Esercitazioni su testi d’esame A cura di Gabriella della Pietra.

Presentazione sul tema: "Esercitazioni su testi d’esame A cura di Gabriella della Pietra."— Transcript della presentazione:

1 Esercitazioni su testi d’esame A cura di Gabriella della Pietra

2 Esame di statistica di base di Giugno 2010 Argomenti: Variabilità assoluta Variabilità relativa(concentrazione) Regressione Applicazioni della curva normale

3 Si è svolta un'indagine sulla classe degli studenti di statistica per sapere quanto impiegano a raggiungere la facoltà dalla propria abitazione. I dati sono raccolti nella tabella sottostante.Studiare con gli opportuni strumenti gli indici di posizione,la variabilità e la forma della distribuzione. Tempo x raggiungere facoltà n. studenti v.c.vc*nivc 2 vc 2 *n i freq. cum. 0-208410840705659270484 20-40813024306561531441165 40-6044502200193685184209 60-80187012603245832227 tot.227 6730158771215161 media29,65 media dei quad.5353,13 sqm66,89 media 2 878,98 Var Media dei quad.- media 2 4474,15 C.V.Sqm/media0,44 Sk(Media-mo)/sqm0,15 asimmetri a positiva Q1 1/4N56,75 Lq10 Σfq10 Fq184 c20 Q113,5 mediana 1/2N113,5 Lq120 Σfq184 Fq181 c20 Med.27,3 Q3 3/4N170,25 Lq140 Σfq1165 Fq144 c20 Q342,4 Moda L10 IΔ1I84 IΔ2I3 IΔ1I+IΔ2 I 87 c20 Moda19,3 Esercizio: variabilità assoluta

4 Valutare attraverso l'indice più opportuno la variabilità relativa degli introiti pubblicitari per emittente suddivisi come nella seguente tabella Esercizio: la concentrazione Emitt enti Tv Introiti pubblicita ri freq.re l. int. Rel pipi qiqi pi-qip i -p i-1 q i+ q i-1 prodot ti 13390,110,030,110,030,080,110,030,003 24610,110,040,220,070,150,110,10 0,010 5 36970,110,060,330,130,200,110,19 0,021 3 413200,11 0,440,240,200,110,360,040 515240,110,130,560,370,190,120,600,072 617980,110,150,670,520,150,110,880,098 718570,110,160,780,670,11 1,190,131 818890,110,160,890,830,060,111,510,166 919940,110,171,00 0,000,111,830,201 tot118791,00 53,851,15 0,742 Σp j  4,002,85  Σq j R gini =0,288366024 R trapezi =0,257736341

5 La tabella seguente riporta la distribuzione delle età di 10 nonni e dei rispettivi 10 nipoti estratti da una data popolazione Esercizio: la regressione Tot. Calcolare i coefficienti di regressione e l’intercetta della retta di regressione per y dipendente da x e per x dipendente da y; determinare l’indice di determinazione lineare ed il coefficiente di correlazione

6 Si assume che la lunghezza del petalo, in una popolazione di piante appartenenti alla specie x, sia una variabile distribuita normalmente con media di 3,2 cm e deviazione standard di 1,8 cm. Qual è sarà la proporzione di piante con una lunghezza del petalo: a) Maggiore di 4,5 cm?b) Maggiore di 1,78 cm?c) Tra 2,9 e 3,6 cm? Esercizio: la curva normale A)Z=(4,5-3,2)/1,8=0,72 ; area =0,77 da cui p=1-0,77=0,23 B) Z=(1,78-3,2)/1,8=-1,78; Area=0,78 per la simmetria della curva p=0,78 C) Z1=(2,9-3,2)/1,8=-0,16; area=0,56 Z2=(3,6-3,2)/1,8=0,22; area=0,59 P=0,59-0,56=0,03 3,24,5 x z 0(x-μ)/σ=0,72 +∞-∞ 3,2 x z 0 (x-μ)/σ=-1,78 +∞-∞ 1,78 3,2 x z 0(x-μ)/σ=0,22 +∞-∞ (x-μ)/σ=-0,16 2,93,6

7 Esame di Statistica - Luglio2010 Argomenti: 1.Indipendenza assoluta 2.Regressione 3.Variabilità assoluta e relativa 4.Curva normale

8 Su una popolazione di 140 individui si sono rivlevate le distribuzioni congiunte delle modalità dei caratteri colore degli occhi e colore dei capelli.mediante l'indice più opportuno studiare l'associazione fra questi ultimi. Commentare i risultati frequenze teoriche bluverdicastanineritot biondi7,50 11,508,5035 rossi10,07 15,4411,4147 mori12,43 19,0614,0958 tot30 4634140 contingenze bluverdicastanineri biondi2,508,50-3,50-7,50 rossi1,93 0,56-4,41 mori-4,43-10,432,9411,91 CONTINGENZE 2 bluverdicastanineri biondi6,2572,2512,2556,25 rossi3,72 0,3119,49 mori19,61108,768,66141,95 CONTINGENZE 2 /n ij bluverdicastanineritot biondi0,839,631,076,6218,15 rossi0,37 0,021,712,47 mori1,588,750,4510,0820,86 tot2,7818,751,5418,4041,48 χ 2 =41,48φ2=φ2=0,30 Esiste un basso grado di associazione Esercizio: indipendenza assoluta (chi quadro) bluverdicastanineritot biondi10168135 rossi121216747 mori82222658 tot30304634140

9 Volendo costruire un modello che spieghi il Peso (espresso in kg) in funzione dell’Altezza (espressa in cm) si è osservato un campione di n = 10 studenti della facoltà di Economia; i dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente 1)Individuare la retta di regressione con x esplicativa e y dipendente; 2)calcolare l’indice di determinazione lineare; 3)calcolare il coefficiente di correlazione. Commentare brevemente i risultati Covxy=-3,22 varx=39,56 vary=64,94 bxy=-0,0814 axy=94,9 Y=94,9-0,0814X; byx=-0,05; R2=0,004; r=-0,063 Esercizio: la regressione

10 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato annuo in milioni di vecchie lire Fatturato Aziend e a.c.vcvc*frvc 2 vc 2 *fr fr.cu m d.f. 3005002020040080001600003200000204000 5008004530065029250422500190125006513500 80015005670011506440013225007406000012139200 1500200050500175087500306250015312500017125000 tot171 1891504967500249397500 Studiare attraverso gli opportuni strumenti la forma, la variabilità assoluta e la variabilità relativa della distribuzione.Commentare brevemente i risultati. media1106,14media 2 1223546,48σ484,68 media quad 1458464,91σ2σ2 234918,44c.v.0,44 sk0,82 ASIMMETRIA POSITIVA Q1 1/4N42,75 Lq1500 Σfq120 Fq145 a300 Q1651,33 mediana 1/2N85,5 Lq1800 Σfq165 Fq156 a700 me1050 Q3 3/4N128,25 Lq11500 Σfq1121 Fq150 a500 Q31572,5 Moda L1500 Δ1Δ1 25 Δ2Δ2 11 Δ 1 +Δ 2 36 a300 Moda708,33 Classi fattur.Freq.v.c.fr.relPiintensitàintens.rel.QiP i -Q i P i -P i-1 Q i +Q i-1 prodotti 300500204000,12 80000,04 0,070,120,040,00495 500800456500,260,38292500,150,200,180,260,240,06295 80015005611500,330,71644000,340,540,170,330,730,24048 150020005017500,291,00875000,461,000,000,291,540,44953 tot171 2,20189150 0,431,002,550,75792 R gini 0,36 R trapezi 0,24208 Esiste un basso grado di concentrazione Esercizio: variabilità assoluta e relativa

11 Esercizio: applicazioni della curva normale Supponendo che i quozienti d’intelligenza (Q.I.) siano distribuiti normalmente in una popolazione definita con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione della popolazione avrà un Q.I a)minore di 90? b) maggiore di145? c)compreso tra 120 e 140? a) z=(90-100)/15P(x<90)= P(z<0,666)=0,2524 25,24% b) z=(145-100)/15P(x>145)= P(z>3)=0,00135 0,13% c) z 1 =(120-100)/15=1,333 z 2 =(140-100)/15=2,666 P(120<QI<140)= P(1,333<z<2,666)=(0,0912- 0,0038)=0,0873;8,73% 10090 x z 0 (x-μ)/σ=-0,66 +∞-∞ 100 x z 0 (x-μ)/σ=3 +∞-∞ 145 100 x z 0 (x-μ)/σ=2,666 +∞-∞ (x-μ)/σ=1,333 120 140

12 Esame di statistica di base- sessione di novembre 2009 Argomenti 1.Variabilità assoluta e relativa 2.Regressione 3.Applicazioni della curva normale 4.Domande di teoria a risposta chiusa

13 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato annuo in milioni di euro FatturatoAziendevcvc*n ì vc²vc² * nifr.relfr. cumfr.decID.F xini 3008005055027.500302.50015.125.0000,2550200500,000,10 8001500801.15092.0001.322.500105.800.0000,40130150700,000,11 15003000402.25090.0005.062.500202.500.0000,2017070 1.500,0 00,03 30005000304.000120.00016.000.000480.000.0000,1520030 2.000,0 00,02 tot 200329.500803.425.0001,00 Media1.647,50 Media²2.714.256,25 Media dei quad.4.017.125,00 Var1.302.868,75 Sqm1.141,43c.v.0,69 mediana1237,50Q1550Q32.250 N/2100N/4503/4N150 L1800L150L11.500 Σni50Σni0 130 Fr.mediana80Fr.q150Fr.Q340 c700c500c1.500 Moda1.100 L1800 Δ130 Δ240 Δ 1 +Δ 2 70 c700 classiaziendefr.relPivaloriaziendeIntens.Int. Parz.QiQi+Qi-1Pi-Pi-1(Pi-Pi-1)* aziendecentraliparzialirelative(Qi+Qi-1) 300800500,25 5505027.5000,08 0,270,02 8001.500800,400,651.1508092.0000,280,360,450,360,16 1.5003.000400,200,852.2504090.0000,270,641,080,130,14 3.0005.000300,151,004.00030120.0000,361,001,640,150,25 0,001,00000,001,002,000,090,18 Tot.2001,00329.5001,000,75 R trapezi=1 - 0,75=0,25 Misurare la variabilità assoluta e relativa con gli opportuni strumenti; determinare la percentuale di aziende con un fatturato superiore a 800 milioni e inferiore a 3 miliardi annui. Esercizio: variabilità assoluta e relativa

14 MEDIA1.647,50 SQM1.141,43 X1800,00 X23.000,00 z 1= =-0,74 Area corrispondente=0,2704%= area a sinistra di -0,74 = 0,5 - 0,2714=0,2296 Z2=Z2=1,18 Area corrispondente=0,3810% = 0,3810+0,50=0,881 0 1647,50800 -0,74 0 1647,50 3000 1,18 Determinare la percentuale di aziende con un fatturato superiore a 800 milioni e quella inferiore a 3 miliardi annui. -∞+∞ Utilizzo la tavola che attraverso la funzione di densità, indica l’area sottesa alla curva compresa fra 0 e z. Prendo quindi in considerazione solo metà della figura che avrà, di conseguenza, un’area pari ad ½. -∞+∞ x z x z area cercata Area da sottrarre area cercata Area da aggiungere Area corrispondente a z su tavola

15 XiYiXi*YiX²X² Y²Y² 16036,81 5.889,6025.600,001.354,98 15234,95 5.312,4023.104,001.221,50 2616,65 1.735,6568.121,0044,22 516110,00 56.760,00266.256,0012.100,00 12032,18 3.861,6014.400,001.035,55 10216,30 1.662,6010.404,00265,69 29274,68 21.806,5685.264,005.577,10 14022,00 3.080,0019.600,00484,00 479106,74 51.128,46229.441,0011.393,43 42485,85 36.400,40179.776,007.370,22 2.646526,16 187.637,27921.966,0040.846,70 Var x =M(X)² -(Mx)²22.183,44 Var y =M(Y)² -(My)²1.316,23 Cov (xy) =M(XY) - MxMy4.841,53 bxy =Cov (xy) =0,2182 Var x axy =My - bxyMx-5,13 byx =Cov (xy) =3,68 Var y ayx =My - Mxbyx-920,67 R ² = 0,8028 0 r 0,90 Data la seguente tabella determinare 1.I parametri delle rette di regressione 2.L’indice di determinazione lineare 3.Il coefficiente di correlazione lineare Esercizio: la regressione

16 % dei casi minori di 90 Z130130-140-1,77area0,4616 % a sinistra di - 1,77 è uguale a 0,5- 0,46160,04 5,66 % dei casi minori di 125 Z125125-140-2,65area0,4960 % a sinistra di -2,65 è uguale a 0,5-0,49600,00400 5,66 % dei casi compresi tra 125 e 155 Z155 155- 1402,65area0,4960 % compresa tra 125 e 155 è uguale a 0,4960+0,49600,99 5,66 Determinare la percentuale dei casi di un fenomeno distribuito normalmente con µ= 140 e σ 2 =32 Esercizio: applicazioni della curva normale 14090 x z 0(x-μ)/σ=-1,77 +∞-∞ area cercata +∞-∞ 140 x z 0 (x-μ)/σ=-2,65 +∞-∞ 125 140 x z 0 (x-μ)/σ=2,65 +∞-∞ (x-μ)/σ=-2,65 125 155 area cercata