Probabilità Definizione di probabilità La definizione di probabilità si basa sul concetto di evento, ovvero sul fatto che un determinato esperimento può.

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1 Probabilità Definizione di probabilità La definizione di probabilità si basa sul concetto di evento, ovvero sul fatto che un determinato esperimento può avere un risultato che non è prevedibile a priori. Un esempio è il lancio di un dado in cui non si riesce a sapere prima quale numero esca, ma si può solamente ipotizzare, con una determinata probabilità, quale numero si presenti. Tali eventi si dicono casuali proprio per il fatto che non è possibile prevedere con certezza il loro verificarsi. Un altro esperimento che si può citare è il lancio di una moneta in cui gli eventi possibili sono T (testa) o C (croce).

2 Si definisce spazio campione l'insieme di tutti i possibili risultati di un evento; ogni risultato deve cadere inevitabilmente all'interno di questo spazio campione. Nel caso del lancio di un dado lo spazio campione sarà finito e formato da 6 elementi: G = {1,2,3,4,5,6} Se ci si mette nella condizione di chiedersi quante volte deve essere lanciato un dado prima che esca un 3 lo spazio si dice infinito. Uno spazio campione si definisce continuo se invece l'insieme dei risultati corrisponde ad un intervallo di numeri reali, quindi è uno spazio campione non finito e non discreto. Inevitabilmente uno spazio campione è detto discreto se il numero di risultati che si possono verificarsi è un numero finito.

3 Lo spazio campione, cioè l'insieme di tutti i possibili risultati, è detto evento certo; nel lancio di un dado l'evento certo è che esca uno dei numeri {1,2,3,4,5,6}. Si definisce evento impossibile, ovvero un evento che non può verificarsi, l’insieme vuoto ∅. Per comprendere e descrivere meglio il calcolo delle probabilità è utile l'utilizzo degli insiemi; quindi si associa ad ogni evento un insieme. Dati 2 eventi A e B si definiscono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente. Se due eventi A e B sono incompatibili risulta che: A∩B = ∅. Gli insiemi, a livello grafico, vengono disegnati grazie ai diagrammi detti di Venn.

4 Calcolo combinatorio In generale è difficile quantificare il numero di eventi che si possono verificare in un determinato esperimento. Una soluzione è quella di contarli grazie al numero di combinazioni che possono assumere i vari eventi possibili. E' questo il compito del calcolo combinatorio. Se gli insiemi A1, A2,..., Ak contengono rispettivamente n1,n2,...,nk oggetti, il numero di modi diversi di scegliere prima un oggetto di A1, poi un oggetto di A2,…, infine un oggetto di Akè N = n1 ⋅ n2 ⋅... ⋅ nk

5 Se in particolare n1 = n2 =.... = nk = n, si ha N = nk, che rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a gruppi di k, ossia dei gruppi che si possono formare scegliendo k oggetti, anche ripetibili, fra n oggetti disponibili. Si definiscono disposizioni semplici senza ripetizione, considerando n oggetti, i gruppi che si possono formare scegliendo k (k ≤ n) degli n oggetti.

6 Si definiscono le permutazioni di n oggetti i gruppi formati da tutti gli n oggetti dati che variano solo per l'ordine degli oggetti stessi. Si definiscono combinazioni i gruppi di k oggetti, dati n oggetti complessivi, in modo che i gruppi sono differenti per almeno un oggetto. Probabilità Fino ad ora si è esaminato con il calcolo combinatorio la possibilità di contare il numero di eventi che si possono presentare, ovvero il numero degli eventi totali e il numero di eventi richiesti. Ora ci si occuperà con il calcolo delle probabilità di prevedere il verificarsi di alcuni eventi non conoscendo a priori il loro verificarsi. La probabilità si occupa proprio di fornire un risultato matematico dell'aspettativa che può assumere il verificarsi di taluni eventi. La probabilità non è altro che una funzione matematica.

7 La probabilità è definita nel seguente modo: numero casi possibili /numero casi favorevoli Tale definizione presuppone che gli eventi hanno tutti la stessa probabilità e che lo spazio campione sia inevitabilmente finito e quindi numerabile. I passi fondamentale da seguire per il calcolo di una probabilità sono i seguenti: 1 − si calcola il numero dei casi possibili; 2 − si calcola il numero dei casi favorevoli, ovvero il numero degli eventi che verificano la richiesta. 3 − si calcola il rapporto sopra scritto. E' fondamentale sapere che una probabilità P è sempre un numero compreso fra 0 e 1. Un evento si dice impossibile se P = 0; un evento si dice certo se P = 1. E' buona norma esprimere una probabilità in percentuale, moltiplicando il risultato per 100 0 % ≤ P ≤ 100 %.