il Montante Il montante è la somma del capitale e dei relativi interessi. Il montante unitario (q) è la somma fra un capitale pari a 1 e gli interessi maturati in un anno: M = C0 + C0 i = C0 (1+i) = C0 q Es. i = 0, q = 1,05

Interesse semplice Si dice che un prestito è fatto ad interesse semplice, se l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo. Se i è il saggio annuo unitario, l’interesse del Capitale C per 1 anno è pari a: I = C ∙ i Mentre per il tempo t (anni) è pari a : I = C∙i∙t Questo tipo di interesse viene usato generalmente per t ≤ 1 (anno). Gli interessi maturati non maturano a loro volta altri interessi. Formule inverse: C = I/(i ∙ t) t = I/(C ∙ i) i = I/(C ∙ t) Il montante ha pertanto la seguente espressione: M = C + I = C + C ∙ i ∙ t = C(1 + i ∙ t) Formula inversa: C= M/(1 + i ∙ t) ; dove C si può anche definire come valore scontato.

Interesse composto Quando gli interessi da pagare al creditore si possono capitalizzare cioè l’interesse si somma al capitale costituendo così un maggiore debito e quindi l’interesse si calcola sul montante: anche l’interesse produce nuovo interesse. In questi casi si dice che il capitale è impiegato ad interesse composto o con capitalizzazione composta. Si ha regime dell’interesse composto quando si procede alla capitalizzazione periodica degli interessi semplici. Il periodo di capitalizzazione, cioè il periodo al termine del quale gli interessi vengono aggiunti al capitale e iniziano a fruttare interessi è di solito annuale: si parla allora di capitalizzazione annua. Si possono avere anche casi di capitalizzazione semestrale o trimestrale; in questi casi la capitalizzazione è detta frazionata.

Calcolo del montante Sia C il capitale investito. Vogliamo conoscere il montante M dopo un numero n di anni con interesse composto al saggio annuo i. M1 , il montante alla fine del primo anno è: M1 = C(1+i) M2 = M1 (1+i) = C(1+i)(1+i) = C(1+i)2 M3 = M2 (1+i) = C(1+i)2(1+i) = C(1+i)3 Quindi: Mn = C(1+i)n Il fattore (1+i)n si chiama fattore di capitalizzazione composta. Ricaviamo ora la formula dell’interesse: I = M – C = C(1+i)n – C = C[(1+i)n -1] Di solito il binomio (1+i) viene indicato con la lettera q. M = C ∙ qn I = C (qn – 1)

Esempio 1 A quanto ammonterà tra 10 anni (n), il capitale di € 1.000,00 (C) investito in titoli al saggio del 5%? M = C ∙ qn = 1000 x 1,0510 = € 1.629,00 Se l’interesse non fosse composto il montante sarebbe di € Esempio 2 € depositati in banca al saggio del 9%. Dopo 10 anni quale sarà l’interesse maturato? I = C (qn – 1) = (q10 – 1) = € 6.836,80 Formule inverse: M = C(1+i)n; (1+i)n = M/C ; (1+i)= ; i = ; n = (Log M – Log C) / Log q

Il montante per tempi non interi Nel caso in cui si debba determinare il montante per un periodo di tempo non intero cioè per esempio se vogliamo conoscere il montante di € al saggio del 5% dopo 4 anni e 7 mesi si ha: montante dopo 4 anni………………………………………………€ 6.077,55 interesse per 7 mesi 6.077,55 x 0,05 x 7/12………………………...€ 177,26 montante richiesto …………………………………………………€ 6.254,81 Quindi possiamo così generalizzare: M’ = C(1+i)n montante dopo n anni M = M’ (1+i ∙ f) montante dopo n anni e f mesi o giorni Si abbinano nel calcolo del montante l’interesse semplice e l’interesse composto.

Esempio Depositando una somma di € al 30 marzo 1998 vogliamo determinare il montante che ritireremo il 24 ottobre del 2005 all’8%. Posticipiamo prima alla fine del 1998: C = (1 + 0,08 x ¾) = € 1.060,00 Posticipiamo al 31 dicembre 2004: C = C ∙ qn = 1.060,00 x 1,086 = € 1.682,00 Calcoliamo il Montante: C = 1.682,00 (1 + 0,08 x 294/360) = € 1.792,00

Interesse composto convertibile Si ha quando l’interesse si converte in capitale più volte nello stesso anno. Indicando con t il numero di volte in cui si ha la conversione in un anno: 6 mesi t = 2; 4 mesi t = 3; 3 mesi t = 4; 2 mesi t = 6; Ogni mese t = 12. In questi casi che l’interesse si converte in capitale t volte all’anno ogni volta matura la t-esima parte del saggio annuale. Perciò ad un saggio r del 5% con t = 2 avremo due rate con un saggio del 2,5% l’una, per cui il saggio è pari a r / t. Il montante sarà dato da: C’ = C (1 + r / t) prima rata C’’ = C’ (1 + r / t) = C (1 + r / t)2 seconda rata A fine anno avremo: C* = C (1 + r / t)t E per un numero n di anni: Cn = C (1 + r / t)tn L’interesse ci viene dato dalla formula: I = M – C = C (1 + r / t)tn – C I = C [(1 + r / t)tn – 1]

Esempio Quale montante troveremo dopo 10 anni che € furono investiti all’interesse del 6% convertibile 2 volte l’anno? Cn = 1000 (1 + 0,06 / 2)2 x 10 = € 1.806,10 E se convertibile tre volte l’anno? Cn = 1000 (1 + 0,06 / 3)3 x 10 = € 1.811,36 E se convertibile quattro volte l’anno? Cn = 1000 (1 + 0,06 / 4)4 x 10 = € 1.814,02 E se convertibile sei volte l’anno? Cn = 1000 (1 + 0,06 / 6)6 x 10 = € 1.816,70 E se convertibile dodici volte l’anno? Cn = 1000 (1 + 0,06 / 12)12 x 10 = € 1.819,40

Saggio nominale e saggio effettivo Il saggio di cui si parla nell’interesse convertibile è detto saggio nominale poiché ad esso corrisponde un saggio effettivo maggiore. Confrontiamo: C (1 + i) = C (1 + r / t)t Semplificando: (1 + i) = (1 + r / t)t Da cui: i = (1 + r / t)t - 1

Esempio Qual è il saggio effettivo dell’interesse composto al 6% convertibile due volte l’anno? i = ( /2) 2 -1 = 1, = 1, = 0,0609 Se invece è noto il saggio effettivo si può ricavare quello nominale. 1 + i = (1 + r/t)t t√1+i = 1 + r/t r/t = t√1+i - 1 r = t (t√1+i - 1) Qual è il saggio nominale dell’interesse composto al 6,09% convertibile due volte l’anno? r = 2 (2√1, ) = 2 2√1, r = – 2 = = 6%

Sconto Si definisce sconto il compenso spettante a chi anticipa un pagamento prima della scadenza. La differenza tra sconto e interesse risiede nella procedura finanziaria: l’interesse si aggiunge al capitale; lo sconto si detrae dal capitale. In generale, indicando con C l’importo del credito o valore nominale, con S lo sconto e con V la somma scontata o valore attuale, si ha: V = C – S Nonchè: S = C – V Per tempi inferiori all’anno viene utilizzato lo sconto commerciale o quello razionale mentre per periodi superiori all’anno si usa lo sconto composto.

V = C – S = C – C ∙ i ∙ t = C (1 - i ∙ t)
MATEMATICA FINANZIARIA Sconto commerciale Lo sconto si dice commerciale quando è proporzionale al capitale C e al tempo t. Fissando un tasso di sconto i possiamo esplicitare la formula dello sconto commerciale: S = C ∙ i ∙ t Interessa, inoltre, ricavare la somma scontata o il valore attuale: per cui si ha: V = C – S = C – C ∙ i ∙ t = C (1 - i ∙ t) Il fattore (1 - i ∙ t) si chiama fattore di sconto commerciale.

Esempio Tizio deve ricevere € 500,00 da Caio fra 8 mesi con i = 8%. Caio vuole pagare subito il debito; quanto deve dare a Tizio? S = 500,00 ∙ 0,08 ∙ 8/12 = € 26,67 V = C – S = 500,00 – 26,67 = € 473,33 o direttamente: V = C (1 - i ∙ t) = 500,00 (1 – 0,08 x 8/12) = € 473,33

S = C – V = C – C/(1 + i ∙ t) = (C ∙ i ∙ t) / (1 + i t)
MATEMATICA FINANZIARIA Sconto razionale Lo sconto si dice razionale quando è calcolato come interesse semplice sulla somma scontata. Fissando un tasso di sconto i e ponendo come capitale V e come montante C, si ha: C = V (1 + i ∙ t) Volendo calcolare la somma scontata o il valore attuale si ha: V = C . (1 + i ∙ t) Il fattore 1/(1 + i ∙ t) si chiama fattore di sconto razionale. La formula dello sconto razionale è quindi: S = C – V = C – C/(1 + i ∙ t) = (C ∙ i ∙ t) / (1 + i t) S = V ∙ i ∙ t

Esempio Tizio deve ricevere € 500,00 da Caio fra 8 mesi con i = 8%. Caio vuole pagare subito il debito; quanto deve dare a Tizio? S = (500,00 ∙ 0,08 ∙ 8/12) / (1 + i ∙ t) = € 25,32 V = C – S = 500,00 – 25,32 = € 474,68

S = C – V = C – C / (1 + i) n = C (1 - vn)
MATEMATICA FINANZIARIA Sconto composto Lo sconto si dice composto, quando è calcolato come interesse composto sulla somma scontata V. Il valore nominale C del credito è quindi il montante della somma scontata V; si ha: C = V (1 + i)n da cui V = C / (1 + i)n Ponendo: v = 1 / (1 + i) si ha: V = C ∙ vn Dove vn si chiama fattore di sconto composto. Possiamo ricavare infine, la formula dello sconto composto: S = C – V = C – C / (1 + i) n = C (1 - vn)

Esempio Tizio deve riscuotere da un creditore € 1500,00 fra 12 anni. Sapendo che i = 8% si vuole conoscere l’ammontare odierno della quota da riscuotere. V = 1.500,00 ∙ 1, = € 936,90 S = 1500,00 – 936,90 = € 563,10

Le Rendite

Le Rendite In generale, si dice rendita una successione di somme esigibili (o pagabili) in epoche diverse. Le singole somme si dicono rate (o termini) della rendita; di ogni rata occorre precisare sia l’importo sia la scadenza. Si dice valore di una rendita a una certa data la somma dei montanti o dei valori scontati, calcolati a quella data, delle varie rate della rendita. Si parla di valore attuale della rendita se il valore è calcolato in epoca anteriore a tutte le scadenze o coincidente con la prima di esse; si parla, invece, di montante della rendita se il valore è calcolato in epoca posteriore a tutte le scadenze o coincidente con l’ultima di esse.

Esaminiamo il caso seguente: La rendita al tempo 0 è: V0 = R1 v3 + R2 v5 + R3 v7 + R4 v10 La rendita al tempo 10 è: V10 = R1 q7 + R2 q5 + R3 q3 + R4 Oppure semplicemente: V10= V0 q10 5 2 3 4 6 7 8 9 10 R1 R2 R3 R4 1

Carattere di una rendita e tipi di rendite Una rendita si dice periodica quando le scadenze delle successive rate sono equidistanti. Se una rendita è periodica a rate costanti non occorre indicare per ciascuna rata l’importo e la scadenza ma, fissato l’importo costante della rata, basta indicare: il periodo; la data di decorrenza; la durata. In base al periodo si distinguono: rendite annuali o annualità se il periodo è l’anno; rendite frazionate se il periodo è inferiore all’anno ( per es. trimestre, semestre, ecc.); rendite poliennali o poliannualità se il periodo è multiplo dell’anno.

In base alla data di decorrenza, che è la data di inizio del primo periodo, si fa distinzione fra: rendite anticipate se la prima scadenza coincide con la data di decorrenza: in questo caso la rata di ciascun periodo scade all’inizio di ciascun periodo; rendite posticipate se la prima scadenza cade un periodo dopo la data di decorrenza: in questo caso la rata di ciascun periodo scade alla fine del periodo. In base alla durata si fa distinzione fra: rendite limitate o temporanee le quali hanno un numero limitato di rate; rendite illimitate o perpetue le quali hanno un numero illimitate di rate.

Rendite annue – Annualità Le rendite annue sono delle rendite che si ripetono periodicamente ad intervalli di un anno. Possono essere: rispetto all’entità: costanti o variabili; rispetto alla scadenza: posticipate o anticipate; rispetto alla durata: limitate o illimitate. I problemi che si pongono sono: calcolo di An → Accumulazione finale calcolo di A0 → Accumulazione iniziale calcolo di Am → Accumulazione intermedia

Annualità costanti limitate posticipate Accumulazione finale (An) Occorre riportare ogni annualità alla fine del periodo mediante i coefficienti di posticipazione ed effettuare la somma. Procedendo da destra verso sinistra si avrà: I termini della somma sono in progressione geometrica crescente di ragione q. Applicando la regola delle progressioni geometriche crescenti (ultimo termine per la ragione meno il primo termine, il tutto diviso la ragione meno l’unità), si avrà: da cui e quindi: 1 2 n-1 n a ……

Accumulazione iniziale (A0) Occorre scontare ogni annualità all’inizio del periodo mediante i coefficienti di anticipazione e sommare i valori. Procedendo da sinistra verso destra si avrà: È una progressione geometrica decrescente di ragione , che si risolve con la regola: primo termine meno l’ultimo termine per la ragione, fratto l’unità meno la ragione. Moltiplicando il numeratore per l’inverso del denominatore, semplificando e sostituendo a q il suo valore 1+r si ha: da cui:

Accumulazione intermedia (Am) Si possono seguire tre vie:

Annualità costanti limitate anticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Annualità costanti limitate anticipate Accumulazione finale (An) Così come già visto per le annualità costanti limitate posticipate, occorre riportare ogni annualità alla fine del periodo mediante i coefficienti di posticipazione ed effettuare la somma. Procedendo da destra verso sinistra si avrà una progressione geometrica crescente di ragione q: Applicando la nota regola si avrà: da cui e quindi: 1 2 n-1 n a ……

Accumulazione iniziale (A0) Procedendo come già noto si avrà: (progressione geometrica decrescente di ragione ). da cui:

Accumulazione intermedia (Am)

Annualità costanti illimitate posticipate Nelle annualità illimitate, essendo n=∞, è possibile la sola Accumulazione iniziale (A0) Procedendo come già noto si avrà: (progressione geometrica decrescente di ragione ), 1 2 ∞-1 ∞ a ……

Semplificando e sostituendo a q il suo valore (1+r) si ha: e quindi: Questa formula si chiama formula della capitalizzazione dei redditi annuali illimitati posticipati e dà il valore capitale corrispondente ad un reddito.

Annualità costanti illimitate anticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Annualità costanti illimitate anticipate Accumulazione iniziale (A0). Si ha: (progressione geometrica decrescente di ragione ). da cui: Tale formula dà la capitalizzazione dei redditi annuali illimitati anticipati. 1 2 ∞-1 ∞ a ……

Ricerca dell’annualità (Problemi inversi)
MATEMATICA FINANZIARIA Ricerca dell’annualità (Problemi inversi) Annualità costanti limitate posticipate: Annualità costanti limitate anticipate:

Ricerca dell’annualità (Problemi inversi)
MATEMATICA FINANZIARIA Ricerca dell’annualità (Problemi inversi) Annualità costanti illimitate posticipate: Annualità costanti illimitate anticipate:

Le Rendite Frazionarie

Le Rendite Frazionarie
MATEMATICA FINANZIARIA Le Rendite Frazionarie R = rendita trimestrale posticipata R = rendita quadrimestrale anticipata Si parla di rendite frazionarie quando il periodo della rendita è costante ed è inferiore all’anno (semestrale, trimestrale, ecc.). Possono essere anticipate o posticipate a seconda che si verifichino all’inizio o alla fine del periodo di riferimento. Il primo problema riguardante le rendite frazionarie è quello di calcolarne la somma a fine anno. 1 R 3 12 6 9 1 R 4 12 8

La formula che ci permette di trasformare la rendita frazionaria nella corrispondente somma a fine anno (o annualità posticipata) è: dove R è la rata; N il numero di rate nell’anno e ± 1 indica l’uso del segno + se le rate sono anticipate e l’uso del segno – se sono posticipate. Se vogliamo determinare la somma di tutti i termini della rendita all’inizio dell’anno (annualità anticipata) si ha:

Le Rendite Differite

Periodo di differimento
MATEMATICA FINANZIARIA Le Rendite Differite Si dice differita una rendita che ha inizio dopo un certo periodo di tempo dal momento in cui se ne fa la valutazione. Dallo schema riportato risulta evidente che per ottenere il valore attuale di un’annualità differita si può indifferentemente scontare all’attualità l’accumulazione finale o l’accumulazione iniziale della stessa. Se indichiamo con n la durata della rendita e con m il periodo di differimento si ha: oppure: 1 2 4 a 3 6 5 7 Periodo di differimento

Le Rendite Poliannuali

Le Rendite Poliannuali - Poliannualità
MATEMATICA FINANZIARIA Le Rendite Poliannuali - Poliannualità Si dicono poliannualità p le rendite che si ripetono ogni n anni per un numero t o infinito di volte. Possono essere: rispetto all’entità: costanti o variabili; rispetto alla scadenza: posticipate o anticipate; rispetto alla durata: limitate o illimitate. I problemi che si pongono sono: calcolo di An → Accumulazione finale calcolo di A0 → Accumulazione iniziale calcolo di Am → Accumulazione intermedia

Poliannualità costanti limitate posticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Poliannualità costanti limitate posticipate Accumulazione finale (Atn) I termini della somma sono in progressione geometrica crescente di ragione qn. Applicando la regola delle progressioni geometriche crescenti (ultimo termine per la ragione meno il primo termine, il tutto diviso la ragione meno l’unità), si avrà: da cui: e quindi: n 2n tn-n tn p ……

Accumulazione iniziale (A0) I termini della somma sono una progressione geometrica decrescente di ragione , che si risolve con la regola: primo termine meno l’ultimo termine per la ragione, fratto l’unità meno la ragione. da cui:

Accumulazione intermedia (Am)

Poliannualità costanti limitate anticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Poliannualità costanti limitate anticipate Accumulazione finale (Atn) (progressione geometrica crescente di ragione qn). Applicando la regola delle progressioni geometriche si avrà: da cui: n 2n tn-n tn p ……

Accumulazione iniziale (A0) Procedendo come già noto si avrà: (progressione geometrica decrescente di ragione ). da cui: Accumulazione intermedia (Am)

Poliannualità costanti illimitate posticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Poliannualità costanti illimitate posticipate Nelle poliannualità illimitate, essendo n=∞, è possibile la sola Accumulazione iniziale (A0) Procedendo come già noto si avrà: (progressione geometrica decrescente di ragione ), Questa formula si chiama formula della capitalizzazione dei redditi poliannuali illimitati posticipati. n 2n ∞-n ∞ p ……

Poliannualità costanti illimitate anticipate
MATEMATICA FINANZIARIA Poliannualità costanti illimitate anticipate Accumulazione iniziale (A0) Procedendo come già noto si avrà: (progressione geometrica decrescente di ragione ), Tale formula dà la capitalizzazione dei redditi poliannuali illimitati anticipati. n 2n ∞-n ∞ p ……

Ricerca della poliannualità (Problemi inversi)
MATEMATICA FINANZIARIA Ricerca della poliannualità (Problemi inversi) Poliannualità costanti limitate posticipate: Poliannualità costanti limitate anticipate:

Ricerca della poliannualità (Problemi inversi)
MATEMATICA FINANZIARIA Ricerca della poliannualità (Problemi inversi) Poliannualità costanti illimitate posticipate: Poliannualità costanti illimitate anticipate:

Reintegrazione e Ammortamento

Reintegrazione La reintegrazione è un’operazione finanziaria attraverso la quale di ricostituisce gradualmente mediante una serie di versamenti periodici, un capitale e lento logorio (fabbricati, impianti, e macchine, mobili, ecc.), entro un determinato periodo di tempo. Viene chiamata quota di reintegrazione di un capitale quella somma che, se accantonata annualmente, consente appunto di ricostituire il capitale consumato dopo n anni di impiego. Se dal capitale invecchiato si ricava una certa somma (recupero finale), la perdita non sarà dell’intero capitale, ma di questo decurtato del recupero. Indicando con Qr la quota di reintegrazione, con V0 il valore iniziale del capitale e con R il recupero finale, si avrà:

Ammortamento L’ammortamento è un’operazione finanziaria mediante la quale si estingue gradualmente un debito, entro un certo periodo di tempo , grazie ad una serie di versamenti successivi per il rimborso del capitale ed il pagamento degli interessi dovuti. Con la formula anzi esposta, si calcola la quota annua costante di ammortamento di un debito; tuttavia i modi di estinzione possono essere diversi in relazione a quanto concordato fra le parti. L’ammortamento dei prestiti avviene mediante pagamenti, costanti o variabili, i quali devono essere composti di due parti: una che serve a rimborsare il capitale avuto in prestito;l’altra che serve a corrispondere gli interessi sul debito residuo, cioè sulla parte di debito non ancora rimborsata. La prima parte di chiama quota capitale, la seconda quota interessi; la somma delle due quote costituisce, naturalmente, l’importo del versamento rateale che si definisce rata o quota di ammortamento.

È evidente che la quota interessi, dovendo corrispondere all’interesse calcolato sul debito residuo, man mano che si procede andrà progressivamente diminuendo. Ne derivano due possibilità fondamentali: mantenere costante la quota capitale e, conseguentemente, far diminuire progressivamente la rata di ammortamento (ammortamento costante); mantenere costante la rata di ammortamento e di conseguenza far aumentare progressivamente la quota capitale (ammortamento progressivo). Quest’ultimo procedimento, di gran lunga preferito, consiste in sostanza nel calcolare la rata annua costante con la formula precedentemente esposta: tale rata comprende una quota interessi che va via via calando ed una quota capitale che progressivamente crescendo.

Piano di Ammortamento La composizione delle singole rate di ammortamento può essere resa evidente mediante un prospetto che si chiama piano di ammortamento, nel quale, anno per anno, sono indicati: la rata annua, le quote di interessi e di capitale, l’ammontare del debito estinto e del debito residuo. Esempio Supponiamo di dover ammortizzare un debito di € ,00 in 8 anni al 6%, mediante rate annue costanti:

Esempio

Ammortamenti frazionari ad interesse convertibile
MATEMATICA FINANZIARIA Ammortamenti frazionari ad interesse convertibile Nel caso in cui l’ammortamento di un debito è disposto con rate frazionarie, anziché con quote annue ci troviamo di fronte ad un problema che presenta molte analogie con il problema dell’interesse convertibile. La formula generale che dà l’ammontare della quota frazionaria d’ammortamento sarà: dove t è il numero di periodi in un anno e n è il numero di anni. La formula del debito residuo sarà: in cui m è la durata residua, in anni, dell’ammortamento.

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