Lezione n° 15 Teoria della dualità: - Interpretazione Economica Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno Prof.

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1 Lezione n° 15 Teoria della dualità: - Interpretazione Economica Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno Prof. Cerulli – Dott. Carrabs

2 Esercizio a)Data la base B={ 2,1} verificare se è ammissibile. b)Verificare se è ottima. c)Risolvere graficamente il problema primale. d)Calcolare la soluzione ottima del problema duale. e)Risolvere graficamente il problema duale. f)Verificare attraverso il corollario 1 del teorema debole della dualità che la coppia di soluzioni primale/duale calcolate sono ottime. g)Verificare attraverso il teorema degli scarti complementari se la coppia di soluzioni primale/duale è ottima.

3 Esercizio Base ottima B={ 2,1} Calcolo dell’inversa: a)Data la base ottima B={ 2,1}, determinare la soluzione duale corrispondente al vertice ottimo;

4 Esempio: Massimizzazione del Profitto. Una azienda produce due tipi di mangime A e B, entrambi costituiti da una miscela di carne e cereali. La seguente tabella mostra quanti kg di carne e di cereali sono necessari per produrre un kg di A e B: materie prime Prodotti Ogni giorno l’azienda ha a disposizione 240 kg di cereali e 180 Kg di carne. Inoltre, essendo il mangine A più pregiato, prima di poter essere venduto deve essere raffinato attraverso un macchinario in grado di raffinare al più 110 kg di mangime al giorno. Il profitto per kg è pari a 560€ euro per il mangime A e 420€ per il mangime B. PROBLEMA: determinare quanti kg di mangime A e B devono essere prodotti giornalmente per massimizzare il ricavo dell’azienda.

5 Introduciamo due variabili che rappresentano le quantità di mangime A e B prodotte: Kg di mangime A: x1 Kg di mangime B: x2. (P) Cereali Carne Raffinatric e

6 Supponiamo che un’altra azienda chieda alla prima di vendergli parte della carne o dei cereali. Qual’è il prezzo minimo al quale la prima azienda deve vendere la carne e i cereali facendo rimanere inalterato il proprio profitto? Per rispondere a questa domanda risolviamo il problema duale: Problema (D):

7 La soluzione ottima del problema primale (P) è: La soluzione ottima del problema duale (D) è: Vediamo adesso il significato delle x e delle w considerando la seguente tabella:

8 CerealiCarnex1x2x3x4x5w1w2w3w4w5z* = g* 24018015150009514021000071400 23918015,51490094,514021000071260 24118014,51510095,514021000071540 24017914,25150,50095,7514021000071190 24018115,75149,50094,2514021000071610 25020025150008514021000077000 250 11093,3036,602800 00100800

9 CerealiCarnex1x2x3x4x5w1w2w3w4w5z* = g* 24018015150009514021000071400 23918015,51490094,514021000071260 24118014,51510095,514021000071540 24017914,25150,50095,7514021000071190 24018115,75149,50094,2514021000071610 25020025150008514021000077000 250 11093,3036,602800 00100800

10 Le variabili duali w rappresentano i “prezzi ombra”, ovvero i prezzi minimi a cui bisogna vendere le risorse per mantenere invariato il profitto. I prezzi ombra sono validi fino a quando non viene cambiata la base ottima (quando ciò avviene devono essere ricalcolati). Quando un vincolo è attivo la risorsa ad esso associata è scarsa. La variabile duale corrispondente, a meno di degenerazione, sarà diversa da zero. Se invece la risorsa è abbondante sicuramente la variabile duale ad essa associata è nulla. Riassumento