Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio.

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1 Triennio 1Preparazione giochi di Archimede - Triennio

2 Uno studente vuole misurare il diametro di un cilindro usando un calibro. Purtroppo lo strumento disponibile ha i becchi troppo corti, e non è possibile fare in modo che essi tocchino contemporaneamente due punti diametralmente opposti della superficie laterale. Lo studente decide allora di utilizzare il metodo mostrato nella figura accanto, in cui il bordo del regolo è tangente alla superficie laterale del cilindro. Detta a la misura letta sul regolo del calibro e d la distanza fra l’estremità di un becco e il regolo, si ha che il diametro vale: Giochi di Archimede 2000 2Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 1

3 3Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione Applicando il TEOREMA DI PITAGORA al triangolo grigio in figura si ha: E quindi: Essendo il diametro il doppio del raggio, la risposta è la (D)

4 Dato un triangolo rettangolo:  a 2 = c 2 – b 2  c 2 = a 2 + b 2  b 2 = c 2 – a 2 Utile è ricordarsi le particolarità dei triangoli rettangoli 30°/60° e isosceli. 4Preparazione giochi di Archimede - Triennio Teorema di Pitagora a b c

5 Due cerchi complanari di raggio 1 sono disposti in modo tale che la circonferenza di ognuno passa per il centro dell’altro. Qual è l’area dell’intersezione dei due cerchi? A. √3/2 B. (√3+π)/2 C. π/2 D. √3 E. Nessuna delle precedenti 5Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 2

6 L’area dell’intersezione è data dall’area di due triangoli equilateri di lato 1 e dei 4 settori circolari come quello tratteggiato in figura. L’area di un settore si ottiene come differenza tra l’area della fetta OO’A che è un 1/6 dell’area del cerchio di raggio 1 e quello del triangolo equilatero di lato 1. Quindi si ha che l’area è uguale a: La risposta è quindi la (E) 6Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

7 7Preparazione giochi di Archimede - Triennio Alcune formule

8 8Preparazione giochi di Archimede - Triennio Alcune formule

9 La figura a fianco è lo sviluppo di una piramide retta avente come base un triangolo equilatero di lato 1 e come facce laterali tre triangoli rettangoli isosceli uguali. Il volume della piramide è A. 1/24 B. √2/24 C. √3/24 D. 1/12 E. √5/24 9Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 3

10 “Rimontando” la piramide si ottiene che la sua altezza è un cateto di un triangolo rettangolo di cui: - l’ipotenusa è l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele in figura - l’altro cateto è 1/3 dell’altezza del triangolo equilatero in figura. L’altezza della piramide è quindi uguale a E il volume La risposta è quindi la (B) 10Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

11 1. Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo compreso tra essi, allora i due triangoli sono uguali. 2. Se due triangoli hanno uguali un lato e due angoli, allora i due triangoli sono uguali. 3. Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente uguali, allora i due triangoli sono uguali 11Preparazione giochi di Archimede - Triennio Criteri di uguaglianza dei triangoli

12 1. Primo criterio di similitudine. Se due triangoli hanno due angoli uguali, allora sono simili. 2. Secondo criterio di similitudine. Se due triangoli hanno due lati proporzionali e gli angoli tra essi compresi uguali, allora sono simili. 3. Terzo criterio di similitudine. Se due triangoli hanno tutti e tre i lati in proporzione, allora sono simili. 12Preparazione giochi di Archimede - Triennio Criteri di similitudine dei triangoli

13 Il rapporto fra l’area dell’esagono regolare e quella del poligono stellato rappresentato in figura, che ha tutti i lati giacenti su 6 delle diagonali dell’esagono, è: A. 4/3 B. 3/2 C. 5/3 D. 6/5 E. 5/4 Giochi di Archimede 2000 13Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 4

14 Tracciando le linee indicate in figura si verifica facilmente che l’esagono viene diviso in 18 triangoli equivalenti. Infatti le diagonali uscenti da ciascun vertice dividono la diagonale congiungente i due vertici adiacenti a quello scelto in 3 parti uguali e i sei triangoli ottusangoli hanno la stessa base e la stessa altezza dei triangoli equilateri. Poiché l’area del poligono stellato è data dalla somma delle aree dei 12 triangoli equilateri (tutti uguali fra loro), il rapporto fra le aree è 18/12=3/2. La risposta è quindi (B) 14Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

15 Sul triangolo ABC si costruisce una piramide di vertice V e base ABC. P è un punto sullo spigolo VA tale che BP e CP siano fra loro ortogonali e siano altezze rispettivamente dei triangoli BAV e CAV. Sapendo che P divide VA in due segmenti di lunghezza 1 cm e 2 cm e che le altezze BP e CP sono lunghe rispettivamente 3 cm e 4 cm, determinare il volume (in cm^3) della piramide. A. I dati non sono sufficienti per calcolare il volume B. 6 C. 9 D. 12 E. Non esiste una piramide siffatta Giochi di Archimede 2003 15Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 5

16 Poiché il segmento CP è ortogonale sia al lato VA che al segmento BP, esso è ortogonale al piano contenente la faccia VAB della piramide. Ma allora considerando VAB come base della piramide è facile calcolarne il volume: in VAB il segmento BP è l’altezza relativa al lato VA e quindi l’area di VAB in cm^2 è pari a Allora, visto che CP è l’altezza della piramide relativa a VAB, il suo volume vale in cm^3 La risposta è quindi (B) 16Preparazione giochi di Archimede - Triennio Soluzione

17 La disuguaglianza triangolare afferma che, in un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo. Una sua conseguenza, la disuguaglianza triangolare inversa, afferma invece che la differenza tra le lunghezze dei due lati è minore della lunghezza del rimanente. 17Preparazione giochi di Archimede - Triennio Disuguaglianza triangolare

18 Cinque persone non si trovano d’accordo sulla data.  Carlo dice che oggi è lunedì 16 agosto  Franco dice che oggi è martedì 16 agosto  Marco dice che oggi è martedì 17 settembre  Roberto dice che oggi è lunedì 17 agosto  Tullio dice che oggi è lunedì 17 settembre. Uno ha ragione, ma nessuno ha “completamente” torto, nel senso che ciascuno dice correttamente almeno una cosa (o il giorno della settimana, o il giorno del mese, o il mese). Chi ha ragione? Giochi di Archimede 2003 A. Carlo B. Franco C. Marco D. Roberto E. Tullio 18Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 1

19 Quale delle seguenti espressioni è equivalente all’affermazione “Fra tutti gli insegnanti, solo quelli con un coniuge ricco possiedono un’auto di lusso”? A.Se una persona possiede un’auto di lusso, allora essa è insegnante o ha un coniuge ricco. B.Se una persona è insegnante e ha un coniuge ricco, allora essa possiede un’auto di lusso. C.Se una persona è insegnante e possiede un’auto di lusso, allora essa ha un coniuge ricco. D.Se una persona ha un’auto di lusso, allora essa è un insegnante e ha un coniuge ricco. E.Se una persona ha un coniuge ricco, allora essa è un insegnante e possiede un’auto di lusso. Giochi di Archimede 2002 19Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 2

20  È importante non fare ulteriori supposizioni (derivate dal senso comune o dalla vita di tutti i giorni)  Se possibili aiutarsi con uno schema per rappresentare le informazioni date  Quando si hanno dei nomi usare le iniziali per ridurre il tempo di risoluzione  Gli enunciati non devono essere necessariamente analizzati nell’ordine dato  Fare molta attenzione nella lettura 20Preparazione giochi di Archimede - Biennio Alcune considerazioni

21  Attenzione alle espressioni che limitano le relazioni! (soltanto, esattamente, qualche, mai, sempre…) il contrario di MAI NON è SEMPRE il contrario di TUTTI NON è NESSUNO 21Preparazione giochi di Archimede - Biennio Alcune considerazioni

22 Qual è la negazione di “tutti i numeri perfetti sono pari”? (Non è necessario sapere cos’è un numero perfetto.) A.Tutti i numeri perfetti sono dispari B.C’è almeno un numero perfetto dispari C.C’è almeno un numero pari che non è perfetto D.Nessun numero dispari è perfetto E.Nessun numero pari è perfetto Giochi di Archimede 1998 22Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 3

23 In un’isola di furfanti (che mentono sempre) e cavalieri (che dicono sempre la verità) un esploratore incontra quattro abitanti del luogo, e chiede loro di che tipo sono. Le risposte che ottiene sono le seguenti: (I) “siamo tutti e quattro dei furfanti”; (II) “no, fra noi c’è un solo cavaliere”; (III) “no, ce ne sono esattamente due”; (IV) “io sono un cavaliere”. Quanti dei quattro sono cavalieri? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. Non è possibile dedurlo. Giochi di Archimede 2002 23Preparazione giochi di Archimede - Triennio Problema 4