© 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 I STITUTO T ECNICO SECONDO BIENNIO T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’ Informazione Sistemi.

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1 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 I STITUTO T ECNICO SECONDO BIENNIO T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’ Informazione Sistemi di numerazione G IORGIO P ORCU www.thegiorgio.it

2 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Sommario Sistemi posizionali  Sistema di numerazione in Base n  Sistema Binario (BIN)  Sistema Ottale (OCT)  Sistema Esadecimale (HEX)  Scrivere i primi numeri in Base n Notazione posizionale  Notazione posizionale  Conversione Base n  DEC: Notazione posizionale 2

3 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione 3 Sistemi posizionali Base 2 (BIN) Base 8 (OCT) Base 16 (HEX) Base 10 (DEC)

4 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Per codificare i numeri nel computer scegliamo una rappresentazione funzionale al modo fisico in cui sono memorizzati e che ci consenta di elaborarli Poiché i componenti fisici sfruttano stati binari scegliamo il sistema di numerazione binario Nel sistema di numerazione binario è possibile eseguire gli stessi calcoli del sistema decimale attraverso dispositivi elettronici Rappresentazione dei Numeri 4

5 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Sistema di numerazione che utilizza le due sole cifre 0 e 1. E’ detto anche in Base 2 (BIN). 0000 0101 1002 1103 Binario (BIN)Decimale (DEC) 5 Sistema Binario (BIN)

6 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Nel sistema binario ogni numero è una sequenza di bit. I primi numeri e i corrispondenti decimali sono: BINDECBINDEC 0010008 1110019 102101010 113101111 1004110012 1015110113 1106111014 1117111115 6 Sistema Binario: primi numeri

7 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Il Sistema binario è un esempio di Sistema di numerazione, una modalità di rappresentazione dei numeri che garantisce la possibilità di eseguire calcoli in modo efficiente Esistono molti Sistemi di numerazione. I più utilizzati sono detti in Base n e presentano due caratteristiche di base:  Utilizzano n cifre (simboli) per creare numeri  Sono posizionali: le cifre hanno un peso diverso a seconda della posizione occupata nel numero 7 Sistema di numerazione

8 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Modalità di rappresentazione dei numeri che utilizza esattamente n cifre (con n>1) Utilizza le prime cifre arabe (0, 1, 2, …) I numeri sono sequenze posizionali di cifre Il più utilizzato, nella vita di tutti i giorni è il sistema decimale (Base 10, DEC)  10 Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Un numero espresso in base n si indica col pedice n:  36 10  36 in Base 10  101 2  101 in Base 2 8 Sistema di numerazione in Base n

9 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Esistono sistemi di numerazione non posizionali, oggi poco utilizzati ma importanti in epoche passate. Un classico esempio sono i sistemi di numerazione additivi (o sottrattivi) come i numeri romani. In essi ogni cifra non ha un peso dipendente dalla posizione ma aggiunge o sottrae valore alle cifre precedenti o successive:  IX : Sottraggo 1 (I) alla cifra successiva 10 (X): 10-1=9 10  VIII : Aggiungo 3 (III) alla cifra precedente 5 (V): 5+3=8 10 Anche il Sistema di numerazione in Base 1 è additivo.  111: Tre volte 1: 1+1+1=3 10 9 Sistema di numerazione additivo

10 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Scrivere un numero in base 2 come effettivamente è memorizzato sul computer può essere lungo e tedioso… In informatica si usano quindi anche altre basi (potenze di 2) che consentono:  Una rappresentazione più compatta per l’utente  Un passaggio da e per la base 2 con regole semplici Le basi più utilizzate sono:  Base 8 (Ottale, OCT)  Base 16 (Esadecimale, HEX) 10 Sistemi di numerazione in Informatica

11 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Sistema di numerazione che utilizza le otto cifre 0,…,7. E’ detto anche in Base 8 (OCT). 00 01 Ottale (OCT)Decimale (DEC) 11 Sistema Ottale (OCT) 02 03 04 05 06 07 00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 08 09 10 11 Ottale (OCT)Decimale (DEC)

12 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Sistema di numerazione che utilizza le dieci cifre 0,…,9 più le lettere A,…,F. E' detto anche in Base 16 (HEX). 00 01 Esadecimale (HEX)Decimale (DEC) 12 Sistema Esadecimale (HEX) 02 03 04 05 06 07 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Esadecimale (HEX)Decimale (DEC) 0A 0B 0C 0D 0E 0F 08 09 10 11 12 13 14 15

13 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione In Base 16 (HEX), poiché le 10 cifre arabe 0,…,9 non sono simboli sufficienti alla codifica, si usano anche le lettere A,…,F per esprimere i numeri corrispondenti ai decimali 10,…,15. 13 Sistema Esadecimale (HEX) Esadecimale (HEX)Decimale (DEC) 0A 0B 0C 0D 0E 0F 10 11 12 13 14 15

14 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione E' importante conoscere un metodo pratico per scrivere ordinatamente i primi numeri in una qualsiasi Base n, e rapportarli con i corrispondenti in Base 10. Possiamo individuare due tecniche:  Elencazione per riga Elenco uno per volta i numeri partendo da lunghezza 1 e cifra 0 (minor valore) seguendo la stessa strategia dei decimali  Elencazione per colonna Sfrutto alcune proprietà delle cifre che si ripetono in colonna in maniera ordinata 14 Scrivere i primi numeri in Base n

15 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Per entrambe le tecniche, consideriamo i numeri come elencati su una griglia (matrice) di righe e colonne. Le Colonne sono numerate da 1 (Colonna più a dx) in poi (Colonne successive a sx). 15 Matrice delle cifre 1 Colonna 1 Colonna 2 Colonna 3 In ogni cella inserisco una sola cifra Riga 1 Riga 2

16 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Inizio a scrivere numeri di 1 cifra sulla Colonna 1 utilizzando in ordine tutte quelle a disposizione Passo a scrivere numeri di 2 cifre:  Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 2  Riportando le cifre precedenti sulla Colonna 1 Passo a scrivere numeri di 3 cifre:  Cambiando le cifre in ordine sulla Colonna 3  Riportando le cifre precedenti sulle Colonne 1 e 2 con eventuali zeri iniziali In pratica, uso la stessa regola "naturale" per elencare i numeri decimali adattata alla Base n. 16 Elencazione per riga

17 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Elenco per riga i primi numeri in Base 2 (n = 2): 17 Elencazione per riga: Esempio 00 01 10 11 00 01 10 11 0 0 0 0 1 1 1 1 Uso 1 cifra Scrivo le 2 cifre in ordine sulla Colonna 1 Uso 2 cifre Mi sposto sulla Colonna 2 cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in ordine sulla Colonna 1 Uso 3 cifre Mi sposto sulla Colonna 3 cambiando la cifra Ripeto le precedenti cifre in ordine sulle Colonne 1 e 2 Aggiungo zeri iniziali Per avere numeri a lunghezza fissa e riportare le cifre precedenti

18 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Osservo che in un elenco ordinato di numeri in Base n:  Le cifre nella Colonna 1 cambiano a ogni riga  Le cifre nella Colonna 2 cambiano ogni n righe (gruppi di n righe)  Le cifre nella Colonna 3 cambiano ogni n 2 righe (gruppi di n 2 righe)  In generale le cifre in Colonna m cambiano ogni n m-1 righe (gruppi di n m-1 righe) 18 Elencazione per colonna

19 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Elenco per colonna i primi numeri in Base 2 (n = 2): 19 Elencazione per colonna: Esempio 00 01 10 11 00 01 10 11 0 0 0 0 1 1 1 1 Colonna 1 cambia ogni riga Colonna 2 cambia ogni 2 righe Colonna 3 cambia ogni 2 2 = 4 righe

20 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione 20 Notazione posizionale 101 = 2 2 1 · 2 2 + 2 1 0 · 2 1 2 0 1 · 2 0 + 012Potenza 2

21 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione I sistemi di numerazione in Base n utilizzano una notazione posizionale: Ogni cifra ha peso diverso in base alla posizione nel numero. Ad esempio 123 10 : 123 Centinaia Decine Unità Verso DX Peso minore  Verso SX  Peso maggiore x 100 Peso ‘100’ x 10 Peso ’10’ x 1 Peso ‘1’ 10 Il pedice indica la base del numero 21 Notazione posizionale (1/3)

22 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Possiamo scrivere il numero come somma delle cifre moltiplicate per il peso: 123 Peso minore  Peso maggiore = 100 1 · 100 + 10 2 · 10 1 3 · 1 + 10 2 1 · 10 2 + 10 1 2 · 10 1 10 0 3 · 10 0 + Il peso è esprimibile come potenza di 10 (Base del numero di partenza) 10 22 Notazione posizionale (2/3)

23 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Con la stessa tecnica possiamo rappresentare numeri di qualsiasi Base n. Ciò che cambia è il peso, espresso come potenza di n. Ad esempio 101 2 101 = 221 · 22221 · 22 + 210 · 21210 · 21 2 0 1 · 2 0 + 41 · 441 · 4 + 20 · 220 · 2 1 1 · 1 + 2 = Ricorda… un numero elevato zero da come risultato 1 Peso minore  Peso maggiore 23 Notazione posizionale (3/3) 012 Potenza

24 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Se eseguiamo la somma nell’esempio precedente otteniamo il corrispondente in Base 10 del numero binario di partenza! 101 = 2 2 1 · 2 2 + 2 1 0 · 2 1 2 0 1 · 2 0 + 4 1 · 4 + 2 0 · 2 1 1 · 1 + 2 = = 4 + 1 = 5 10 24 Conversione BIN  DEC Peso minore  Peso maggiore 012 Potenza

25 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione Il risultato ottenuto ci porta a definire un metodo per trasformare un numero da Base 2 in Base 10: Metodo della notazione posizionale (BIN  DEC) Espandere il numero binario in notazione posizionale (con pesi: potenze di 2) e svolgere i calcoli. 25 Conversione BIN  DEC

26 © 2015 Giorgio Porcu - Aggiornamennto 01/12/2015 T ECNOLOGIE E P ROGETTAZIONE Rappresentazione dell’informazione Sistemi di numerazione La notazione posizionale è valida per esprimere qualsiasi numero in Base n, non solo in Base 2. Abbiamo trovato una metodo generale per trasformare un numero da Base n in base 10: Metodo della notazione posizionale (generale) Espandere il numero in Base n in notazione posizionale (con pesi: potenze di n) e svolgere i calcoli. 26 Conversione Base n  DEC