IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

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LA CIRCONFERENZA IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

La circonferenza come l’ellisse, la parabola e l’iperbole, che studieremo dopo, sono chiamate coniche perché ottenute dall'intersezione di un cono circolare retto infinito con un piano; le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Circonferenza: definizione analitica
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Essa è individuata quando si conoscono le coordinate del centro e il raggio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Problema diretto Conoscendo le coordinate del centro e il raggio determinare l’equazione della circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio
Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy, la circonferenza di centro C(α,β) e raggio r è l'insieme dei punti P(x,y) tali che risulta verificata la relazione: r P(x;y) C(;) Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Sviluppando i quadrati: Otteniamo l’equazione in forma normale o canonica della circonferenza: IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione E' una equazione di secondo grado in x e y, mancante del termine xy (termine rettangolare) e con i coefficienti di x² e y² uguali ad uno. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(-2;1) e raggio 5 IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Problema inverso Conoscendo l’equazione della circonferenza determinare le coordinate del centro e il raggio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione la (1) rappresenta una circonferenza reale. la (1) rappresenta una circonferenza di raggio nullo e pertanto al luogo da essa individuato appartiene un solo punto, che è poi, il centro della circonferenza ( circonferenza degenere). la (1) non rappresenta una circonferenza reale. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Studio dell'equazione canonica
Data l'equazione canonica della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0 in base ai valori as-sunti dai coefficienti a, b, c la circonferenza assume una particolare posizione rispetto agli assi. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

1° caso: c = 0 L’equazione: x2+y2+ax+by=0 rappresenta una circonferenza passante per l’origine IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

2° caso: a = 0 L’equazione: x2+y2+by+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y C(0;-b/2) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

3° caso: b = 0 L’equazione: x2+y2+ax+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x C(-a/2;0) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

4° caso: a = 0 e c = 0 L’equazione: x2+y2+by=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y e passante per l’origine C(0;-b/2) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

5° caso: b = 0 e c=0 L’equazione: x2+y2+ax=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x e passante per l’origine C(-a/2;0) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

6° caso: a = 0 e b = 0 L’equazione: x2+y2+c=0 rappresenta una circonferenza con centro nell’origine IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Posizione reciproca tra retta e circonferenza
Un importante problema è quello relativo alla ricerca delle eventuali intersezioni tra una retta ed una circonferenza. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Per determinare le intersezioni tra una circonferenza ed una retta è sufficiente risolvere il sistema di secondo grado formato dalle loro equazioni. In base al segno del Δ si hanno i diversi casi IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

1° caso: Δ>0 La retta è secante le due soluzioni sono reali e distinte e la distanza del centro della circonferenza è minore della lunghezza del raggio (x1;y1) (x2;y2) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

2° caso: Δ=0 La retta è tangente le due soluzioni sono reali e coincidenti e la distanza del centro della circonferenza è uguale alla lunghezza del raggio (x1;y1) =(x2;y2) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

3° caso: Δ=0 La retta è esterna non ci sono soluzioni reali e la distanza del centro della circonferenza è maggiore alla lunghezza del raggio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Determinare le intersezioni tra la circonferenza x2+y2-4x=0 e la retta x+2y-4=0 dopo aver stabilito che la retta interseca la circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Osservazione importante
Poiché l'equazione generica della circonferen-za dipende dal valore dei coefficienti a, b, c, per determinarla servono sempre tre condi-zioni indipendenti, ossia si deve costruire un sistema di tre equazioni in tre incognite. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Circonferenza per tre punti
Le coordinate dei tre punti, poiché appartengono alla circonferenza, devono soddisfare la sua equazione. Imponendo il passaggio per i punti dati otteniamo un sistema di tre equazioni in tre incognite IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i seguenti tre punti non allineati A(2;3), B(4;1), C(2;-1) Sostituiamo le coordinate dei punti nell’equazione della circonferenza x² + y² + ax + by + c = 0 A(2;3)→ B(4;1)→ C(2;-1)→ IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Risolvendo il sistema si determinano i parametri a,b,c e l’equazione della circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

osservazione Il precedente problema può essere risolto anche nel seguente modo: 1)Si determinano le coordinate del circocentro come punto d’incontro di due assi 2)Si determina il raggio facendo la distanza tra il circocentro e un vertice 3)Si scrive l’equazione della circonferenza conoscendo centro e raggio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Punti comuni a due circonferenze.
Due circonferenze possono avere in comune due punti reali e distinti, due punti reali e coincidenti o non avere punti reali in comune. Le coordinate dei punti comuni sono le soluzioni del sistema formato dalle equazioni delle due circonferenze. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Punti comuni a due circonferenze.
Se le circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni, si ottiene un sistema tra una circonferenza ed una retta chiamata asse radicale perpendicolare alla retta passante per i due centri. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Asse radicale C1 C2 A B L’asse radicale di due circonferenze che si intersecano è la retta passante per i punti di intersezione A e B e perpendicolare alla retta passante per i due centri. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Asse radicale C1 C2 A L’asse radicale di due circonferenze tangenti esternamente è la retta passante per il punto di tangenza A e perpendicolare alla retta passante per i due centri IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Costruzione dell’asse radicale di due circonferenze che non si intersecano
L’asse radicale è la perpendicolare alla retta dei due centri e passante per il punto di intersezione dei due assi radicali Tracciamo una generica circonferenza che interseca le prime due Tracciamo i due assi radicali IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Determinare i punti di intersezione delle due circonferenze di equazioni: IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Determinazione delle tangenti ad una circonferenza
Dato il punto P(x,y) esterno alla circonferenza, esistono diversi metodi per determinare l'equa-zione delle tangenti condotta da P alla conica. P IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Determinazione delle tangenti ad una circonferenza
1) metodo Basta imporre ad una generica retta uscente da P di avere dal centro della circonferenza distanza uguale al raggio. 2) metodo Si costruisce il sistema tra l'equazione della circonfe-renza ed il fascio di rette centrato in P. Dopo avere determinato l'equazione risolvente si impone al suo discriminante di essere uguale a zero. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

metodo Imponiamo ad una generica retta uscente da P di avere dal centro della circonferenza distanza uguale al raggio. P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) r C IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Determinare le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(6;4) alla circonferenza di equazione x2+y2 -6x=0 La circonferenza ha centro C(3;0) e raggio r = 3 La generica retta per P ha equazione: y – 4 = m(x - 6) che, in forma implicita, diventa: mx-y+4-6m=0 La distanza di questa retta dal centro C(3;0) deve essere uguale al raggio che misura 3. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Avendo trovato un solo valore di m si può affermare che una delle due tangenti ha coefficiente angolare 7/24 e l’altra è parallela all’asse y. Pertanto una tangente ha equazione 7x-24y+54=0 e l’altra x=6 IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

2) metodo Si costruisce il sistema tra l'equazione della circonferenza ed il fascio di rette centrato in P. Dopo avere determinato l'equazione risolvente si impone al suo discriminante di essere uguale a zero. P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) r C IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Determinare le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(5;0) alla circonferenza di equazione x2+y2 -9=0 IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Tangente a una circonferenza in un suo punto
P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) La retta tangente è una sola, passa per P ed ha coefficiente angolare uguale all’antireciproco del coefficiente angolare della retta PC IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Equazione della tangente Equazione della tangente
P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+2x-2y-6=0 nel suo punto P(1;3) La circonferenza ha centro C(-1;1) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

formula sdoppiamento Per determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto P(x0;y0) si può usare la formula dello sdoppiamento IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

esempio Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+2x-2y-6=0 nel suo punto P(1;3) IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Fascio di circonferenze
Consideriamo due circonferenze non concentriche di equazioni: e scriviamo una loro combinazione lineare con k parametro reale IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Moltiplicando e mettendo in evidenza, l’equazione precedente può essere scritta nel modo seguente: e se k≠-1 può a sua volta essere scritta: cioè nella forma canonica dell’equazione di una circonferenza. Al variare di k tale combinazione rappresenta l’equazione di infinite circonferenze generate dalle due circonferenze generatrici IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Per k = 0 si ottiene la prima generatrice La seconda generatrice non può essere ottenuta per nessun valore di k ma si conviene dire che si ottiene per k = ∞ Per k = -1 si ottiene l’asse radicale che si conviene considerare come quella circonferenza del fascio che è degenere ed ha raggio infinito di equazione Tale retta è perpendicolare alla retta contenente tutti i centri delle circonferenze del fascio IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Se le generatrici si intersecano tutte le circonferenze passano per questi due punti che sono detti punti base del fascio asse radicale A Retta centri B Punti base IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Se le generatrici sono tangenti il fascio ha un solo punto base e tutte le circonferenze passano per questo punto che l’unico punto base del fascio. A tale fascio appartiene anche la circonferenza degenere con centro in T e raggio nullo. asse radicale Retta centri Punto base T IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 1 Determinare, nel fascio di circonferenze passanti per A(-1;2) e B(2;0), quella che passa per il punto C(3;1) Scriveremo il fascio considerando come generatrici la circonferenza di diametro AB e l’asse radicale. Successivamente imporremo il passaggio per il punto C IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

La circonferenza di diametro AB con A(-1;2) e B(2;0), ha centro nel punto medio M(1/2;1) e ha quindi equazione: L’asse radicale è la retta passante per A e B di equazione L’equazione del fascio è: Sostituiamo le coordinate di C(1;3) nel fascio e troveremo k=-3/5. Sostituendo nel fascio -3/5 a k si trova l’equazione della circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 2 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per il punto (0;2) e tangente nell’origine alla retta y+2x = 0 La circonferenza appartiene al fascio di circonferenze avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta y+2x=0 Sostituendo le coordinate (0;2) nel fascio troviamo il valore di k=-2 che sostituito ci dà l’equazione della circonferenza cercata: IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Esempio 3 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per l’origine, ivi tangente alla retta 2x+3y = 0 e avente il centro sulla retta x+2y-2=0 La circonferenza appartiene al fascio avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta 2x+3y=0 Sostituendo le coordinate del centro (-k;-3k/2) nel fascio troviamo il valore di k=-1/2 che sostituito ci dà l’equazione cercata: IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Curve deducibili dalla circonferenza di centro C(α;β) e raggio r
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Approfondimenti IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza
Consideriamo una circonferenza di centro C(α;β) e raggio r. L’equazione di tale circonferenza è: C(α;β) r IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Consideriamo un punto P(xp;yp) esterno alla circonferenza e tracciamo da questo punto una tangente PT e una secante PB T r C(α;β) B P(xp;yp) A Per il teorema della secante e della tangente abbiamo: Il prodotto PB·PA=PT2 si chiama potenza del punto P rispetto alla circonferenza ed è indipendente rispetto alla secante considerata. IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PTC T r C(α;β) B P(xp;yp) A La potenza del punto P alla si ottiene semplicemente sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Consideriamo il punto P(xp;yp) interno alla circonferenza e tracciamo da questo punto due corde C(α;β) C A B D P r Per il teorema delle due corde abbiamo: Se il punto è interno la potenza, negativa, si ottiene sempre sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

osservazione La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza non è altro che la differenza tra la distanza del punto dal centro della circonferenza e il raggio. Tale differenza è positiva se il punto è esterno alla circonferenza, negativa se il punto è interno e zero se il punto è sulla circonferenza IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Consideriamo ora due circonferenze non concentriche. L’asse radicale è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Infatti PA·PB è la potenza di tutte e due le circonferenze asse radicale Retta centri A B P IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

Fine presentazione IISS "E. Medi" - Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

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