1Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012.

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2 1Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

3 Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo [a;b] significa dire che si può disegnare il suo grafico senza alzare mai il gesso dalla lavagna o la penna dal foglio 2Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

4 0 a 3 b

5 Se per disegnare il grafico si è costretti ad alzare il gesso dalla lavagna o la penna dal foglio vuol dire che in quel punto c’è una “interruzione” detta discontinuità 4Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

6 Tipi di discontinuità in un punto x 0 Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/20125

7 0 c 6 f(c)

8 0 c 7Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

9 0 c 8Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

10 0 c 9Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

11 0 c 10Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

12 0 c 11Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

13 0 c 12Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

14 Definizione di funzione continua in un punto Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b) si dice continua in un punto c se risulta: 13Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

15 Dalla definizione segue che una funzione è continua in un punto c se si verificano 3 condizioni 14Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

16 1Esiste il valore della funzione nel punto c 2Esiste il limite della funzione per x  c 3Il limite coincide con il valore della funzione 15Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

17 Se una delle 3 condizioni viene meno la funzione nel punto è discontinua 16Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

18 Riprendiamo i vari tipi di discontinuità e per ognuno di essi vediamo quale delle 3 condizioni viene meno Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201217

19 0 c 18Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2 l1l1 l2l2

20 0 c 19Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 2 l1l1 Il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2

21 0 c 20Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 2 l1l1 f(x) si dice continua a destra in c perché il limite destro coincide con la funzione

22 0 c 21Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 Il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2

23 0 c 22Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 f(x) si dice continua a sinistra in c perché il limite sinistro coincide con la funzione

24 0 c 23Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 Quando la funzione salta da l 1 a l 2 la discontinuità è detta di prima specie

25 Punti di discontinuità di prima specie Si dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie, quando esistono e sono finiti e diversi tra loro i limiti dalla destra e dalla sinistra della funzione a prescindere dal valore della funzione 24Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

26 Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201225 La seguente funzione presenta una discontinuità di prima specie per x=0

27 1 26Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

28 0 c 27Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 non esiste la funzione in c

29 0 c 28Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 non esiste il limite in c

30 0 c 29Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Tali discontinuità sono dette di seconda specie

31 Punti di discontinuità di seconda specie Si dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie, quando non esiste o non esiste finito almeno uno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c 30Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

32 Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201231 La seguente funzione presenta una discontinuità di seconda specie per x=0

33 32Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

34 0 c 33Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 l Esiste il limite e non esiste la funzione

35 0 c 34Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) Limite e funzione hanno valori diversi l

36 0 c 35Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) Tali discontinuità sono dette di terza specie o eliminabile. La discontinuità si può eliminare imponendo che la funzione assuma il valore del limite l

37 0 c 36Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

38 0 c 37Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l

39 0 c 38Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l

40 Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201239 La seguente funzione presenta una discontinuità di terza specie per x=0

41 Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201240 0 1

42 Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201241 0 1

43 Altra forma della continuità Indichiamo con h un qualunque numero positivo o negativo, che diremo incremento e poniamo x=c+h 42Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

44 0 c 43Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l x=c+h

45 44Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Altra forma della continuità

46 Esempi di funzioni continue 45Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

47 Sono sempre continue La funzione costante y=k La funzione y=x Le funzioni razionali intere Le funzioni senx e cosx La funzione esponenziale 46Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

48 La funzione radice n-esima è continua per ogni x del suo dominio se n è dispari, e per x  0, se n è pari Le funzioni tgx e ctgx sono continue per ogni x del loro dominio 47Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

49 Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni x del suo dominio La funzione logaritmo è continua per ogni x positivo 48Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

50 Continuità in un intervallo La funzione y = f(x), si dice continua nell’intervallo [a;b], se essa è continua in ogni suo punto di tale intervallo 49Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

51 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201250

52 Teorema di Weierstrass Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b], essa assume ivi un valore massimo e un valore minimo 51Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

53 Interpretazione geometrica a b M xMxM m xmxm 52Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

54 Teorema dei valori intermedi Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b], essa assume ogni valore compreso tra il suo massimo e il suo minimo 53Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

55 Interpretazione geometrica a b M xMxM m xmxm y=kk 54Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 y=kk k k k k x

56 Teorema esistenza degli zeri Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b] e se negli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno in un suo punto interno 55Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

57 a b f(b) f(a) 56Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Interpretazione geometrica

58 Continuità delle funzioni inverse Se y=f(x) è una funzione continua in un insieme X ed ivi invertibile, allora la funzione inversa x=g(y) è continua 57Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

59 Sono pertanto continue nel loro dominio le inverse delle funzioni circolari: y=arcsenx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx 58Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

60 Continuità delle funzioni composte 59Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

61 60Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

62 Osservazione 61Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

63 Esempio 1 62Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

64 Esempio 2 63Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

65 Esempio 3 64Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

66 Limiti notevoli 65Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

67 66Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

68 67Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

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71 70Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

72 71Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

73 Esercizi sui limiti notevoli 72Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

74 Esempio 1 73Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

75 Esempio 2 74Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

76 Esempio 3 75Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

77 Esempio 4 76Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

78 Esempio 5 77Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

79 Esempio 6 78Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

80 Esempio 7 79Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

81 Esempio 8 80Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

82 Esempio 9 81Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

83 Esempio 10 82Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

84 Ancora sulle forme indeterminate 83Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

85 Vi sono 3 forme indeterminate che si ricollegano alla forma 0·∞ Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201284

86 Tali forme si incontrano quando si calcola il limite di una funzione del tipo: Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201285

87 Conviene trasformare la funzione Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201286

88 Esempio 1 87Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

89 88Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

90 Esempio 2 89Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

91 90Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

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