IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

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Funzioni periodiche funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Definizione di funzione periodica
funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Osservazione Da ciò si deduce che il dominio di una funzione periodica non può essere limitato funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 1 La funzione costante f(x)=k è periodica. Ogni numero reale p positivo è un periodo per questa funzione. Non esiste, in questo caso, il periodo minimo. y=k k p x+p x x-p funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 2 La funzione f(x)=senx è periodica. I numeri 2kπ, con k intero maggiore di zero sono periodi per la funzione. Il minimo periodo e 2π. /2 5/2 2 3/2 7/2 funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 3 La funzione f(x)=sen(πx) è periodica. I numeri natu-rali positivi pari sono periodi per la funzione. Il minimo periodo è 2. funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 4 La funzione f(x)=senx·cosx è periodica. I numeri kπ, con k intero maggiore di zero sono periodi per la funzione. Il minimo periodo è π. π/2 π funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 5 La seguente funzione è periodica. I numeri razionali strettamente positivi sono periodi per la funzione. Per provarlo, è sufficiente osservare che la somma di due numeri razionali è ancora un numero razionale, mentre la somma di un razionale con un irrazionale è ancora un irrazionale. Non esiste il minimo periodo. funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 6 La funzione f(x)=x-[x] ( [x] è la funzione parte intera), è periodica ed ha come periodi tutti i numeri naturali strettamente positivi. Il periodo minimo è 1. Il suo grafico è il seguente: 1 2 -2 3 funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Osservazione Come si vede dagli esempi, una funzione, in generale ha infiniti periodi. Se l’insieme di tutti i periodi di una funzione f(x) ha un minimo questo si chiama minimo periodo o , semplicemente, periodo della funzione f(x). Se il minimo non esiste la funzione non si dice periodica. funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Dagli esempi visti in precedenza sono da considerarsi periodiche, perché esiste il minimo periodo, le funzioni: senx (minimo 2π) sen(πx) ( minimo 2) senx·cosx (minimo π) x-[x] (minimo 1) Mentre non sono periodiche, perché non esiste il minimo, le funzioni: funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Le più importanti funzioni periodiche sono le funzioni circolari elementari che hanno i seguenti periodi: funzione periodo y=senx 2π y=cosx y=tgx π y=cotgx y=secx y=cosecx funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

f(x): senx, coseno, secante, cosecante
f(x) è una funzione circolare elementare di periodo T=2π f(x): senx, coseno, secante, cosecante periodo f(kx) T/|k| |f(x)| T/2 [f(x)]n, n pari [f(x)]n, n dispari T funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

f(x): tangente, cotangente
f(x) è una funzione circolare elementare di periodo T=π f(x): tangente, cotangente periodo f(kx) T/k |f(x)| T [f(x)]n, n pari [f(x)]n, n dispari funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Osservazione In generale non è possibile stabilire regole per determinare il periodo delle funzioni, nemmeno per dedurre il periodo delle funzioni ottenute mediante somme, prodotti o composizioni di altre funzioni periodiche. Ci si può solo attenere alle seguenti indicazioni: funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Se f(x) è periodica di periodo T allora f(kx) è periodica di periodo T/|k| Se f(x) e g(x) sono funzioni periodiche di periodo T allora le funzione f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) hanno periodo minore o uguale a T Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T1 e T2 allora, se esistono multipli interi comuni, i periodi delle funzioni f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) sono dati dal minimo comune multiplo dei singoli periodi. funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

I seguenti esempi chiariranno quanto affermato

Esempio 7 Determinare il periodo della funzione f(x)=senx+cosx Sia la funzione seno che la funzione e coseno sono periodiche di periodo 2π. In base a quanto affermato nell’osservazione, poiché esistono multipli interi comuni, la funzione f(x) ha periodo 2π. 2π funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 8 Determinare il periodo della funzione f(x)=senx·cosx Sia la funzione seno che la funzione e coseno sono periodiche di periodo 2π. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo minore o uguale a 2π. Infatti senx·cosx=(1/2)sen2x che ha periodo 2π /2=π. π/2 π funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 9 Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(3x) La funzione seno è periodica di periodo 2π. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo 2π/3. 2π/3 funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 10 Determinare il periodo della funzione f(x)=cotg(10x) La funzione cotangente è periodica di periodo π. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo π/10. funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 11 Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(4x)+cos(3x) La funzione sen(4x) ha periodo 2π/4=π/2 mentre la funzione cos(3x) ha periodo 2π/3. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi cioè tra funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 12 Determinare il periodo della funzione f(x)=sen(4x)+cos(3x) La funzione sen(4x) ha periodo 2π/4=π/2 mentre la funzione cos(3x) ha periodo 2π/3. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi cioè tra funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 13 Determinare il periodo della funzione f(x)=cos(5x)+tg(7x) La funzione cos(5x) ha periodo 2π/5 mentre la funzione tg(7x) ha periodo π/7. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi cioè tra funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 14 Determinare il periodo della funzione f(x)=|cos(6x)|-[tg(9x)]10 La funzione cos(6x) ha periodo 2π/6=π/3 mentre la funzione |cos(5x)| ha periodo(1/2)(π/3)=π/6. La funzione [tg(9x)]10 ha periodo π/9. In base a quanto affermato nell’osservazione la funzione f(x) ha periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi cioè tra funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 15 Determinare il periodo della funzione h(x)=f(x)+g(x) dove f(x)=senx e g(x)=1-senx Sia la funzione f(x)=senx che la funzione g(x)=1-senx sono periodiche di periodo 2π mentre la funzione h(x)=senx+1-senx=1 non è funzione periodica perché, come osservato in precedenza, non ha periodo minimo funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 16 Determinare il periodo della funzione h(x)=f(x)+g(x) dove Sia la funzione f(x) che la funzione g(x) sono periodiche di periodo π mentre la funzione h(x)=1 non è funzione periodica perché, come osservato in precedenza, non ha periodo minimo funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 17 Determinare il periodo della funzione h(x)=f(x)+g(x) dove f(x)=senx e g(x)=sen2x-senx Sia la funzione f(x)=senx che la funzione g(x)=sen2x-senx sono periodiche di periodo 2π mentre la funzione h(x)=sen2x è periodica di periodo π funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 18 Determinare il periodo della funzione f(x)=|senx+2| La funzione g(x)=senx+2 è periodica di periodo 2π e anche la funzione f(x)=|senx+2| è periodica di periodo 2π funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Esempio 19 Determinare il periodo della funzione f(x)=(senx+2)2 La funzione g(x)=senx+2 è periodica di periodo 2π e anche la funzione f(x)=(senx+2)2 è periodica di periodo 2π come si evince dal successivo grafico funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

Fine presentazione funzioni periodiche IISS "Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito

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