prof.Giuseppe Frassanito a.s

prof.Giuseppe Frassanito a.s.2011-2012
CIRCONFERENZA La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro Essa è individuata quando si conoscono le coordinate del centro e il raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Conoscendo centro e raggio determinare l`equazione della circonferenza
Problema diretto Conoscendo centro e raggio determinare l`equazione della circonferenza La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio
P(x;y) r C(;) Equazione circonferenza conoscendo centro e raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Osservazione I coefficienti di x2 e y2 sono uguali a 1 manca il termine rettangolare xy La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(-2;1) e raggio 5 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Problema inverso Conoscendo l’equazione della circonferenza determinare le coordinate del centro e il raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Osservazione L’equazione x2+y2+ax+by+c=0 rappresenta una circonferenza reale e non degenere solo se: La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Casi particolari La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

1° caso: c = 0 L’equazione x2+y2+ax+by=0 rappresenta una circonferenza passante per l’origine La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

2° caso: a = 0 L’equazione x2+y2+by+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y C(0;-b/2) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

3° caso: b = 0 L’equazione x2+y2+ax+c=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x C(-a/2;0) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

4° caso: a = 0 e c=0 L’equazione x2+y2+by=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle y e passante per l’origine C(0;-b/2) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

5° caso: b = 0 e c=0 L’equazione x2+y2+ax=0 rappresenta una circonferenza con centro sull’asse delle x e passante per l’origine C(-a/2;0) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

6° caso: a = 0 e b = 0 L’equazione x2+y2+c=0 rappresenta una circonferenza con centro nell’origine La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Posizione reciproca tra retta e circonferenza
Un importante problema è quello relativo alla ricerca delle eventuali intersezioni tra una retta ed una circonferenza. La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Per determinare le intersezioni tra una cinconferenza ed una retta è sufficiente risolvere il sistema di secondo grado formato dalle loro equazioni La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Se la retta è secante le due soluzioni sono reali e distinte e la distanza del centro della circonferenza è minore della lunghezza del raggio (x1;y1) (x2;y2) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Se la retta è tangente le due soluzioni sono reali e coincidenti e la distanza del centro della circonferenza è uguale alla lunghezza del raggio (x1;y1) =(x2;y2) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Se la retta è esterna le due soluzioni non sono reali e la distanza del centro della circonferenza è maggiore alla lunghezza del raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

esempio Determinare le intersezioni tra la circonferenza x2+y2-4x=0 ela retta y=(-1/2)x+2 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Circonferenza per tre punti
Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i seguenti tre punti non allineati A(2;3), B(4;1), C(2;-1) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Le coordinate dei tre punti, poichè appartengono alla circonferenza, devono soddisfare la sua equazione: x2+y2+ax+by+c=0 A(2;3) B(4;1) C(2;-1) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

osservazione Lo studente risolva il precedente problema anche nel seguente modo: 1) determinando le coordinate del circocentro come punto d’incontro di due assi 2)determinando il raggio facendo la distanza tra il circocentro e un vertice 3) scrivendo l’equazione della circonferenza conoscendo centro e raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Punti di intersezione tra due circonferenze
Basta risolvere il sistema costituito dalle loro equazioni. Se le circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni, si ottiene un sistema tra una circonferenza ed una retta chiamata asse radicale. La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Asse radicale C1 C2 L’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i due centri La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Asse radicale C1 C2 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Costruzione dell’asse radicale di due circonferenze che non si intersecano C1 C2 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

L’asse radicale è la perpendicolare alla retta dei due centri e passante per il punto di intersezione dei due assi radicali ottenuti con una terza circonferenza che interseca le prime due C1 C2 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

esempio Determinare i punti di intersezione delle due circonferenze di equazioni: La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Tangenti ad una circonferenza da un punto esterno

y-y0=m(x-x0) r P(x0; y0) C Per determinare le equazioni delle rette tangenti basta imporre che la generica retta passante per P abbia distanza dal centro pari al raggio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

esempio Determinare le equazioni delle tangenti condotte dal punto P(6;4) alla circonferenza di equazione x2+y2 -6x=0 La circonferenza ha centro C(3;0) e raggio r = 3 La generica retta per P ha equazione: y – 4 = m(x - 6) cioè, in forma implicita mx-y+4-6m=0 La distanza di questa retta dal centro c(3;0) deve essere uguale al raggio che misura 3. La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Avendo trovato un solo valore di m si può affermare che una delle due tangenti ha coefficiente angolare 7/24 e l’altra è parallela all’asse y. Pertanto una tangente ha equazione 7x-24y+54=0 e l’altra x=6 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Tangente a una circonferenza in un suo punto
P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) La retta tangente è una sola passa per P ed ha coefficiente angolare l’antireciproco del coefficiente angolare della retta PC La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Equazione della tangente
P(x0; y0) y-y0=m(x-x0) C(xc;yc) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

esempio Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+2x-2y-6=0 nel suo punto di P(1;3) La circonferenza ha centro C(-1;1) La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Fascio di circonferenze
Consideriamo due circonferenze non concentriche di equazioni: e scriviamo una loro combinazione lineare con k parametro reale La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Moltiplicando e mettendo in evidenza l’equazione precedente può essere scritta nel modo seguente: e se k≠-1 può a sua volta essere scritta: cioè nella forma canonica dell’equazione di una circonferenza. Al variare di k tale combinazione rappresenta l’equazione di infinite circonferenze generate dalle due circonferenze generatrici La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Per k = 0 si ottiene la prima generatrice La seconda generatrice non può essere ottenuta per nessun valore di k ma si conviene dire che si ottiene per k = ∞ Per k = -1 si ottiene l’asse radicale che si conviene considerare come quella circonferenza del fascio che è degenere ed ha raggio infinito di equazione Tale retta è perpendicolare alla retta contenente tutti i centri delle circonferenze del fascio La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Se le generatrici si intersecano tutte le circonferenze passano per questi due punti che sono detti punti base del fascio asse radicale A Retta centri B Punti base La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Se le generatrici sono tangenti il fascio ha un solo punto base e tutte le circonferenze passano per questo punto che l’unico punto base del fascio. A tale fascio appartiene anche la circonferenza degenere con centro in T e raggio nullo. asse radicale T Retta centri La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone Punto base prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 1 Determinare, nel fascio di circonferenze passanti per A(-1;2) e B(2;0), quella che passa per il punto C(3;1) Scriveremo il fascio considerando come generatrici la circonferenza di diametro AB e l’asse radicale. Successivamente imporremo il passaggio per il punto C La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

La circonferenza di diametro AB con A(-1;2) e B(2;0), ha centro nel punto medio M(1/2;1) e ha quindi equazione: L’asse radicale è la retta passante per A e B di equazione L’equazione del fascio è: Sostituiamo le coordinate di C nel fascio e troveremo k=-3/5. sostituendo nel fascio -3/5 a k si trova l’equazione della circonferenza: La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 2 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per il punto (0;2) e tangente nell’origine alla retta y+2x = 0 La circonferenza appartiene al fascio di circonferenze avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta y+2x=0 Sostituendo le coordinate (0;2) nel fascio troviamo il valore di k=-2 che sostituito ci dà l’equazione della circonferenza cercata: La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Esempio 3 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per l’origine, ivi tangente alla retta 2x+3y = 0 e avente il centro sulla retta x+2y-2=0 La circonferenza appartiene al fascio di circonferenze avente come generatrici la circonferenza con centro nell’origine e raggio zero e l’asse radicale rappresentato dalla retta 2x+3y=0 Sostituendo le coordinate del centro (-k;-3k/2) nel fascio troviamo il valore di k=-1/2 che sostituito ci dà l’equazione della circonferenza cercata: La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Curve deducibili dalla circonferenza di centro C(α;β) e raggio r La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

approfondimenti Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza
Consideriamo una circonferenza di centro C(α;β) e raggio r L’equazione di tale circonferenza è: C(α;β) r La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Consideriamo un punto P(xp;yp) esterno alla circonferenza e tracciamo da questo punto una tangente PT e una secante PB T r C(α;β) B P(xp;yp) A Per il teorema della secante e della tangente abbiamo: Il prodotto PB·PA si chiama potenza del punto P rispetto alla circonferenza ed è indipendente rispetto alla secante considerata La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PTC T r C(α;β) B P(xp;yp) A La potenza del punto P alla si ottiene semplicemente sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Consideriamo il punto P(xp;yp) interno alla circonferenza e tracciamo da questo punto due corde C r C(α;β) P Per il teorema delle due corde abbiamo: A B D Se il punto è interno la potenza, negativa, si ottiene sempre sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

osservazione La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza non è altro che la differenza tra la distanza del punto dal centro della circonferenza e il raggio. Tale differenza è positiva se il punto è esterno alla circonferenza, negativa se il punto è interno e zero se il punto è sulla circonferenza La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Consideriamo ora due circonferenze non concentriche. L’asse radicale è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Infatti PA·PB è la potenza di tutte e due le circonferenze P asse radicale A Retta centri B La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

Fine presentazione La circonferenza – IISS «E.Medi» Galatone – prof. Giuseppe Frassanito – a.s.2011 La circonferenza IISS "E.Medi" Galatone prof.Giuseppe Frassanito a.s

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