Le Macchine Matematiche III incontro Provincia di Ravenna 1 giugno 20161 Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche.

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1 Le Macchine Matematiche III incontro Provincia di Ravenna 1 giugno 20161 Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche

2 www.mmlab.unimore.it macchine@unimore.it 1 giugno 20162

3 La macchina matematica (in un contesto geometrico) ha come scopo fondamentale (indipendentemente dall’uso che poi si farà della macchina) risolvere questo problema: obbligare un punto, o un segmento, o una figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto materiale che li renda visibile) a muoversi nello spazio o a subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente determinata” Marcello Pergola (Bartolini Bussi & Maschietto, 2006) 1 giugno 20163

4 Macchine per la Geometria 1 giugno 20164 Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche La matematica del cittadino “la possibilità di manipolare fisicamente oggetti, induce modalità di costruzione di significati differenti ma anche più interessanti e ricche di quelle consentite da un software”

5 Le Macchine Matematiche presenti nel MMLab sono state costruite a scopo didattico a partire da testi storici (dalla matematica greca fino al XX secolo ) 1 giugno 20165 Associazione Macchine Matematiche

6 Possiamo trovare descrizioni di macchine matematiche in diversi trattati di Geometria scritti a matematici come Cavalieri, Van Schooten, Newton, etc. 1 giugno 20166

7 Dalla storia......al Laboratorio delle Macchine Matematiche Pantografi... Pantografo di Scheiner (1631)

8 Tracciatori di curve... Dalla storia......al Laboratorio delle Macchine Matematiche van Schooten (1657)

9 Dalla storia......al Laboratorio delle Macchine Matematiche Prospettografi... Vetro (finestra) del Dürer (1525) 1 giugno 20169

10 Theatrum Machinarum Perspectiva Artificialis Sul sito del Laboratorio delle Macchine Matematiche di Modena (www.mmlab.unimore.it) si possono trovare i cataloghi

11 To foster the involvement of the body as a whole in the mental processes, according to the most recent studies of neuroscience and cognitive linguistics. To foster a positive attitude towards mathematics, emphasizing the discovery and the enjoying aspects of mathematical activity. (Bartolini Bussi, 2000) Quali sono gli obiettivi delle attività svolte con le Macchine Matematiche? 1 giugno 201611

12 Sistemi articolati Le aste rigide sono unite fra loro in modo tale che due di esse, nel punto di collegamento (cerniera) possano soltanto ruotare l’una rispetto all’altra entro il piano che contiene tutta l’apparecchiatura Gli assi di rotazione (perni) dovranno dunque essere perpendicolari a questo piano(si dice che le due aste costituiscono una coppia di rotazione o coppia rotoidale). Ogni asta è collegata ad altre mediante una o più cerniere. Attorno ad un medesimo perno possono essere articolate due o più aste.

13 Qualche perno (uno o più) può essere fissato al piano. Le distanze fra i punti di articolazione appartenenti alla medesima asta (o la lunghezza delle aste) sono costanti (parametri) della macchina. Gli angoli fra le aste consecutive e fra i punti di aste diverse sono (in generale) variabili collegate fra loro. Ogni relazione fra gli elementi variabili metterà in evidenza un invariante dello strumento e ne caratterizzerà una possibile utilizzazione.

14 I modelli fisici possono essere usati per presentare nuovi concetti e nuove figure geometriche; per sviluppare argomentazioni e dimostrazioni; come veicolo d’accesso alla dimensione storica; per produrre simulazioni al computer (software: Cabri II) mettere a confronto modelli reali e modelli virtuali

15 Sistema articolato le coordinate degli estremi O, P, della cerniera C e l’angolo fra le aste. Le lunghezze delle aste le variabili indipendenti necessarie per determinare la posizione e la forma del sistema

16 Esempio: il compasso di Van Schooten (componente di sistemi articolati e dei biellismi) 1 giugno 201616 Caso 1: angolo fra le aste fissoCaso2: angolo fra le aste variabili

17 Pantografi per le trasformazioni geometriche del piano 1 giugno 201617

18 Pantografi I pantografi sono costruiti assemblando compassi di Van Schooten. Nei pantografi vi sono due punti che hanno due gradi di libertà : puntatore e tracciatore. 1 giugno 201618

19 Pantografo van schooten Mentre il puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due regioni, il tracciatore disegna sull’altra la figura corrispondente (trasformata). Puntatore e tracciatore possono essere scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). 1 giugno 201619

20 Pantografo Meccanismo che stabilisce una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate collegandole fisicamente, e che incorpora le medesime proprietà che caratterizzano la trasformazione geometrica del piano. 1 giugno 201620

21 Pantografo Esplorazione della macchina 1 giugno 201621 Cosa fa la macchina Perché lo fa

22 Attività con pantografi Al lavoro! 1 giugno 201622

23 Simmetria assiale Equazioni: x'=x y'=-y

24 Simmetria assiale Regioni piane in corrispondenza 1 giugno 201624

25 Costruzione della macchina con TI-nspire

26 Se cambiano i parametri

27 Grazie! 1 giugno 201627