Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio.

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1 Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio

2 Data una funzione tale che f(x+1)=(2f(x)+1)/2 e tale che f(2)=2, quanto vale f(1)? Giochi di Archimede 1997 A) 0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E)2 2Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 1

3 3Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione Se prendiamo x+1=2 e x=1 otteniamo 2=(2f(1)+1)/2 che da come risultato f(1)=3/2 La risposta è quindi la (D)

4 Si ha, per ogni x, f(x)=4 x. Allora f(x+1)-f(x) vale: Giochi di Archimede 2000 A. f(x) B. 2f(x) C. 3f(x) D. 4 E. 1 4Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 2

5 Si ha f(x+1)-f(x)=4 x+1 -4 x =4·4 x -4 x =3·4 x =3f(x) La risposta è quindi la (C) 5Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

6 In una classe ci sono 30 alunni. La maestra li divide in 5 squadre di 6 alunni e poi organizza una gara a squadre. Alla fine della gara distribuisce caramelle a tutti gli alunni, facendo in modo che ogni componente dell’unica squadra vincitrice riceva il doppio di caramelle rispetto agli alunni delle rimanenti squadre. Sapendo che in tutto la maestra distribuisce 540 caramelle, quante caramelle riceve ogni vincitore? Giochi di Archimede 1998 A. 15 B. 18 C. 27 D. 30 E. 36 6Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 3

7 Se ogni perdente riceve N caramelle e ogni vincente ne riceve 2N, essendoci 6 vincitori e 24 perdenti, il totale delle caramelle distribuite deve essere 6*2N+24*N=36N. Ponendo 36N=540 si ha N=15, quindi ogni vincitore riceve 30 caramelle. La risposta è (D) 7Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

8 Due matematici, Andrea e Sara, si incontrano una sera. Andrea dice “la somma delle cifre della mia età è uguale alla somma delle cifre della tua età”, e Sara risponde “ma il prossimo anno la mia somma sarà il quadruplo della tua”, al che Andrea controbatte “sì, ma fra due anni le nostre somme saranno nuovamente uguali”. Tenuto conto che nessuno dei due ha ancora raggiunto i 100 anni, quanti anni ha Sara ? (A) Meno di 20 (B) tra 21 e 30 (C) tra 31 e 40 (D) più di 4 0 (E) non si può stabilire univocamente. A. Giochi di Archimede 1998 8Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 4

9 Affinché detto n un numero qualsiasi, la somma delle cifre di n+1 non sia uguale alla somma delle cifre di n aumentata di 1 è necessario (e sufficiente) che l’ultima cifra di n sia 9. In tal caso la somma delle cifre di n+1 è pari a quella delle cifre di n diminuita di 8. Sia x la somma delle cifre dell’età di Andrea (e di Sara). Si deve allora avere: 4(x-8)=x+1, da cui x=11 Dunque l’età di Andrea è 29 anni, e l’età di Sara è di 38 anni. La risposta è quindi (C) 9Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

10 Si considerino i due numeri x=(√3 √2 ) √2 e y=(√2 √3 ) √3 Si ha che: A. x=y B. x>y C. x<y D. x 2 -y 2 >1 E. x e y non si possono confrontare Giochi di Archimede 1998 10Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 5.

11 Ricordiamo che (a b ) c = a bc : si ha quindi che x=(√3 √2 ) √2 risulta uguale a 3 e y=(√2 √3 ) √3 uguale a √8. Poiché 3 2 =9>8, si ha x>y ma x 2 -y 2 =1. La risposta è quindi (B) 11Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

12 Quanto vale ? Giochi di Archimede 1997 A. B. C. d. e. 12Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 6

13 Utilizzando le proprietà dei radicali si ottiene La risposta è quindi (C) 13Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

14 Per quali valori reali di α esiste una ed un’unica coppia di numeri reali (x,y) che è soluzione del sistema sotto? A.α=0 B.α=3 C.α>0 D.α=√3 E.α≠0 Giochi di Archimede 2001 14Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 7

15 Se α=0 la prima equazione ha l’unica soluzione (0,0), la quale risolve anche la seconda. Se α 0 le soluzioni sono due, come si vede con un’interpretazione geometrica: esse sono le intersezioni della circonferenza di centro (0,0) e raggio √α con una retta passante per il centro. La risposta è (A). 15Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

16 Se 2 x =4 y+1 e 27 y =3 x+1, quanto vale x+y? A.-3 B.3 C.5 D.11 E.Non esistono coppie di numeri (x,y) che verificano le condizioni date Giochi di Archimede 1997 16Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 8

17 Scomponiamo il 4 nella prima equazione e il 27 nella seconda e eguagliamo i coefficienti così ottenuti Otteniamo x=2y+2 e 3y=x+1 da cui y=3 e x=8 e x+y=11 La risposta è (D) 17Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

18 Siano a,b,c le soluzioni dell’equazione x 3 -3x 2 - 18x+40=0. Sapendo che ab=10, calcolare c(a+b) A. -28 B. -18 C. 21 D. 22 E. Non si può determinare Giochi di Archimede 2000 18Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 9

19 Ci riscriviamo l’equazione come (x-a)(x-b)(x-c)=0 e svolgendo i calcoli otteniamo x 3 -(a+b+c) x 2 +(ab+ac+bc)x-abc=0 quindi abc=-40 e ab=10 da cui c=-4. Da a+b+c=3 ricaviamo a+b=7. Il risultato à (A) 19Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

20 Quante soluzioni intere positive ha l’equazione x 2 - y 2 =60? A. una B. due C. quattro D. Sei E. Infinite Giochi di Archimede 1997 20Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 10

21 Riscriviamo come (x+y)(x-y)=60 e chiamiamo a=x+y e b=x-y da cui ab=60, a>b perché x e y positivi. Abbiamo sei possibilità di combinazione di a e b ma x e y sono interi solo se a+b e a-b sono entrambi pari o entrambi dispari. Quindi è vero solo per (30,2) e (10,6). Il risultato è (B) 21Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

22 Siano x e y due numeri reali tali che x>y. Quali delle seguenti disuguaglianze è sempre verificata? A. x 2 >xy B. x 2 > y 2 C. x/y>1 D. x 3 > y 3 E. x 4 >y 4 Giochi di Archimede 1999 22Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 11

23 Tutte le risposte tranne la D sono sbagliate per x=0 e y=-1. Inoltre scomponendo ci accorgiamo che x 3 - y 3 >0 è sempre verificato. La risposta è la (D) 23Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

24 Siano x e y numeri reali tali che xy>x. Quale delle seguenti disuguaglianze è sicuramente falsa? A. (x 2 )y>x 2 B. y≥1 C. x(y 2 )>xy+3 D. x(y 2 )=xy E. x 2 +y 2 ≤4(y-1) Giochi di Archimede 1998 24Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 12

25 Si noti che x 2 +y 2 -4(y-1) ≤0 corrisponde a x 2 +(y-2) 2 ≤0 Che è verificato solo se x=0 e y=2 ma questo va contro l’ipotesi, quindi la risposta è proprio (E) Preparazione giochi di Archimede - Triennio25 Soluzione

26 Sapendo che 1/a=a+1/b=b+1/c=c+1/d=2 quanto vale il prodotto abcd? A. 5/16 B. 1/5 C. 3/7 D. 9/16 E. 5/4 Giochi di Archimede 2000 26Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 13

27 Ricaviamo dalle equazioni uno dopo l’altro i valori di a,b,c,d a partire da a da cui abcd=1/2*2/3*3/4*4/5 La risposta è la (B) 27Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

28 Se a,b sono due numeri reali positivi tali che a+b=1, il minimo valore possibile per il prodotto (1+1/a)(1+1/b) è A. 16 B. 9 C. 4 D. Non c’è un valore minimo E. C’è un valore minimo, ma non è fra quelli citati Giochi di Archimede 1997 28Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 14

29 Il prodotto è 1+1/a+1/b+1/ab=(ab+a+b+1)/ab=1+2/ab che è minimo se 2/ab lo è, cioè se ab è massimo. Ma questo avviene per a=b=1/2. Tale prodotto sarà quindi 9(B). Preparazione giochi di Archimede - Triennio29

30 RICORDIAMO A TUTTI CHE A PARTIRE DAL 3/12/14 IN QUESTA SEDE SARÀ TENUTO DAL PROFESSOR CALLEGARI DI TOR VERGATA CON CADENZA SETTIMANALE IL CORSO DI PREPARAZIONE ALLA GARE A SQUADRE SU DUE LIVELLI DI DIFFICOLTÀ. SIETE TUTTI INVITATI A PARTECIPARE!!! Preparazione giochi di Archimede - Triennio30

31 VI AUGURIAMO UN GRAN SUCCESSO NEI GIOCHI DI ARCHIMEDE E NELLE PROSSIME GARE DI MATEMATICA! Preparazione giochi di Archimede - Triennio31 Matteo Passafiume E Daniele Perri