Corso di Fisica per Studenti della Facoltà di Farmacia Corso di Fisica per Studenti della Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Napoli FEDERICO.

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1 Corso di Fisica per Studenti della Facoltà di Farmacia Corso di Fisica per Studenti della Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Misure & Numeri 1

2 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II I NUMERI (diamo) (?) 12.32 metri è uguale a 12.32000 metri ? Sì per un matematico ma … NO per un fisico, chimico, biologo etc. (uno sperimentale) ! Unità di misura È il risultato (diretto o indiretto) di una operazione di misura e le cifre (significative) hanno un … preciso significato !

3 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Misura Diretta di una Grandezza Confronto con un Campione 5.9 cm 6.0 cm 6.1 cm …. cm.... cm Errori Casuali (±) Errori Sistematici individuati, si possono correggere ( offset, taratura, procedura, condizioni di misura, preparazione )

4 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II e Distribuzione delle Misure (istogramma) distribuzione gaussiana VmVm σ

5 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? V 1 =5.9 V 2 =6.1 V 3 =6.0 V 4 =5.9 V 5 =5.8 V 6 =6.2 V 7 =5.6 …. V i =…. …. N ripetizioni della misura (V i -V m ) scarto (dal valor medio) della misura i

6 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Occorre fornire anche un indice di quanto è largo l’istogramma (poco o molto dispersa la misura, in un certo senso.. la bontà della misura) (detto anche errore)

7 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Qual è la Misura della Lunghezza della Matita? Come si riassume il risultato delle operazioni di misura: V m σ ± Indica anche che, effettuata una nuova misura nelle identiche condizioni, il valore V ottenuto ha una probabilità del:  68% (V m - σ) ≤ V < ( V m + σ)  95% ( V m -2 σ) ≤ V < ( V m +2 σ)

8 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esempio: Periodo di Oscillazione di un Pendolo 12 misure (in secondi): 15.2115.4315.3215.50 15.6115.4515.6115.24 15.5515.4815.3515.52 P m = s σ = s 15.43917 0.145090 P=15.43917±0.145090 s ??

9 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Considerazioni sull’Esempio P m = 15.43917 s σ = 0.145090 s P=15.44 ±0.15 (sul display della mia calcolatrice … su altre possono esserci anche più cifre!) Leggiamolo: Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426 Cifre certe Prima cifra incerta Prima regola: Buon Senso – che senso ha indicare i millesimi quando il cronometro segna i centesimi ed i tempi di reazione sono di 0.1-0.2 s ? P m = 15.43917 s σ = 0.145090 s Effettuando una nuova misura vi è il 68% di probabilità che essa sia compresa tra 15.29408 e 15.58426

10 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II (Parentesi: Approssimazioni numeriche) Regole per l’approssimazione per arrotondamento; Se la prima cifra da eliminare (cifra di controllo) è: a)<5 → le cifre da conservare restano invariate (appr. per difetto) b)>5 → l’ultima cifra da conservare viene aumentata di 1 (appr. per eccesso) c)=5 → l’ultima cifra da conservare viene arrotondata alla cifra pari d)=50 → arrotondamento per difetto od eccesso Esempi: 17.6712 a 3 cifre decimali è (b) 17.7; 17.6472 a 3 c.d. è (a) 17.6 17.6572 a 3 c.d. è (c) 17.6; 17.7572 a 3 c.d. è (c) 17.8 17.7502 a 3 c.d. può essere (d) sia 17.7 che 17.8

11 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Ritorniamo alla Misura del Periodo del Pendolo Regola del: Buon Senso P=15.44 ±0.15 P m = 15.43917 s σ = 0.145090 s Approssimazione al centesimo di secondo Regola della presentazione delle misure: Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra incerta P=15.4 ±0.15(*) s (*) Se la prima cifra significativa dell’errore (incertezza) è 1, arrotondare l’errore a 2 cifre (se togliamo 5 l’errore relativo è 5/10)

12 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Presentazione della Misura Errore (incertezza) esplicito: x±Δx (x± σ) I numeri che devono essere usati nei calcoli possono essere tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quello richiesto nel risultato finale per ridurre le inaccuratezze introdotte dagli arrotondamenti. La misura e l’errore devono essere espressi nella stessa unità di misura. In calcoli, il risultato deve essere arrotondato al numero di c.s. del dato che ne possiede meno. Errore (incertezza) implicito, definito dall’ultima cifra significativa: 32.54 kg→ ±0.005 kg 32.5 kg→ ±0.05 kg; 32 kg→ ±0.5 kg Nomenclatura: Δx=σ Errore Assoluto Δx/x Errore Relativo 100  Δx/x Errore Percentuale

13 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esempi di Misure Quale è la misura più accurata (precisa) ? Lunghezza strada x=4 km Δx= σ=2 m Lunghezza trave x=1 m Δx= σ=1 mm esposizione 4000±2 m1.000 ±0.001 m εrεr 2/4000=0.00050.001/1=0.001 ε%ε% 0.05%0.1%

14 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II La notazione scientifica N. S.: y.xxx  10 m con 1 ≤ y ≤ 9 10 0 =1 – 10 1 =10 – 10 2 =100 – 10 3 =1000 – 10 4 =10000 10 - 1 =0.1 – 10 -2 =0.01 – 10 -3 =0.001 – 10 -4 =0.0001 Proprietà: 10 n  10 m =10 n+m – 10 n  10 m =10 n-m 10 2  10 4 =10 2+4 =10 6 – 10 2  10 -5 =10 2+(-5) =10 -3 10 2  10 4 =10 2-4 = 10 -2 – 10 2  10 -5 =10 2-(-5) =10 7 N. S.: y.xxx  10 m con 1 ≤ y ≤ 9 cifre signif. Semplifica le operazioni (molto meno errori con calcolatrice). Maggior controllo delle cifre significative !!!

15 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Esempi di notazione scientifica 33.5 kg espresso in grammi 3.35  10 1 kg espresso in grammi =33500 g =3.35  10 4 g Esponente del 10: 3-7+2-(5-4) = -3 =5.6  10 -3

16 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Ulteriori esempi di notazione scientifica

17 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Ordine di Grandezza di una Misura Ordine di Grandezza di X O rdine d i G randezza di 23 = 10 (log 10 23 =1.36 ) O rdine d i G randezza di 850 = 10 3 (log 10 850 =2.92 ) →10 (log x) approssimato all’unità

18 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Misura Indiretta di una Grandezze Fisiche Area= Base  Haltezza B=7.4±0.15 cm H=5.3±0.15 cm Area min =7.25  5.15=37.3375 cm 2 Area max =7.55  5.45=41.1475 cm 2 Probabilità del 68% che 37.3375 ≤ Area < 41.1475 Area=39±2 cm 2 (A±ΔA)

19 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (propagazione dell’errore) y=y±Δ y ; x=x±Δ x ; z=z±Δ z G= f (x,y,z) con f relazione (legge) fisica, matematica, geometrica. G=G±Δ G G= f (x,y,z)

20 1- Misure & Numeri Università degli Studi di Napoli FEDERICO II Errore in una Misura Indiretta di Grandezza (casi più frequenti) G= a x+ b y G=xy G=x/y G= 3 x+ 2 y x=4.1±0. 2 y=2.2 ±0. 4 G=16.7G=17±1 G=9 ±1.7 G=1.9±0.4