Scuola di Dottorato in Ingegneria Industriale Game Theory and analysis of competitive dynamics for industrial systems Corso di Dottorato di Ricerca in.

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1 Scuola di Dottorato in Ingegneria Industriale Game Theory and analysis of competitive dynamics for industrial systems Corso di Dottorato di Ricerca in Ingegneria dei Materiali e delle strutture XXVII ciclo Corso di Dottorato di Ricerca in Ingegneria dei Materiali e delle strutture XXVII ciclo GAME THEORY APPROACH FOR MULTI-OBJECTIVE STRUCTURAL OPTIMIZATION GAME THEORY APPROACH FOR MULTI-OBJECTIVE STRUCTURAL OPTIMIZATION PhD students: Orsola Coppola PhD students: Orsola Coppola Marco Gaetani d’Aragona Marco Gaetani d’Aragona Antonio Salzano Antonio Salzano Università degli studi di Napoli “Federico II” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Napoli, 2 luglio 2014

2 Sommario  Introduzione al problema dell’ottimizzazione multi-obiettivo nell’ambito dell’ingegneria strutturale  Approccio alla Teoria dei giochi per la ricerca dell’ottimo  Caso studio 1  Caso studio 2 2

3 Teoria dei giochi Affrontare problemi di ottimizzazione multi – obiettivo: Situazioni di concorrenza sono i giochi ; Soggetti coinvolti sono i giocatori ; In ambito ingegneristico: Gioco = Realizzazione del progetto; Giocatori = Team di progetto, con i loro strumenti di analisi e sintesi Il team di progetto prendono decisioni sulla base di metodi: Cooperativi; Non – cooperativi; Sequenziali. 3

4 Metodi Pareto Cooperativi ( Pareto ): Completa cooperazione, ogni giocatore è a conoscenza delle decisioni degli altri giocatori. La soluzione si ha quando i giocatori non possono più incrementare contemporaneamente il proprio guadagno. Nash Non Cooperativi ( Nash ): I giocatori non hanno le informazioni necessarie per prendere una decisione, si fanno delle ipotesi a vantaggio di sicurezza. Ogni giocatore risulta isolato dagli altri. Stackelberg Sequenziali o gerarchici ( Stackelberg ): Tra i team di progettazione esiste un rapporto gerarchico tra leader/followers. Il leader deve fare delle ipotesi sulle decisioni mentre i followers si adeguano alle scelte del leader. 4

5 Teoria di Pareto 5 Per un problema di ottimizzazione multi – obiettivo non banale, non esiste una singola soluzione che ottimizzi simultaneamente tutti gli obiettivi. In tal caso, le funzioni obiettivo sono dette in conflitto, ed esiste un infinito numero di possibili soluzioni Pareto ottimali. Una soluzione viene detta non dominata, Pareto ottimale o Pareto efficiente, se nessuna delle funzioni obiettivo può migliorare il proprio valore senza peggiorare quello delle altre. In un problema di minimizzazione un vettore x 1 si dice parzialmente inferiore di un altro vettore x 2 se: Esiste almeno una i tale che: Pareto optimal front. In tal caso la soluzione x 1 domina sulla soluzione x 2. Un set di soluzioni non dominate vengono dette Pareto optimal front.

6 Teoria di Nash Ogni giocatore cerca la migliore tattica nel proprio spazio di ricerca, per migliorare il proprio guadagno. Simmetria: nessun giocatore predomina sull’altro, le decisioni sono prese in accordo con gli altri giocatori. Equilibrio: nessun giocatore può migliorare il proprio obiettivo. 6 Alternativamente se:

7 Teoria di Stackelberg Gioco gerarchico competitivo basato sul concetto di RRS (Rational Reaction Set) cioè l’insieme delle soluzioni ottenute da un giocatore isolato che fa delle ipotesi sugli altri giocatori. Il leader conosce il RRS del follower ovvero sa come reagirà il follower alle sue decisioni e tener conto nella propria soluzione degli interessi del follower in modo tale da massimizzare l’efficacia dell’intera progettazione. (Gerarchia delle resistenze) 7 Per cui: Il leader ottimizza le proprie variabili di progetto, mentre le altre variabili raggiungono la soluzione ottima dei followers (ad esempio con Nash equilibrium)

8 Ottimizzazione multi-obiettivo obiettivi Nei problemi di progettazione strutturale esistono una serie di obiettivi che il progettista deve considerare, solitamente in conflitto tra loro. 8 Approccio di ottimizzazione multi-obiettivo: Approccio di ottimizzazione multi-obiettivo: trovare il vettore delle variabili di controllo (o di progetto) X, nella regione delle soluzioni ‘possibili’, che minimizza il vettore dei criteri o delle funzioni obiettivo: soggette ai vincoli: soluzione unica Generalmente non esiste una soluzione unica che possa fornire un ottimo per tutte le funzioni obiettivo simultaneamente. (1)

9 Soluzione Pareto-Ottimale 9 soluzione Pareto-ottimale. Se il vettore X* è soluzione del sistema di equazioni (1), allora non esiste alcuna soluzione X tra quelle possibili che possa ridurre qualche funzione obiettivo, senza causare simultaneamente un aumento in almeno un’altra funzione. Tale definizione di soluzione è la stessa di soluzione Pareto-ottimale. X* è Pareto-Ottimale se e solo se X: regione delle soluzioni possibili nello spazio delle decisioni regione delle soluzioni possibili nello spazio delle funzioni obiettivo

10 Approccio “Teoria dei giochi” 10 Teoria dei Giochi. Il problema dell’ottimizzazione multi-obiettivo può essere risolto utilizzando la Teoria dei Giochi. Ipotizziamo, per semplicità di avere solo 2 funzioni obiettivo e due variabili decisionali: pay-off del 1° giocatore pay-off del 2° giocatore ogni giocatore è associato ad un obiettivo: il primo giocatore è alla ricerca di una x 1 che possa minimizzare f 1 il secondo giocatore è alla ricerca di una x 2 che possa minimizzare f 2 EQUILIBRIO DI NASH L’intersezione dei minimi, se esiste, rappresenta un EQUILIBRIO DI NASH (x* 1, x* 2 ) Gioco non cooperativo (x* 1, x* 2 ) nelle ipotesi che i due giocatori non cooperino l’un l’altro ( Gioco non cooperativo ):

11 11 Approccio “Teoria dei giochi” equilibri di Nash Gioco cooperativo Se l’intersezione non avviene in un solo punto si ottengono diversi equilibri di Nash, per cui ogni giocatore può avere il vantaggio di dichiarare per primo la propria strategia in modo da forzare l’altro giocatore a quel punto di equilibrio. In alternativa i due giocatori possono scegliere di cooperare ( Gioco cooperativo ) ottenendo una soluzione migliore di quella offerta dal NE. gioco cooperativo: Condizioni gioco cooperativo: il singolo giocatore cerca il massimo beneficio il singolo giocatore cerca il massimo beneficio il singolo giocatore si cautela dalla condizione peggiore il singolo giocatore si cautela dalla condizione peggiore Ricerca delle condizioni estreme Ogni funzione obiettivo è minimizzata nel rispetto dei vincoli

12 12 Approccio “Teoria dei giochi” Matrice delle soluzioni estreme con Pareto ottimale soluzione Pareto ottimale : essendo: MaxMax MinMin

13 Caso studio 1: arco a tre cerniere Struttura pendolare (solo N) simmetrica rispetto all’asse y. Della struttura si deve progettare la geometria degli elementi in termini di configurazione (x) e area della sezione retta (A) P 45° y x Elemento 1 Elemento 2 h 2 1 3 C C Sez C-C A

14 14 Due obiettivi in contrasto tra loro: -minimizzare il peso (costo acciaio) -minimizzare spostamento (deformabilità) Due variabili considerate: -Sezione trasversale elementi -Posizione dei nodi 1 e 2 Si considerano le variabili normalizzate: Due funzioni obiettivo (costo): Caso studio 1: arco a tre cerniere

15 15 -Limiti dimensionali Vincoli: -Tensioni nel materiale inferiori al limite di resistenza  0 :  =0.283 lb/in 3, h =100 in, A min =1 in 2, E =30∙10 6 lb/in 2, P =10000 lb,    20000 lb/in 2, x 1 (l) =0.1, x 2 (l) =1.0, x 2 (u) =2.25, x 2 (u) =2.50 Caso studio 1: arco a tre cerniere

16 16 Supercriterio (S) : massimizzare il prodotto delle deviazioni delle funzioni obiettivo individuali rispetto al peggior valore che ciascuna può assumere Giochi cooperativi: Due giocatori cooperano per massimizzare un’ unica funzione obiettivo. Pareto front: Caso studio 1: arco a tre cerniere

17 17 Ottimizzazione mono-obiettivo g 1 (x 1, x 2 ) f1*f1* Caso studio 1: arco a tre cerniere f 2 *=  =0,01819 g 2 (x 1, x 2 ) g 4 (x 1, x 2 ) g 3 (x 1, x 2 ) f 2 (x 1, x 2 ) =  f 1 (x 1, x 2 ) = W g 5 (x 1, x 2 ) g 6 (x 1, x 2 )

18 18 Quantità Minimizzazione di f 1 Minimizzazione di f 2 Metodo dei pesi (c 1 =c 2 =0,5) Approccio Game theory X = x1x1 0,67430,86120,76350,7681 x2x2 0,52952,51,0541,1408 F = F1F1 45,1615233,290493,7723104,7106 F2F2 200,121438,584793,794786,4693 f = f 1 (lb) 36,1493186,736175,059581,4137 f 2 (in) 0,09430,01820,04420,0408 ==  1 (psi) 19994,94033,69747,68996  2 (psi) 3889,9300,91306,91180,1 Caso studio 1: arco a tre cerniere

19 19 Dove x 1 è la variabile di progetto «libera» nella funzione di «costo» f 1, e x 2 è fissa nella strategia del giocatore 1 e deriva dai risultati del giocatore 2. Similmente per x 2 e f 2 Caso studio 1: arco a tre cerniere

20 20 Dopo che ogni giocatore ha preso una decisione separatamente, il giocatore 1 invia la sua miglior scelta al giocatore 2 e viceversa. L’equilibrio di Nash si raggiunge quando nessuno dei due giocatori può migliorare la propria funzione obiettivo Soluzione ottima alla iterazione m-1 (x 1 m-1 e x 2 m-1 trovate indipendentemente dai giocatori 1 e 2) Caso studio 1: arco a tre cerniere

21 21 i-esima iterazione Equilibrio di Nash Metodo dei pesi (c 1 =c 2 =0,5) Cooperative Game theory nonCooperative Game theory x1x1 0,76350,76810,8650 x2x2 1,0541,14081,955 S5,595,632,87 Caso studio 1: arco a tre cerniere

22 Caso studio 2: struttura spaziale 22

23 23 Ipotesi: Caso studio 2: struttura spaziale - minimizzare il peso Tre obiettivi in contrasto tra loro: - minimizzare spostamento nodi 1 e 2 - minimizzare frequenza propria di vibrazione

24 24 Nodi 1236 Condizione di carico 1 (F in lb) FxFx 0000 FyFy 20000-2000000 FzFz -5000 00 Condizione di carico 2 (F in lb) FxFx 10000500 FyFy 10000 00 FzFz -5000 00 Vincoli: Dove  ij è la tensione nell’elemento i nella condizione di carico j, e x i (l) e x i (u) sono i limiti inferiore e superiore di x i Dati:  max = 40000 psi, x i (l) = 0.1 in 2, x i (u) = 5,0 in 2 per i = 1,2,…,25. Caso studio 2: struttura spaziale

25 25 Valore di partenza Minimizzazione peso Minimizzazione deformazione Massimizzazione frequenza Vettore delle variabili di progetto X (in) 1,000,1 a 3,790.1 a 1,000,805,0 a 0,80 1,000,755,0 a 0,75 1,000.1 a 3,320,73 1,000,125,0 a 0,85 1,000,575,0 a 1,99 1,000,985,0 a 1,92 1,000,805,0 a 4,11 Peso(lb)330,72233,071619,33600,88 Spostamento(in)1,541,920,311,36 Frequenza(Hz)68,8673,2570,21108,62 Numero di vincoli attivi 9b9b 04c4c a Vincoli attivi b Buckling degli elementi 2,5,7,8,19 e 20 nella condizione di carico 1 e degli elementi 13, 16 e 24 nella condizione 2 c Buckling degli elementi 2,5,7 e 8 nella condizione di carico 1 Caso studio 2: struttura spaziale

26 26 C iniziale, c 1 =c 2 =c 3 =1/3 C ottimo, c 1 =0,1433 c 2 =0,3628 c 3 =0,4939 Vettore delle variabili di progetto X (in) 0,1 a 0.1 a 0,871,15 0,981,32 0,260,48 0,1 a 0.1 a 0,541,33 0,971,86 2,324,50 Peso(lb)326,95596,52 Spostamento(in.)1,420,94 Frequenza(Hz)90,82100,22 Vincoli attivi sul comportamento4b4b 0 Numero di vincoli attivi22 Supercriterio, S 0,4833*10 8 1,07613*10 8 a Vincoli attivi b Buckling degli elementi 19 e 20 nella condizione di carico 1 e degli elementi 12 e 16 nella condizione 2 Caso studio 2: struttura spaziale Confronto con l’ottimo di Pareto Minimizzazione peso Minimizzazione deformazione Massimizzazione frequenza 271% 204%33%145% 73%108%

27 Bibliografia 27 Game theory approach for multiobjective structural optimization S.S. Rao, Game theory approach for multiobjective structural optimization, Computers & Structures 01, 1987. Multi-objective optimization strategies using adjoint method and game theory in aerodynamics Z.Tang, Multi-objective optimization strategies using adjoint method and game theory in aerodynamics, Acta Mechanica Sinica, 22: 307-314, 2006. Multicriterion aerodynamics shape design optimization and inverse problem using control theory and Nash Games Z.Tang, J.Désidéri and J.Périaux, Multicriterion aerodynamics shape design optimization and inverse problem using control theory and Nash Games, Journal of Optimization Theory and Applications, 135: 599-622, 2007. Multiobjective optimization of Structures with and without control F.Y.Cheng, D. Li, Multiobjective optimization of Structures with and without control, Journal of Guidance, Control and Dynamics, 19: 392-397, 1996.