V - 1 Prof. Giorgio Tassinari Corso di Laurea Magistrale in Economia e Professioni Statistica per l’analisi dei dati Prima parte: il campionamento nella.

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1 V - 1 Prof. Giorgio Tassinari Corso di Laurea Magistrale in Economia e Professioni Statistica per l’analisi dei dati Prima parte: il campionamento nella revisione contabile Dispensa 5 Argomenti: esercizi svolti a.a. 2011-12

2 V - 2 CAMPIONAMENTO PER ATTRIBUTI Test di controllo o Compilance testing Verifica dell’effettiva esecuzione delle prassi di controllo interno Nel campionamento per attributi il parametro oggetto di analisi è lo stimatore proporzione. Il campionamento per attributi consiste nel prelevare dall’universo delle voci delle diverse aree di bilancio, che si distinguono le une dalle altre per il possesso o meno di un attributo (es.: le operazioni di acquisto o di vendita sono state realizzate conformemente oppure non conformemente alle procedure stabilite dall’azienda). Non si tratta di misurare un carattere delle voci di bilancio, ma di decidere se un’unità possieda o no un dato attributo. Il risultato del campionamento per attributi è rappresentato da una frequenza (o percentuale): il 10% delle operazioni di vendita, ad esempio, sono state realizzate in modo non conforme alle procedure stabilite dall’azienda.

3 V - 3 Intervalli di confidenza Numerosità campionaria

4 V - 4 N=5000 π =6% ε =2.5% α =5%  z =1.96 Data una “popolazione” di 5000 documenti, determinare la dimensione del campione per stimare la proporzione di documenti non conformi alle procedure di controllo, assumendo una percentuale di “difettosità” nella popolazione pari al 6%, e fissando un errore del 2.5% con un livello di significatività del 95%

5 V - 5 Dopo avere revisionato i 325 documenti, se ne individuano 28 non conformi alle procedure previste; costruire un intervallo di confidenza per la stima della proporzione di errori nella popolazione

6 V - 6 Verificare l’ipotesi che la percentuale di errore nella popolazione sia minore del 6%, sempre con errore del 2.5%, significatività del 95% e con un campione di 325 unità nel quale sono stati individuati 28 documenti non conformi. Si assume come ipotesi nulla: H 0 : p ≤ 0.06 e come ipotesi alternativa: H 1 : p > 0.06. testIpotesi nulla H 0 Ipot. Altern. H 1 Liv. Signif. αValori criticiRegione rifiuto una codap ≤ p 0 p > p 0 0.012.326Z > 2.326 0.051.645Z > 1.645 una codap ≥ p 0 p < p 0 0.01-2.326Z < -2.326 0.05-1.645Z < -1.645 due codep = p 0 p ≠ p 0 0.01-2.576 e 2.576Z 2.576 0.05-1.96 e 1.96Z 1.96 Se vogliamo verificare un’ipotesi relativa al numero di eventi utilizzeremo: Se vogliamo verificare un’ipotesi relativa alla proporzione di eventi utilizzeremo: X è il numero di successi osservati nel campione e p 0 è la proporzione ipotizzata nella popolazione p è la proporzione di successi osservati nel campione e p 0 è la proporzione ipotizzata nella popolazione

7 V - 7 regione rifiuto 1.645 1.985 Potremo quindi affermare che la percentuale di documenti non conformi alle procedure nella popolazione, con un livello di significatività del 95% non è inferiore al 6%

8 V - 8 Se nel caso precedente si fossero registrati 26 documenti “errati”, avremmo accettato l’ipotesi nulla p ≤6%? Essendo z <1.645 accetteremo l’ipotesi nulla

9 V - 9 La numerosità campionaria per una verifica di ipotesi, fissati α e β Si assume come ipotesi nulla: H 0 : p = p 0 = 0.3 e come ipotesi alternativa: H 1 : p = p 1 = 0.6

10 V - 10 Campionamento per variabili Test di sostanza o Substantive testing Verifica della correttezza dei valori riportati in bilancio Il campionamento per variabili si utilizza quando il parametro oggetto d’interesse e il valore medio o il totale delle voci da controllare. Il campionamento per variabili opera su “dati di misura” ed i risultati collegati sono rappresentati da una media oppure da un valore assoluto (es.: scostamento totale fra il valore dei crediti rilevati in bilancio ed il valore accertato in sede di verifica da parte dell’auditor).

11 V - 11 Stima intervallare di una media Calcolo della numerosità del campione Siano: N120000 α 5% ε 50 σ 504 Avremo z=1.96 e, nel caso di campionamento senza ripetizione:

12 V - 12 Intervallo di confidenza di una media Supponiamo di avere estratto il campione di 390 unità e di avere ottenuto: l’intervallo di confidenza sarà:

13 V - 13 Supponiamo di voler stimare un totale della i-esima area di bilancio, (ad es. ammontare dei crediti), ed applichiamo un campionamento per variabili, otteniamo la dimensione del campione in relazione alla numerosità della popolazione sulla base della formula: dove N=numerosità della popolazione ε =errore σ 2 =varianza 1- α =livello di significatività delle stime z =valore della normale standardizzata in corrispondenza del livello di α

14 V - 14 Cliente1 € 85,27 … Cliente991 € 680,00 Cliente2 € 491,15 … Cliente992 € 41,79 Cliente3 € 237,92 … Cliente993 € 442,15 Cliente4 € 234,15 … Cliente994 € 590,00 Cliente5 € 269,30 … Cliente995 € 605,00 Cliente6 € 76,89 … Cliente996 € 244,32 Cliente7 € 258,61 … Cliente997 € 650,00 Cliente8 € 333,24 … Cliente998 € 450,00 Cliente9 € 263,62 … Cliente999 € 499,42 Cliente10 € 303,42 … Cliente1000 € 290,00 Totale € 57.699.957,00 Supponiamo di avere la seguente distribuzione di 1000 crediti verso clienti della società ALFA Dalla popolazione di 1000 registrazioni si estrae un campione pilota di 50 elementi per stimare la varianza della popolazione. Dal campione pilota risulta un valor medio pari a € 2.024,32 varianza campionaria€ 164.472.065,91 Determiniamo la numerosità campionaria per il calcolo del totale fissando come errore tollerabile il 2%

15 V - 15 Sulla base di quest’ultimo campione, calcoliamo lo stimatore media e la deviazione standard, necessari per stimare l’intervallo di confidenza per il valore totale dei crediti verso clienti.

16 V - 16 In termini di verifica di ipotesi si sarebbe potuto scrivere: Avendo fissato un livello di significatività del 95% in un test bilaterale, avremo una intervallo di accettazione per cui accetteremo l’ipotesi nulla

17 V - 17 Stimatore rapporto per un totale

18 V - 18 prg y registrato x revisionato 1134.41 47.65 2845.75445.75127139.44 3886.9686.96569194.55 4233.32 143.57 5115.76 35.34 6330.76 288.53 7268.14 189.62 8256.74 173.84 9497.25 652.11 101036.85 2835.33 11342.60 309.56 12559.74859.74108073.71 13740.96 1447.98 14460.37 558.97 151054.80 2934.35 16180.41 85.84 17959.98 2430.50 18865.59 1976.04 ………… 223119.99 37.97 2247634.56 153723.39 media876.247831.247 totale972278.3 Da una popolazione di 5420 fatture di fornitori è stato estratto un campione di 224 documenti per stimare il totale del conto debiti vs clienti. Il totale del conto è: Le medie campionarie dei dati registrati e dei dati revisionati sono rispettivamente: essendo:

19 V - 19 Stimatore differenza del totale

20 V - 20 progr y registrato x revisionato 1134.41 [(134.41-831.25)-(134.41-876.25)] 2 = 2025 2845.75445.75126025 3886.9686.96570025 4233.32 2025 5115.76 2025 6330.76 2025 7268.14 2025 8256.74 2025 9497.25 2025 101036.85 2025 11342.60 2025 12559.74859.74119025 13740.96 2025 14460.37 2025 151054.80 2025 16180.41 2025 17959.98 2025 18865.59 2025 19119.99 2025 207634.56 2025 media876.25831.25 totale849500 Riprendendo l’esempio precedente:

21 V - 21 intervallofrequenza f½f½ cumulatastrati 0249.9242549.2 1 250499.9195344.293.4 500749.9152139.0132.4 750999.995430.9163.3 2 10001249.984729.1192.4 12501499.969526.4218.8 15001749.974527.3246.1 3 17501999.968926.2272.3 20002249.956323.7296.1 22502499.955423.5319.6 25002749.947621.8341.4 27502999.950322.4363.8 4 30003249.943220.8384.6 32503499.942020.5405.1 35003749.937619.4424.5 37503999.924515.7440.2 40004249.920114.2454.3 5 42504499.918713.7468.0 45004749.915312.4480.4 47504999.912511.2491.6 50005249.923615.4506.9 52505499.911410.7517.6 55005749.9959.7527.4 57505999.9476.9534.2 6000869.3543.5 stratificazione Data la seguente distribuzione costruire 5 strati con il metodo Cumulative Root Frequency In totale sono 14642 documenti, 1. calcoliamo la radice quadrata delle frequenze 2. costruiamo la loro distribuzione cumulata. Il totale della cumulata è 543.5. 3. Determiniamo Q=543.5/5=108.7 Il valore di Q ricade nella terza classe (Q è infatti maggiore di 93.4 e minore di 132.4). 4. Calcoliamo poi 2Q=217.4 Ricade nella classe 1250-1499.9. stratolimite 1108.7 2217.4 3326.1 4434.8 5543.5

22 V - 22 Dati gli strati appena costruiti, determinare la numerosità campionaria per stimare il totale con un errore di 1000000€ e con un livello di confidenza del 95% stratishsh vhvh NhNh NhvhNhvh 0749.9356.95127413.305899751611071.45 7501499.9426.54181936.372496454113183.51 15002749.9612.36374984.7730271135078897.58 27503999.9624.95390562.501976771751504.94 4000100002965.478794012.32124410939751327.20 1464214052305984.68

23 V - 23 Utilizzare il criterio dell’allocazione proporzionale per determinare la numerosità campionaria per ogni strato: strati NN h /N(N h /N)*nnhnh 0749.958990.40292.09292 7501499.924960.17123.59123 15002749.930270.21149.88150 27503999.919760.1397.8498 40001000012440.0861.6061 14642725 strati NN h /Nshsh WhshWhsh whwh w h *nn 0749.958990.40356.95143.80880.211669153.46153 7501499.924960.17426.5472.711640.10702277.5978 15002749.930270.21612.36126.59570.186333135.09135 27503999.919760.13624.9584.339650.12413790.0090 40001000012440.082965.47251.94950.370838268.86269 14642679.4052725 dove: Se invece si volessero suddividere le unità secondo il criterio di allocazione ottimale di Neyman dovremo utilizzare la variabilità (sqm) di ogni strato:

24 V - 24 strati NhNh nhnh mhmh shsh NhmhNhmh Whs2hWhs2h 0749.95899292387.55219.46 5899*387.55= 2286165.211 (5899/14642)*219.46 2 = 19404.17 7501499.924961241097.60226.332739601.9028732.39 15002749.930271502176.83380.056589274.76829860.28 27503999.91976983363.09362.426645469.24817726.12 40001244617238.511804.979004705.146276794.7 1464272527265216.27352517.7 Supponiamo di avere estratto un campione casuale semplice senza ripetizione da ogni strato secondo la numerosità prevista dall’allocazione proporzionale e di avere calcolato le medie m h e gli scarti quadratici medi s h, costruire un intervallo di confidenza per il totale Stimatore del totale per campione stratificato Intervallo di confidenza del totale per campione stratificato dove, nel caso di allocazione proporzionale:

25 V - 25 AR = IR x CR x DR AR=Rischio di Revisione IR=Rischio Intrinseco CR=Rischio di Controllo DR=Rischio di Individuazione Nella valutazione del bilancio della ditta Gamma assumiamo un rischio di revisione del 5%. In relazione al conto crediti vs clienti riteniamo che il rischio di controllo sia da ritenere medio-basso, ponendolo pari al 33%. Dato un valore contabile di 1,750,000€, fissato un errore tollerabile di 43,750€, un errore atteso di 9,000€: determinare la numerosità campionaria, valutare i risultati ottenuti è il rischio che i sistemi di controllo compresa la revisione interna, non riescano a prevenire o identificare tempestivamente errori o irregolarità rilevanti. è il rischio che il revisore esprima un giudizio non corretto nel caso in cui il bilancio sia significativamente inesatto. è il rischio che il bilancio contenga errori o irregolarità rilevanti e varia per le diverse voci che compongono il bilancio rischio legato alla possibilità che le procedure di revisione non identifichino un eventuale errore o un’irregolarità rilevante

26 V - 26 AR = IR x CR x DR  DR = AR / (IR x CR) Assumendo IR=100%, per cui il Rischio di non Individuazione (Detection Risk) sarà: DR = AR / (IR x CR) = 0.05 / (1*0.33) = 0.15 Dimensione del campione: Campionamento per Unità Monetaria Tabella Determinazione del Fattore di espansione dell’errore (EF) Livello di confidenza99%95%90%85%80%75%70%65%60% Rischio di rilevamento1%5%10%15%20%25%30%35%40% EF1.91.61.51.41.31.251.21.151.1 Tabella Determinazione di RF Livello di confidenza99%95%90%85%80%75%70%65%60% Rischio di rilevamento1%5%10%15%20%25%30%35%40% RF4.6132.311.91.611.391.211.050.92

27 V - 27 Volendo estrarre il campione per mezzo di un campionamento sistematico, come dovremo procedere: 1.si costruisce la distribuzione cumulata degli elementi sottoposti a revisione; 2.si determina l’Intervallo di Campionamento, si estrae un numero casuale compreso tra 1 e IC; 3.si seleziona l’elemento che nella colonna dell’importo cumulato contiene il valore casuale estratto; 4.si prosegue sommando al numero casuale estratto il valore di IC e si seleziona l’elemento che nella colonna dell’importo cumulato contiene il nuovo valore Eseguiamo il campionamento Valutiamo i risultati campionari:

28 V - 28 codice cliente valore registrato (A) valore revisionato (B) Errore (C = A-B) Errore/ Importo registrato (Taintng) (D = C/A) IC (E) projected misstatement (F = D*E)UML 254120009000300025%163554089 3111000095005005%16355818 68129000255003500- projected misstatement (PM)8407 precisione di base (IC*RF) (PB)1.9* 1635531075 Reliabity Factor (G) Incremento (H = G-G-1) Incremento - 1 (I = 1-H) projected misstatement (F) fattore di incremento (L = I*F) 1.90 3.381.480.4840891963 4.721.340.348181096 fattore di incremento3058 Totale42540 Supponiamo di individuare 3 errori: (ricordiamo che IC=16355) Per il cliente 681 non viene calcolato il tainting factor perché l’importo è maggiore dell’intervallo di campionamento

29 V - 29 UML ≤ TM il valore monetario della popolazione non è sovrastimato più di UML con un rischio pari al rischio di accettazione 42540 ≤ 43750