Integrali indefiniti.

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1 Integrali indefiniti

2 Sinora abbiamo studiato come ottenere la funzione derivata di una data funzione. Vogliamo ora fare l’operazio-ne inversa cioè vedere come, data una funzione f(x), ottenere una funzione F(x) che derivata dia f(x).

3 Definizione Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I. Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che:

4 Esempio

5 Al variare di c si hanno infinite primitive
derivata integrale Al variare di c si hanno infinite primitive

6 Teorema

7 Osservazione Sappiamo che la derivata di una funzione continua può non esistere in qualche punto. Invece si potrebbe dimostrare che per ogni funzione continua in un intervallo I chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive

8 Definizione Data una funzione f(x) continua, l’insieme delle primitive di f(x) si chiama integrale indefinito e si indica:

9 Significato geometrico dell’integrale indefinito
y = F(x)+c y = F(x) L’integrale indefinito di una funzione è costituito da un insieme di funzioni i cui grafici si ottengono uno dall’altro mediante traslazione lungo l’asse y

10 Proprietà dell’integrale indefinito

11 Integrali delle funzioni elementari

12 Integrali delle funzioni elementari

13 Esercizio 1

14 Esercizio 2

15 Esercizio 3

16 Esercizio 4

17 Esercizio 5

18 Esercizio 6

19 Esercizio 7

20 Esercizio 8

21 Esercizio 9

22 Esercizio 10

23 Esercizio 11

24 Esercizio 12

25 Esercizio 13

26 Esercizio 14

27 Esercizio 15

28 Esercizio 16

29 Esercizio 17

30 Esercizio 18

31 Esercizio 19

32 Esercizio 20

33 Integrali delle funzioni razionali

34 Esempio con P2(x) di 1° grado

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36 P2(x) di 2° grado Consideriamo ora il caso frequente in cui P2(x) è un polinomio di 2° grado: R(x) potrà quindi essere o di 1° grado o di grado nullo (una costante). Ci proponiamo, dunque, di calcolare integrali del tipo:

37 1° caso Δ>0

38 Esempio

39 2° caso Δ=0

40 Esempio

41 si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore
si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore. In questo modo si decompone la funzione integranda nella somma di due frazioni algebriche in modo che nella prima compaia al numeratore la derivata del denominatore mentre nella seconda il numeratore sia una costante e quindi si calcola come nel precedente esempio

42 Esempio Integrale esempio precedente

43 3° caso Δ<0

44 Esempio

45 si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore
si cerca di ottenere, al numeratore, la derivata del denominatore. In questo modo si decompone la funzione integranda nella somma di due frazioni algebriche in modo che nella prima compaia al numeratore la derivata del denominatore mentre nella seconda il numeratore sia una costante e quindi si calcola come nel precedente esempio

46 Esempio

47

48

49 Casi particolari Consideriamo ora l’integrazione di alcune funzioni razionali fratte, riconducibili ai casi precedenti

50 Osservazione

51 Esempio 1

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53 Esempio 2

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55 Integrazione per sostituzione
Il calcolo di un integrale può risultare più semplice mediante un’opportuna sostituzione. Si può dimostrare, infatti, che l’integrale non cambia sostituendo alla variabile d’integrazione x una funzione di un’altra variabile t, purché tale funzione sia derivabile e invertibile.

56 Alcuni esempi chiariranno meglio quanto affermato

57 Esercizio 1

58 Esercizio 2

59

60 Esercizio 3

61 Esercizio 4

62 Esercizio 5

63 Esercizio 6

64 Esercizio 6

65 Esercizio 7

66 Esercizio 8

67 Esercizio 9

68 Esercizio 10

69 Esercizio 11

70 Formula integrazione per parti

71 osservazione Integrando per parti è necessario saper individuare il fattore finito e il fattore differenziale. Comunque bisogna scegliere come fattore differenziale la funzione che è integrabile mediante integrazione immediata.

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73 Esercizio 1

74 Esercizio 2

75 Esercizio 3

76 Integrali di particolari funzioni razionali

77 Esercizio 1° caso

78 Esercizio 2° caso

79 Fine presentazione