1IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013.

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2 1IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

3 Con la retta iniziamo lo studio della geometria analitica, che è lo studio delle figure geometriche rappresentate con espressioni algebriche per mezzo di un sistema di assi e di coordinate. La nascita della geometria analitica è dovuta ai matematici francesi Renè Descartes e Pierre Fermat. Essi fondarono la geometria analitica contemporaneamente ma separatamente. 2IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

4 Coordinate cartesiane nel piano Se tracciamo sul piano due rette orientate perpendicolari fra loro, chiamandole, rispettivamente, asse X o delle ascisse ed asse Y o delle ordinate e chiamando il punto O di intersezione delle due rette origine degli assi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano e le coppie ordinate di numeri reali 3IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

5 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 P(x;y) x y 0 4IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

6 Punti simmetrici Due punti simmetrici rispetto all'asse y hanno la stessa ordinata e le ascisse opposte: 1 1 23 4 2 3 -2 -3 -2 P(x;y) 0 P’(-x;y) x-x y 5IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

7 Punti simmetrici Due punti simmetrici rispetto all'asse x hanno la stessa ascissa e le ordinate opposte: 1 1 23 4 2 3 -2 -3 -2 P(x;y) 0 x-x P’(x;-y) -y y 6IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

8 Punti simmetrici Due punti simmetrici rispetto all’origine hanno ascissa e ordina- ta opposte: 1 1 23 4 2 3 -2 -3 -2 P(x;y) 0 x -x -y y P’(-x;-y) 7IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

9 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 Segno delle coordinate nei vari quadranti 0 III quadrante (-;-) II quadrante (-;+) I quadrante (+;+) IV quadrante (+;-) 8IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

10 Distanza tra due punti Siano P(x 1,y 1 ) e Q(x 2,y 2 ) due punti del piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy; si vuole trovare la loro distanza 9IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

11 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 Q(x 2 ;y 2 ) x2x2 y2y2 0 P(x 1 ;y 1 ) x1x1 y1y1 H(x 2 ;y 2 ) Applichiamo il teorema di Pitagora triangolo QPH y 2 -y 1 x 2 -x 1 d Formula distanza tra due punti 10IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

12 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 Q(x 1 ;y 2 ) x1x1 y2y2 0 P(x 1 ;y 1 ) y 2 -y 1 d Formula distanza tra due punti che hanno stessa ascissa 11IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

13 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 x2x2 0 P(x 1 ;y 1 ) x1x1 y1y1 Q(x 2 ;y 1 ) x 2 -x 1 Formula distanza tra due punti che hanno stessa ordinata 12IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

14 Coordinate del punto medio di un segmento Assegnati due punti di coordinate P(x 1,y 1 ), Q(x 2,y 2 ) determinare le coordinate (x m,y m ) di M, punto medio del segmento PQ. 13IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

15 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 Q(x 2 ;y 2 ) x2x2 y2y2 0 P(x 1 ;y 1 ) x1x1 y1y1 ymym xmxm M Coordinate del punto medio di un segmento 14IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

16 Dato il sistema di assi cartesiani xOy, si consideri il sistema di assi cartesiani XO'Y, con gli assi X e Y rispettivamente equiversi e paralleli agli assi x,y ed avente l'origine nel punto O'(a,b). Sia P è un generico punto con coordinate (x,y), nel sistema xOy e coordinate (X,Y), nel sistema XO'Y. La traslazione degli assi 15IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

17 La traslazione degli assi 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 P(x;y) x y 0 x y O O’ X Y a b P(X;Y) aX b Y 16IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

18 Equazioni traslazione degli assi 1 1 23 4 2 3 4 -2 -3 -2 P(x;y) x y 0 x y O O’ X Y a b P(X;Y) aX b Y 17IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

19 Definizione di luogo geometrico Si definisce luogo geometrico l’insieme dei punti del piano che godono tutti di una stessa proprietà. 18IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

20 Esempi di luoghi geometrici La circonferenza: tutti i suoi punti sono equidistanti dal centro la bisettrice di un angolo: tutti i suoi punti sono equidistanti dai lati dell’angolo l’asse di un segmento: tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento 19IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

21 La retta Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy una qualsiasi retta r, è un luogo geometri- co. Si vuole determinare, quindi, la relazione algebrica che intercorre tra le coordinate x e y di un generico punto P appartenente ad r. Allo scopo incominciamo a considerare rette in posizioni particolari rispetto agli assi e a determinarne le corrispondenti equazioni. 20IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

22 retta parallela all’asse y Sia r una retta parallela all'asse y e A(k,0) un punto ad essa appartenente. Tutti i suoi punti hanno la stessa ascissa k, per cui la retta è rappresentata dalla equazione: x=k A(k;0) x=k 0 k 21IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

23 1 x=1x=0 2 x=2 0 -2 x=-2 retta parallela all’asse y 22IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

24 retta parallela all’asse x Sia s una retta parallela all'asse x e B(0,h) un punto ad essa appartenente. Tutti i suoi punti hanno la stessa ordinata h, per cui la retta è rappresentata dalla equazione: y =h y=h B(0;h) h 23IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

25 y=1 1 y=0 0 y=2 2 y=-1 retta parallela all’asse x 24IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

26 Rette parallele agli assi cartesiani 25IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

27 Esempio Tracciare le rette parallele agli assi e passanti per il punto A(-2;3) y=33 x=-2 -2 0 A(-2;3) 26IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

28 RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE O P HK Q I punti di una retta passante per l’origine è il luogo dei punti tali che è costante il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa; infatti tutti i triangoli che si ottengono con le proiezioni ortogonali sull’asse x dei punti della retta sono simili tra loro. Chiamando tale rapporto m si ha: y x 27IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

29 Retta passante per l’origine Coefficiente angolare della retta 28IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

30 Il coefficiente angolare determina l’angolo che la retta forma con l’asse positivo delle ascisse misurato in senso antiorario y=-2x y=2x y=0.5x x=0 m non esiste y=0, m =0 29IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

31 Il coefficiente angolare determina anche la pendenza della retta, cioè l’incremento o il decremento che subisce la y quando aumento di una unità la x Dalla tabella si evince che la prima retta ha pendenza costante 5 e la seconda -2 mentre per la terza retta, non avendo coefficiente angolare non è possibile stabilire la pendenza xy=5xy=-2xx=2 000 15-2x=2 210-4x=2 315-6x=2 30IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

32 Riassumendo y=-2x y=2x y=0.5x x=0 m non esiste y=0, m =0 se l'angolo è acuto si ha m > 0; se l'angolo è ottuso, m < 0; se l'angolo è nullo o piatto, m = 0; se l'angolo è retto non è definito coefficiente angolare m. 31IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

33 y = x y =- x Le bisettrici dei quadranti sono particolari rette passanti per l’origine degli assi cartesiani con coefficienti angolari m=±1 45° 135° 32IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

34 Retta in posizione generica Sia r una retta non passante per l'origine e non parallela agli assi. Consideriamo una traslazione degli assi cartesiani che porti l’origine nel punto (0; q) x y q o 33IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

35 Retta in posizione generica x y q Si osserva che la retta r ha la stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare rispetto ai due sistemi di riferimento xoy e XO'Y. X Y O’ o 34IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

36 Retta in posizione generica Nel sistema XO'Y la retta r passa per l'origine O’ ed ha equazione: x y q X Y o O’ 35IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

37 Retta in posizione generica applicando la traslazione inversa τ -1 si ottiene l'equazione di r nel sistema xoy: x y q X Y o O’ 36IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

38 Retta in posizione generica x y q X Y y = mx+q è l'equazione in forma esplicita di una generica retta nel piano dove: m è il coefficiente angolare, q è detta ordinata all'origine, in quanto rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate. 37IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

39 Equazione cartesiana della retta L'equazione lineare in due variabili x,y del tipo: rappresenta al variare di a, b, c reali, con a e b non entrambi nulli, una qualsiasi retta del piano. L’equazione precedente prende il nome di equazione cartesiana della retta o equazione generale della retta in forma implicita. Il coefficiente c prende il nome di termine noto. 38IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

40 Equazione cartesiana della retta x y o 39IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

41 Equazione cartesiana della retta Analizziamo i vari casi possibili 40IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

42 Equazione generale della retta: 1° caso 41IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

43 Equazione generale della retta: 2° caso 42IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

44 Equazione generale della retta: 3° caso 43IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

45 Equazione generale della retta: 4° caso 44IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

46 Osservazione L'equazione di una retta in forma implicita rappresenta tutte le rette del piano a differenza dell'equazione in forma esplicita che non rappresenta le rette parallele all'asse y e l'asse y. 45IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

47 Equazione segmentaria della retta Sia r una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine. Essa taglia gli assi in due punti distinti A(p;0) e B(0;q). Le misure dei segmenti orientati che la retta stacca sugli assi cartesiani si chiamano intercette della retta. x y o B(0;q) A(p;0) p q 46IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

48 Equazione segmentaria della retta Noti p e q è possibile determinare l'equazione segmentaria della retta applicando la seguente relazione: x y o B(0;q) A(p;0) p q 47IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

49 Equazione segmentaria della retta l'equazione segmentaria è ottenuta partendo dell’equazione cartesiana della retta x y o ax+by+c=0 48IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

50 Esempio Determinare l’equazione della retta passante per i punti A(4;0) e B(0;2) x y o B(0;2) A(4;0) 4 2 49IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

51 Rette parallele. Condizione di parallelismo x y s r  Le rette parallele r ed s formano con l’asse positivo delle x angoli corrispondenti congruenti. Pertanto avranno la stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare 50IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

52 Rette parallele. Condizione di parallelismo x y s r  Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che abbiano lo stesso coefficiente angolare: 51IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

53 esempio Riconoscere le coppie di rette parallele Teniamo presente che m è il coefficiente della x se la l’equazione della retta è in forma esplicita, mentre è uguale a –a/b se l’equazione della retta è in forma implicita 52IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

54 a //d; b//e; c//f 53IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

55 Rette perpendicolari Condizione di perpendicolarità x y s: y=m s x r: y=m r x mrmr msms 1 O A B H Siano r ed s due generiche rette, perpendicolari, passanti per l’origine di equazione rispettivamente: y=m r x e y=m s x 54IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

56 Rette perpendicolari Condizione di perpendicolarità x y s: y=m s x r: y=m r x mrmr msms 1 O A B H Il triangolo AOB è rettangolo in O e OH è l’altezza relativa all’ipotenusa. Applichiamo il 2° teorema di Euclide 55IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

57 Rette perpendicolari Condizione di perpendicolarità x y s: y=m s x r: y=m r x mrmr msms 1 O A B H Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano fra loro antireciproci. 56IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

58 esempio Riconoscere le coppie di rette perpendicolari Teniamo presente che m è il coefficiente della x se la l’equazione della retta è in forma esplicita, mentre è uguale a –a/b se l’equazione della retta è in forma implicita 57IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

59 a┴f; b ┴d; c ┴2 58IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

60 Posizione reciproca di due rette Date due rette r e s di equazioni ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0 sono possibili 3 casi: 1) r e s sono incidenti 2) r e s sono coincidenti 3) r e s sono parallele 59IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

61 Posizione reciproca di due rette Due rette r e s di equazioni ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0 sono incidenti quando hanno diverso coefficiente angolare, cioè quando 60IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

62 Posizione reciproca di due rette Due rette r e s di equazioni ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0 sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè quando 61IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

63 Posizione reciproca di due rette Due rette r e s di equazioni ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0 sono coincidenti quando hanno la stessa equazione, cioè quando 62IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

64 esempio 63IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

65 Rette incidenti Per determinare il punto di intersezione di due rette, una volta stabilito che sono incidenti, bisogna risolvere il sistema di 1° grado costituito dalle rispettive equazioni. 64IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

66 esempio Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione: 2x-y=0; 3x+2y=7 65IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

67 Fascio di rette improprio Per fascio di rette improprio si intende l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele. Se la retta è data in forma esplicita si ha Per k=0 si ha la retta base del fascio y=mx+k m costante k variabile 66IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

68 Esempio di fascio improprio 1 -2 K=0 K=2 Retta base del fascio y=-2x 67IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

69 esercizio Scrivere l’equazione del fascio improprio delle perpendicolari alla retta r di equazione y=2x+5 il coefficiente angolare del fascio è l’antireciproco del coefficiente angolare della retta r 68IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

70 Osservazione L’equazione y=mx+k non può rappresentare il fascio delle rette parallele all’asse delle y, non essendo definito per tali rette il coefficiente angolare. Un tale fascio di rette ha equazione x=k 69IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

71 Fascio proprio di rette Per fascio proprio di rette si intende l’insieme di tutte le rette del piano che passano tutte per uno stesso punto detto centro del fascio 70IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

72 Equazione di un fascio proprio di rette x y x0x0 y0y0 Consideriamo una traslazione degli assi cartesiani che porti l’origine nel punto (x 0 ; y 0 ) 71IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

73 Equazione di un fascio proprio di rette x yX Y x0x0 y0y0 Rispetto al sistema di riferimento traslato il fascio ha equazione : Applicando la traslazione inversa τ -1 si ottiene l'equazione del fascio nel sistema xoy: o 72IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

74 La (1) rappresenta il fascio di rette proprio di centro (x 0 ;y 0 ). Se però oltre al centro si conosce anche il coefficiente angolare m tale equazione rappresenta una determinata retta del fascio. Pertanto la (1) si applica tutte le volte che si vuole conoscere l’equazione di una retta passante per un punto e di dato coefficiente angolare 73IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

75 Esempio Determinare il fascio di rette proprio di centro P(1;-3) 74IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

76 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per P(2;-1) e parallela alla retta s di equazione y=2x+1 75IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

77 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per A(-3;1) e perpendicolare alla retta s di equazione 2x-3y+1=0 76IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

78 Osservazione L'equazione y-y 0 =m(x-x 0 ) non comprende tutte le rette del fascio di centro P; manca, infatti, la retta passante per P e parallela all'asse delle y. 77IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

79 Osservazione L'equazione a(x-x 0 )+b(y-y 0 )=0 ottenuta da y-y 0 =m(x-x 0 ) ponendo m=-a/b comprende tutte le rette del fascio di centro P 78IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

80 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per A(0;-4) e parallela alla retta s di equazione x=5 La retta x=5 è parallela all’asse y e non ha coefficiente angolare. Per cui la retta s è anch’essa parallela all’asse y e poiché passa per il punto A ha equazione x=0 5 0 x=0 79IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

81 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per A(1;2) e parallela alla retta s di equazione y=7 La retta y=7 è parallela all’asse x e ha coefficiente angolare zero. Per cui la retta s anch’essa parallela all’asse x e passante per il punto A ha equazione y=2 0 2 80IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

82 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per A(-2;2) e perpendicolare alla retta s di equazione x=3 La retta x=3 è parallela all’asse y e non ha coefficiente angolare. Per cui la retta s perpendicolare a r è parallela all’asse x e poiché passa per il punto A ha equazione y=2 3 0 y=2 x=3 81IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

83 Esempio Scrivere l’equazione della retta r passante per A(2;2) e perpendicolare alla retta s di equazione y=-1 La retta y=-1 è parallela all’asse x e ha coefficiente angolare zero. Per cui la retta s perpendicolare a r è parallela all’asse y e poiché passa per il punto A ha equazione x=2 2 0 y=-1 x=2 82IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

84 Coefficiente angolare della retta passante per due punti Consideriamo due punti P(x 1 ;y 1 ) Q(x 2 ;y 2 ) tali che la retta non sia parallela all’asse y: sia cioè x 1  x 2. P Q x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 83IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

85 P Q x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 84IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

86 Formula per calcolare il coefficiente angolare di una retta conoscendo 2 punti P(x 1 ;y 1 ) e Q(x 2 ;y 2 ) 85IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

87 Esempio 1 Determina il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A(3;1) e B(-2;-3) 86IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

88 Esempio 2 Determina il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A(3;1) e B(3;-3) Avendo i 2 punti la stessa ascissa, la retta è parallela all’asse delle x. Pertanto il coefficiente angolare non esiste 87IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

89 Siano P(x 1 ;y 1 ) e Q(x 2 ;y 2 ) due punti e siano x 1  x 2 e y 1  y 2. P Q x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 Equazione della retta passante per due punti 88IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

90 L’equazione del fascio di centro P ha equazione: y-y 1 =m(x-x 1 ). Sostituendo in tale equazione il coef- ficiente angolare della retta PQ otteniamo l’equazione della retta passante per due punti P Q x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 89IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

91 Equazione della retta passante per due punti 90IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

92 Esempio 1 Scrivere l’equazione della retta passante per A(2;-3) e B(-1;4) 91IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

93 Esempio 2 Scrivere l’equazione della retta passante per A(2;-3) e B(-1;-3) In questo caso non è possibile applicare la formula precedente perché le ordinate dei due punti sono uguali. La retta ha equazione: 92IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

94 Esempio 3 Scrivere l’equazione della retta passante per A(2;-3) e B(2;1) Anche in questo caso non è possibile applicare la formula perché le ascisse dei due punti sono uguali. La retta ha equazione: 93IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

95 Distanza di un punto da una retta O H M(-c/a;0) N(0;-c/b) Calcoliamo prima la distanza dell’origine O dalla retta, cioè OH, che è data dal prodotto dei due cateti diviso l’ipotenusa 94IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

96 Distanza dell’origine da una retta O H M(-c/a;0) N(0;-c/b) 95IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

97 96IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

98 H P(x 0 ;y 0 ) x y Distanza di un punto da una retta Consideriamo una traslazione degli assi cartesiani che porti l’origine nel punto (x 0 ; y 0 ) 97IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

99 H P(x 0 ;y 0 ) x y X Y Distanza di un punto da una retta 98IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

100 Distanza di un punto da una retta 99IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

101 Esempio Calcolare la distanza del punto P(-5;-1) dalla retta di equazione 2x-3y+1=0 100IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

102 Fascio proprio di rette generato da due rette Consideriamo due rette incidenti r e s di equazione: 101IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

103 C(x 0 ;y 0 ) x y r s 102IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

104 103IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

105 C(x 0 ;y 0 ) x y r s 104IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

106 C(x 0 ;y 0 ) x y r s Q(x 1 ;y 1 ) Se la retta del fascio passa per un punto Q(x 1 ;y 1 ) è sufficiente sostituire le coordinate del punto nell’equazione del fascio per determinare k 105IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

107 Osservazione Le rette r e s sono dette rette basi del fascio e le chiameremo rispettivamente prima generatrice e seconda generatrice ottenute rispettivamente per k=0 e k=∞ 106IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

108 C(x 0 ;y 0 ) x y r s 107IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

109 Esempio Dopo aver determinato il centro del fascio di rette di equazione x+2y-4+k(x-y-1)=0 determinare per quali valori di k la retta del fascio: 1) passa per il punto P(-1;2) 2)è perpendicolare alla retta x+5y-3=0 108IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

110 Il centro del fascio si ottiene risolvendo il sistema tra le due generatrici del fascio 109IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

111 La retta del fascio passante per il punto P(-1;2) si ottiene sostituendo le coordinate del punto nell’equazione del fascio e determinando il valore di k 110IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

112 Per determinare la retta del fascio perpendicolare alla retta x+5y-3=0 è sufficiente uguagliare il coefficiente angolare di una retta con l’antireciproco dell’altra 111IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013

113 Fine presentazione 112IISS "E. Medi" - Galatone prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013