CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo TRIGONOMETRIA PIANA La trigonometria nasce attorno ai secoli III e II a.C. e si presenta come metodo.

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2 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo TRIGONOMETRIA PIANA La trigonometria nasce attorno ai secoli III e II a.C. e si presenta come metodo di risoluzione dei triangoli i cui vertici sono punti della superficie terrestre o corpi celesti, come il Sole, i pianeti e le stelle. Inizialmente fu quindi ispirata da esigenze legate a problemi di astronomia e si sviluppa come tecnica di supporto alle ricerche nel campo di questa scienza.

3 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo Nel 18° secolo lo svizzero Leonard Euler(Eulero), imposta la moderna trattazione della trigonometria e della goniometria introducendo le sei funzioni goniometriche elementari riferite alla circonferenza goniometrica. Goniometria significa letteralmente”misura degli angoli” da cui il nome dello strumento utilizzato per la loro misura.

4 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo ANGOLI, ARCHI E LORO MISURA Due semirette aventi l’origine in comune, dividono il piano in due parti, ciascuna delle quali è chiamata “ANGOLO”. Le due semirette vengono dette “LATI” dei due angoli.  A B O AB è l’ arco di circonferenza avente centro in “O”,vertice dell’angolo .

5 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI Le unità di misura più utilizzate sono il GRADO ed il RADIANTE. Si chiama GRADO la 360a parte dell’angolo giro. I suoi sottomultipli sono: -il MINUTO PRIMO=sessantesima parte del grado; -il MINUTO SECONDO=sessantesima parte del primo; Il sistema di misura che assume il GRADO come unità di misura principale è detto “SESSAGESIMALE”.

6 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo Si chiama “ANGOLO RADIANTE” l’angolo al centro di una circonferenza, di raggio arbitrario, che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso. L’angolo giro, che sottende l’intera circonferenza(la cui lunghezza è 2  volte quella del raggio), è di 2  radianti.Quindi risulta: -ANGOLO GIRO=360°= 2  radianti -ANGOLO PIATTO=180°=  radianti -ANGOLO RETTO=90°=  /2 radianti La conversione gradi-radianti e viceversa si ottiene mediante la seguente proporzione: 360° : 2  = Xg :Xr

7 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo ANGOLI E ARCHI ORIENTATI Un angolo si dice ORIENTATO quando i suoi lati sono considerati in un certo ordine. In tal caso l’angolo può essere pensato come generato dalla rotazione del primo lato(lato origine) verso il secondo lato(lato termine ), fino alla sovrapposizione dei due.

8 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo ANGOLI POSITIVI E NEGATIVI Detto “a” il lato origine e “b” il lato termine di un angolo, l’orientamento è in SENSO ANTIORARIO nel caso: O b a Un angolo orientato in senso ANTIORARIO è detto POSITIVO

9 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo L’orientamento è invece in SENSO ORARIO nel caso: O a b Un angolo orientato in senso ORARIO è detto NEGATIVO

10 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo GLI ANGOLI IMPROPRI Per poter definire l’operazione di addizione tra angoli, senza alcuna limitazione, occorre introdurre una nuova definizione di angolo. SI DEFINISCE IMPROPRIO UN ANGOLO LA CUI MISURA SIA MAGGIORE 2  O 360°. La misura di un angolo improprio si esprime nel modo seguente:  +2k  oppure  +k360°

11 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Ricordiamo che, date due variabili, si dice che la seconda è funzione della prima se esiste una qualunque legge che ad ogni valore della prima(appartenente ad un determinato insieme numerico) ne fa corrispondere uno ed uno solo della seconda. Le funzioni nelle quali la variabile indipendente è un angolo (o un arco) vengono dette FUNZIONI GONIOMETRICHE o CIRCOLARI. Per definire le funzioni goniometriche elementari è opportuno considerare fisso il lato origine degli angoli e variabile il secondo.

12 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo La figura seguente mostra un angolo orientato il cui lato origine è il semiasse positivo delle x ed il secondo la semiretta “r”: O r X Y  P(Xp;Yp) H

13 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo DEFINIZIONE DI ALCUNE FUNZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Con riferimento alla figura precedente sia P un punto generico della semiretta “r”, siano Xp e Yp le sue coordinate e sia PO la distanza assoluta di P dall’origine “O”. I rapporti: non dipendono dalla posizione di P su r, ma solo dall’ampiezza dell’angolo , e costituiscono la definizione di tre funzioni goniometriche elementari.

14 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo Si danno allora le seguenti definizioni di SENO, COSENO E TANGENTE di un angolo  : sen  = cos  = tg  = Da cui si deduce la seguente relazione tra le funzioni sopra definite: sen  cos  tg  =

15 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza orientata alla quale è associato un sistema cartesiano ortogonale, la cui origine coincide con il centro della circonferenza stessa e la cui unità di misura è assunta uguale al raggio di quest’ultima.Il senso positivo di percorso sulla circonferenza è, convenzionalmente, quello antiorario. In seguito utilizzeremo circonferenze goniometriche di raggio unitario.

16 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE MEDIANTE LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Considerata una circonferenza goniometrica di raggio unitario, ed un angolo orientato  in cui il punto “P” sia l’intersezione con il lato termine, si ha: O x y r  P sen  cos 

17 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo VARIAZIONE DELLE FUNZIONI SENO E COSENO. x y o o x y  1

18 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo PERIODICITA’ DELLE FUNZIONI SENO E COSENO Osservando la figura precedente si conclude che le funzioni seno e coseno possono assumere tutti i valori compresi tra –1 e +1, ovvero: Si osservi inoltre che al crescere di  oltre i 360° (cioè 2  radianti) la semiretta “r” ritorna ad assumere, ad ogni giro, le medesime posizioni assunte al primo giro; conseguentemente le funzioni seno e coseno di  riprendono periodicamente gli stessi valori.Pertanto le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 360°( o 2  radianti) e scriveremo: sen(  +K360°)=sen(  +2K  )=sen  cos(  +K360°)=cos(  +2K  )=cos 

19 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo VARIAZIONE DELLA FUNZIONE TANGENTE r  tg  y 1 T x O O x y

20 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo PERIODICITA’ DELLA FUNZIONE TANGENTE Dall’osservazione della diapositiva precedente si conclude che la tangente può assumere qualunque valore reale, cioè varia tra Inoltre la tangente non esiste per gli angoli il cui coseno è zero, quindi per  = 90°+K90° con K intero. Mediante ragionamenti analoghi a quelli fatti per le funzioni seno e coseno, si conclude inoltre che la funzione tg  è periodica di periodo 180°( o  rad), ovvero: tg(  +K180°)= tg(  +K  )=tg 

21 CNOS-FAP San Donà di Piave A cura di Roberto Marcuzzo RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA O x y r  P sen  cos  H Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHO si deduce la seguente relazione: