Laboratorio II, modulo 2 2015-2016 Segnali a tempo discreto ( cfr.

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1 Laboratorio II, modulo 2 2015-2016 Segnali a tempo discreto ( cfr. http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_04.pdfhttp://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_04.pdf e http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_06.pdf )http://wpage.unina.it/verdoliv/tds/appunti/Appunti_06.pdf

2 Equazioni di analisi Segnale periodico Segnale aperiodico

3 Equazioni di sintesi Segnale periodico Segnale aperiodico

4 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t):

5 Dal tempo continuo al tempo discreto il segnale campionato è un treno di impulsi le cui ampiezze rappresentano il segnale x(t) agli istanti di campionamento

6 Dal tempo continuo al tempo discreto f c = 1/T c Frequenza di campionamento

7 Trasformata di Fourier di una sequenza

8 Dal tempo continuo al tempo discreto Andiamo a campionare il nostro segnale, x(t): per le proprietà della trasformata della δ:

9 Effettuiamo il cambio di variabile, (frequenza normalizzata alla frequenza di campionamento) e chiamiamo: quindi: Trasformata di Fourier di una sequenza

10 Caso continuo: Caso discreto: Inoltre:

11 Trasformata di Fourier di una sequenza o, in altri termini: cioè è periodica, con periodo 1/T c ! Quindi vale l’espansione in serie di Fourier: di cui sappiamo come valutare i coefficienti:

12 Equazioni di analisi Tempo continuo Tempo discreto

13 Equazioni di sintesi Tempo continuo Tempo discreto

14 Trasformata Discreta di Fourier purtroppo ancora siamo lontani dalla realtà, in un caso reale: il numero di campioni nel tempo è finito anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo In questo caso si dimostra che:

15 La condizione di Nyquist Campionare il segnale è equivalente a moltiplicarlo per un treno di impulsi: Usando il teorema di prodotto e convoluzione e le proprità della δ: da cui:

16 La condizione di Nyquist la larghezza del segnale nel dominio delle frequenza è la sua banda (B) a)f c > 2B b)f c = 2B c)f c < 2B

17 La condizione di Nyquist La trasformata di Fourier di una sequenza è la periodicizzazione della trasformata del segnale originale, con una periodicità pari alla frequenza di campionamento f c = 1/T c. Per garantirsi l’assenza di aliasing, la frequenza di campionamento deve essere tale che: dove B è la banda del segnale

18 Aliasing

19 Trasformata Discreta di Fourier (DFT) Caso reale: il numero di campioni nel tempo è finito anche le frequenze sono in numero finito e non nel continuo Se si acquisisce un segnale per un tempo T p con una frequenza di campionamento f c = 1/T c, in totale si avranno N = T p /T c campioni. Lo spettro di Fourier avrà una “risoluzione” di f p = 1/T p e la frequenza massima che sarà rappresentata è N*f p, cioè 1/T c = f c (cfr. Nyquist*) *in realtà N/2 elementi della DFT (FFT) sono usati per le frequenze negativi

20 Power Spectrum su Labview Per il power spectrum diverse implementazioni sono possibili: * … * http://www.ni.com/white-paper/4541/en/http://www.ni.com/white-paper/4541/en/