Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 1 2006-2007 6006 - MICROECONOMIA Marco Maffezzoli* Lucidi per Microeconomia e Scelte Finanziarie.

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1 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 1 2006-2007 6006 - MICROECONOMIA Marco Maffezzoli* Lucidi per Microeconomia e Scelte Finanziarie * L’autore è grato ad A. Montesano per i suoi numerosi quanto utili commenti, ed a F. Balestrieri per l’assistenza prestata nella preparazione di una precedente versione.

2 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 2 SCELTE FINANZIARIE Problema: l’investitore intende allocare in modo ottimale la propria ricchezza tra le diverse attività finanziarie offerte sul mercato. Attività finanziarie: esempi di attività finanziarie sono i titoli azionari, le obbligazioni, i BOT, i CCT, … Il mercato offre una vasta gamma di attività finanziarie, caratterizzate da diverse combinazioni di rendimento e rischio. Obiettivo: l’investitore, se avverso al rischio, sarà interessato ad associare rendimenti elevati a bassi livelli di rischio.

3 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 3 Stati di natura Lo stato di natura è una completa descrizione di una data situazione. Devono esservi compresi tutti gli elementi rilevanti che caratterizzano la situazione stessa. Una situazione è incerta se sono possibili diversi stati di natura. A ciascun esito possibile corrisponde uno, ed uno solo, stato di natura. Volendo descrivere, per esempio, un fenomeno “casuale” come l’andamento della Borsa, possiamo limitarci, per semplicità, ad introdurre due soli esiti possibili: uno “buono” ed uno “cattivo”. Se indichiamo con 1 l’esito “buono” e con 2 quello “cattivo”, l’insieme completo degli stati di natura sarà M={1,2}.

4 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 4 Probabilità Ad ogni stato di natura viene assegnata una probabilità, che misura quanto sia “plausibile” la sua effettiva realizzazione. Tali probabilità devono soddisfare due condizioni: i)Ogni probabilità deve essere maggiore od uguale a 0. ii)La somma delle probabilità deve essere pari all’unità. Nel nostro esempio, con due possibili stati di natura, avremo quindi:

5 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 5 Attività finanziarie alternative Supponiamo, per semplicità, che vi siano due sole attività finanziarie. L’insieme completo delle attività finanziarie sarà quindi F={a,b}. Rendimenti Le attività finanziarie generano un rendimento (positivo o negativo) misurabile in termini monetari (per esempio, i titoli obbligazionari pagano un tasso di interesse nominale, le azioni pagano un dividendo e qualche volta vedono il loro prezzo di mercato aumentare nel tempo,...) Il rendimento effettivo di un’attività varia in base alla situazione che si determina (cioè lo stato di natura che si realizza): per esempio, se la Borsa va bene, il prezzo delle azioni sale e gli investitori ottengono un rendimento positivo.

6 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 6 Definiamo quindi l’insieme dei rendimenti possibili: R n,m è il rendimento dell’attività n-esima nel caso in cui se si verifichi lo stato del mondo m. L’investitore deve scegliere prima che lo stato di natura si realizzi, cioè prima che si conosca l’effettivo rendimento di una data attività. Il rendimento effettivo ex-post sarà determinato dallo stato di natura, cioè dalla realizzazione di un fenomeno casuale. Quindi, l’investitore deve considerare il rendimento stesso del- l’attività finanziaria come una VARIABILE ALEATORIA.

7 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 7 RENDIMENTO ATTESO E VARIANZA Dovendo scegliere prima della realizzazione dello stato di natura, l’investitore deve considerare essenzialmente due elementi critici: 1) il rendimento che prevede di ottenere da una data attività; 2) il rischio che tale attività gli farà correre. Dobbiamo ora trovare il modo di quantificare tali elementi, cioè di determinare dei valori di sintesi che misurino i livelli di rendimento e rischio associabili ad una data attività finanziaria. Tali valori di sintesi saranno basati sull’osservazione che il rendimento di un’attività finanziaria è assimilabile ad una variabile aleatoria.

8 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 8 misura il rendimento “medio” dell’attività f-esima. Il rendimento atteso è definito prima che lo stato di natura si realizzi; dopo la realizzazione, il rendimento effettivo sarà R f,1 oppure R f,2. Rendimento atteso Sappiamo che non è possibile conoscere il rendimento effettivo di una qualsiasi attività finanziaria f prima che lo stato di natura si realizzi. E’ possibile tuttavia calcolarne il rendimento atteso, ossia misurare il rendimento “medio” dell’attività date le probabilità che abbiamo assegnato ai diversi stati di natura. Quindi la quantità:

9 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 9 Varianza del rendimento Per quantificare il livello di rischio associato ad un’attività finanziaria, possiamo procedere nel modo seguente: Calcoliamo gli scostamenti tra i rendimenti corrispondenti a ciascun stato di natura ed il rendimento atteso. Eleviamo tali scostamenti al quadrato (per renderli indipendenti dal segno) e pesiamoli in base alla probabilità con cui si realizza lo stato di natura corrispondente. La somma di tali quantità, cioè la media ponderata degli scarti quadratici tra ciascun rendimento ed il rendimento atteso, è detta varianza del rendimento.

10 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 10 Formalmente: La varianza è quindi una statistica che misura il livello di rischio intrinseco caratteristico dell’attività finanziaria in esame. Una misura alternativa, nota come deviazione standard, è definita come:

11 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 11 Esempio Stati di natura: Probabilità: Attività finanziarie: A: Azioni Eni; B: Azioni Vitaminic Rendimenti: Assumiamo che:

12 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 12 Calcoliamo il rendimento atteso delle due attività: Supponiamo inoltre, per comodità, che: Confrontiamo i rendimenti:

13 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 13 Le rispettive varianze sono pari a: Date le ipotesi fatte, avremo che: ATTENZIONE! In generale avremo che:

14 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 14 PREFERENZE SU RISCHIO E RENDIMENTO Abbiamo fin qui individuato gli elementi critici (rendimento e rischio) che caratterizzano un’attività finanziaria ed abbiamo determinato dei valori di sintesi che li esprimono e quantificano (rendimento atteso e varianza). Dobbiamo ora esaminare come un risparmiatore avverso al rischio percepisce tali elementi ed esprime delle preferenze su di essi. Consideriamo una attività finanziaria con rendimenti possibili R 1 ed R 2. Definiamo il rendimento atteso dell’attività finan- ziaria:

15 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 15 Per quanto già visto nelle lezioni precedenti, assumiamo che l’investitore scelga massimizzando l’utilità attesa: cioè l’utilità che il risparmiatore si aspetta di ottenere investendo in quella particolare attività finanziaria. Supponiamo ora che varino i rendimenti: più precisamente, supponiamo che R 1 rimanga costante e che R 2 aumenti. Inoltre, supponiamo che p aumenti in modo da lasciare immutato il rendimento atteso μ. Come risultato, avremo un aumento del rischio (la varianza dei rendimenti è maggiore) a parità di rendimento atteso.

16 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 16 L’aumento del rischio a parità di valore atteso implica neces- sariamente una diminuzione dell’utilità attesa. Quindi, in presenza di avversione al rischio, un aumento del rischio potrà essere compensato esclusivamente da un con- testuale aumento del valore atteso.

17 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 17 Possiamo dunque rappresentare il problema della scelta tra diverse attività finanziarie in termini di preferenze tra diverse combinazioni di μ (rendimento atteso) e σ (deviazione standard). Per ogni investitore avverso al rischio possiamo tracciare delle curve di indifferenza (CdI) che assumono la seguente forma: Si noti che le CdI sono inclinate positivamente: il rischio è un “male”, quindi un maggior rischio deve essere compensato da un maggior rendimento.

18 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 18 PORTAFOGLIO TITOLI Esaminiamo ora il problema di scelta dell’investitore che decide di detenere più attività finanziarie contemporaneamente, ossia decide di costruire un portafoglio di titoli. Per semplicità, supponiamo che il mercato offra due sole attività: A e B. Chiamiamo q A la quota di portafoglio del- l’attività A, e q B =1- q A la quota di portafoglio dell’attività B. I portafogli in cui sono presenti molteplici attività (nel nostro caso, entrambe le attività esistenti) sono detti diversificati. Il rendimento atteso del portafoglio sarà la media ponderata dei rendimenti attesi delle singole attività finanziarie:

19 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 19 Quando si considerano contemporaneamente più attività finan- ziarie, è necessario capire se esiste tra loro un qualche legame, ed in particolare se i loro rendimenti variano in modo più o meno simile nel tempo. Come vedremo, la natura qualitativa e quantitativa di tali “legami” è molto importante, perché influenza direttamente la combinazione tra rischio e rendimento associata a ciascun portafoglio. Il rischio associato ad un portafoglio dipende, infatti, non solo dal rischio delle attività che lo compongono, ma anche dal tipo di relazioni che vi sono tra esse.

20 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 20 Se a rialzi (ribassi) dei rendimenti di un’attività corrispondono regolarmente rialzi (ribassi) dei rendimenti dell’altra, le due attività sono positivamente correlate. Se a rialzi (ribassi) dell’una corrispondono ribassi (rialzi) dell’altra, le due attività sono negativamente correlate. Se non esiste alcuna relazione tra l’andamento dei rendimenti, le due attività non sono correlate. L’indice che misura l’intensità del “legame” tra l’andamento dei rendimenti è il coefficiente di correlazione.

21 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 21 Coefficiente di correlazione Il coefficiente di correlazione: misura il legame tra i rendimenti di due attività finanziarie:

22 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 22

23 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 23 CASO 1: supponiamo che: NB: L’attività B è più rischiosa, ma anche più remunerativa In questo caso particolare:  P : media ponderata dei rendimenti, con pesi pari alla quota di portafoglio dell’attività corrispondente.  P : media ponderata delle deviazioni standard, con pesi pari alla quota di portafoglio dell’attività corrispondente.

24 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 24 Al variare di q A ci muoviamo lungo la retta che unisce C a D.

25 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 25 CASO 2: supponiamo che: NB: La varianza nel caso 2 è minore di quella nel caso 1 per ogni portafoglio differenziato, cioè per ogni portafoglio tale per cui q A  (0,1). I due casi quindi coincidono nei punti C e D (gli estremi in cui tutto il portafoglio è composto da una singola attività), mentre tra C e D la curva che rappresenta il caso 2 si troverà a sinistra della retta che descrive il caso 1.

26 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 26 N: portafoglio caratterizzato dalla varianza minima

27 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 27 I vantaggi della diversificazione, per un individuo avverso al rischio, sono maggiori rispetto al caso 1 e crescono al tendere di  AB a -1. Nel caso 2, la curva che unisce C a D sarà necessariamente convessa verso sinistra, e quindi esisterà certamente un portafoglio caratterizzato dalla minima varianza raggiungibile (il portafoglio N nel grafico precedente). Il minimo livello assoluto di varianza si può raggiungere nel caso in cui  AB =-1. In questo caso, esiste un portafoglio con varianza nulla, cioè quello con q A e q B tali che:

28 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 28 La frontiera efficiente (il tratto ND) è l’insieme dei portafogli che per data varianza presentano il rendimento atteso maggiore. Un investitore avverso al rischio sceglierà il proprio portafoglio ottimale tra quelli sulla frontiera efficiente. Frontiera efficiente

29 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 29 EQUILIBRIO DELL’INVESTITORE Per individuare il portafoglio ottimale è necessario con- frontare le preferenze del risparmiatore con le opportunità concesse dal mercato di combinare rischio e rendimento. Dato che un investitore avverso al rischio non sceglierà mai, a parità di rendimento atteso, un portafoglio con varianza maggiore, la frontiera efficiente rappresenta una specie di “vincolo di bilancio” non-lineare, che riassume le migliori combinazioni rischio-rendimento offerte dal mercato. Il portafoglio ottimale, quindi, si troverà in corrispondenza del punto di tangenza tra la frontiera efficiente la curva di indif- ferenza più lontana dall’origine.

30 Microeconomia e Scelte finanziarie 2007© 2007 Marco Maffezzoli 30 E: equilibrio dell’investitore, cioè punto di tangenza tra vincolo di bilancio non-lineare e più alta curva di indifferenza.