Bird Stewart Lightfoot Transport phenomena John Wiley & Sons, Inc

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1 Bird Stewart Lightfoot Transport phenomena John Wiley & Sons, Inc
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Introduzione Materiale didattico Bird Stewart Lightfoot Transport phenomena John Wiley & Sons, Inc S. Middleman “An Introduction to mass and heat transfer” John Wiley & Sons, Inc. S. Middleman “An Introduction to Fluid Dynamics” John Wiley & Sons, Inc. Lucidi ed esercizi sul sito web (Fabio Murena)

2 I meccanismi di trasporto del calore
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Introduzione I meccanismi di trasporto del calore Il trasporto di calore è sempre associato ad una differenza di temperatura e va (senza lavoro esterno) dalla T maggiore verso la T minore. Esistono tre meccanismi di trasporto di calore 1 Conduzione (trasporto attraverso solidi o fluidi fermi) trasmissione attraverso urti molecolari senza un trasporto netto di materia 2 Convezione (trasporto all’interno di una fase fluida in moto o tra un solido ed un fluido in moto) è associato ad un trasporto netto di materia 3 Irraggiamento (trasporto tra superfici che si “vedono” ma non sono a contatto) avviene attraverso l’emissione di radiazioni che attraversano lo spazio presente fra i corpi

3 Dimensioni delle grandezze di interesse
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Dimensioni delle grandezze di interesse Quello che vogliamo calcolare in genere è Q la portata termica o potenza termica trasmessa per conduzione Q = Potenza trasmessa q = Flusso termico (= potenza termica per unità di superficie) q = Q/S oppure Q = q S (S= superficie) Quindi le dimensioni sono Q = energia(lavoro) x tempo-1 = forza x spostamento x tempo-1 = (MLt--2) (L)(t-1) = ML2t—3 q = energia(lavoro) x tempo-1 x superficie -1 = energia(lavoro) x tempo-1 x lunghezza -2 = ML2t-3L-2 = Mt-3

4 Unità di misura delle grandezze di interesse
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Unità di misura delle grandezze di interesse Le unità di misura sono: SI cgs altro Q [=] W  J s erg s-1 cal s-1 (kcal hr-1) q [=] W m-2  J s-1 m erg s-1 cm-2 cal s-1 m (kcal hr-1 m-2) Fattori di conversione W  erg s x W  cal s x 0.239 W m-2  erg s-1 cm-2 x W m-2  cal s-1 cm-2 x 2.3910-5 relazioni inverse cal s-1  W x 4.185

5 S = superficie ortogonale a x
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Legge di Fourier qx = flusso termico nella direzione x (portata di calore o energia per unità di superficie) dT/dx = gradiente termico k = conducibilità termica (coefficiente di proporzionalità) z La portata di calore o potenza termica trasmessa è x y S = superficie ortogonale a x

6 Conduzione attraverso una superficie piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Introduzione Conduzione attraverso una superficie piana Il flusso termico può avvenire nelle tre direzioni. In un mezzo isotropico è: Coordinate cartesiane in forma vettoriale

7 Conducibilità termica: dimensioni e unità di misura
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Conducibilità termica: dimensioni e unità di misura Le dimensioni della conducibilità termica k sono: k [=] [energia / (tempo x superficie) ]x (lunghezza /temperatura) k [=] M L t-3 T-1 Le unità di misura della conducibilità termica k sono: SI cgs altro k [=] Wm-1 K erg s-1cm-1K-1 Kcal h-1m-1K-1 Fattori di conversione Wm-1K-1  Kcal h-1m-1K-1 moltiplicare x Kcal h-1m-1K-1  Wm-1K-1 moltiplicare x 1.163

8 Valutazione di k k = f (materiale, temperatura, pressione (gas))
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Valutazione di k k = f (materiale, temperatura, pressione (gas)) materiali isolanti ( k basso) materiali conduttori ( k alto) I valori di k si trovano da: Tabelle Kreith (sito web) Tabelle Perry 7a (2-367 ; ; da a 2-380) Diffusività termica  [=] L2/t ad esempio cm2/s  [≡]  = / viscosità cinematica

9 Ordine di grandezza della conducibilità termica k
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Ordine di grandezza della conducibilità termica k W/m °C Gas a P atmosferica 0.007 – 0.17 Materiali isolanti 0.034 – 0.21 Liquidi non metallici 0.087 – 0.7 Solidi non metallici (mattoni, cemento …) 0.034 – 2.3 Leghe metalliche 14 – 420

10 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione
Bilancio di energia

11 Scrittura del bilancio di energia per diverse geometrie
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Introduzione Scrittura del bilancio di energia per diverse geometrie cartesiana cilindrica sferica Pareti piane Lastre Parallelepipedi Pareti cilindriche (tubi) Cilindri (cavi, fili, barre) Pareti sferiche (serbatoi) Catalizzatori

12 Coordinate cartesiane
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione Monodimensionale Stazionaria Geometria piana z P Coordinate cartesiane z y x y x

13 Conduzione attraverso una superficie piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione Monodimensionale Stazionaria Conduzione attraverso una superficie piana In genere il flusso termico può avvenire in tutte le direzioni. In un mezzo isotropico (k indipendente dalla direzione) e geometria cartesiana sarà quindi: in forma vettoriale Flusso monodirezionale (T costante con y e z) x y

14 Scrittura del bilancio di energia in geometria piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Scrittura del bilancio di energia in geometria piana Occorre prima definire un volume di controllo e identificarne le superfici che lo delimitano. Il bilancio si scrive sul volume di controllo I termini di un bilancio sono in genere: IN – OUT + GEN = ACC IN = velocità di ingresso energia termica OUT = velocità di uscita energia termica GEN = velocità di generazione energia termica ACC = velocità di accumulo energia termica Oppure: IN = energia termica entrata tra t e t+t OUT = energia termica uscita tra t e t+ t GEN = energia termica generata nel volume di controllo nell’intervallo t ACC = energia termica nel volume di controllo al tempo t+ t – en. termica al tempo t Si dividono poi tutti i termini per t e si fa tendere t  0 Termini per unità di tempo ≡ velocità

15 Scelta del volume di controllo
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Scelta del volume di controllo Il volume di controllo deve essere scelto in modo tale che tutte le grandezze al suo interno siano uniformi. Ossia assumano il medesimo valore in tutto il volume Quando all’interno di un materiale o corpo le grandezze variano nello spazio (variano con le coordinate spaziali) allora è necessario definire un volume di controllo differenziale. Un volume di controllo differenziale può avere da una a tre coordinate differenziali. Si prendono differenziali solo quelle dimensioni del volume di controllo strettamente necessarie (nelle quali variano le grandezze di interesse) le altre vengono prese pari alla dimensione dell’intero volume in oggetto

16 Scelta del volume di controllo : esempio geometria cartesiana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Scelta del volume di controllo : esempio geometria cartesiana T varia con z dV=WLdz T varia con y dV=LHdy z z dz H L y y W x x dy T varia con x,y,z dV = dxdydz

17 Bilancio di energia in parete piana (geometria cartesiana)
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete piana (geometria cartesiana) BILANCIO  IN – OUT + GEN = ACC Ipotesi: flusso solo nella direzione x; GEN=0 ; ACC=0; k costante con T VOLUME DI CONTROLLO (S • dx) (volume differenziale) Ty T0 qx TL x x+dx x B.C. L

18 Bilancio di energia in parete piana
Fenomeni di Trasporto II – Trasporto di calore -Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete piana Ty T0 qx x= C2 = T0 x=L C1 =(TL-T0)/L TL x x+dx x=L Il profilo di T è lineare

19 Bilancio di energia in parete piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete piana Ty Il profilo di T è lineare T0 La potenza termica trasmessa è quindi TL x x+dx x L Ipotesi: GEN=0; ACC=0; k= costante; sezione costante

20 Coordinate cilindriche
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Conduzione Monodimensionale Stazionaria Geometria cilindrica P Coordinate cilindriche z z y r x 

21 Componenti del flusso in coordinate cilindriche
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Componenti del flusso in coordinate cilindriche z qz qq q Q P qr r

22 Geom. Cilindrica: come si ricava la componente q del flusso
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Geom. Cilindrica: come si ricava la componente q del flusso q dq

23 Conduzione attraverso una superficie cilindrica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Conduzione Monodimensionale Stazionaria Conduzione attraverso una superficie cilindrica Anche in questo caso in forma vettoriale il flusso di calore è dato da: In caso di conduzione solo lungo r (la T varia solo con il raggio) N.B S = 2prz

24 Bilancio di energia in parete cilindrica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete cilindrica z IN –OUT+GEN=ACC R1 R0 r r+dr hp: conduzione solo radiale, Gen=0; Acc=0; k=cost. Volume di controllo H y costante r  x

25 Bilancio di energia in parete cilindrica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore -Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete cilindrica z B.C. H r r+dr r R0 R1 N.B. Il profilo di temperatura è logaritmico Poichè deve essere costante il prodotto rdT/dr si ha un gradiente maggiore in corrispondenza della superficie cilindrica interna (raggio minore)

26 Geometria sferica z P Coordinate sferiche  r y x 
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Geometria sferica z P Coordinate sferiche  r y x 

27 Componenti del flusso in geometria sferica
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Componenti del flusso in geometria sferica qq r z qr P q  y x 

28 Geom. sferica: come si ricava la componente f del flusso
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Geom. sferica: come si ricava la componente f del flusso z  P r senq r y dl=rsenqdf d x dl 

29 Conduzione attraverso una superficie sferica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Conduzione attraverso una superficie sferica Anche in questo caso in forma vettoriale il flusso di calore è dato da: In caso di conduzione solo lungo r (la T varia solo con il raggio) y r x

30 hp: conduzione solo radiale, Gen=0; Acc=0; k=cost
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilancio di energia in parete sferica (guscio sferico) R0 R1 IN –OUT+GEN=ACC hp: conduzione solo radiale, Gen=0; Acc=0; k=cost Volume di controllo = r

31 Bilanci di energia: riepilogo
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Bilanci di energia: riepilogo hp: conduzione monodimensionale, Gen=0; Acc=0; k=cost Parete piana Parete cilindrica Parete sferica

32 Conduzione: approssimazione a lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Conduzione Monodimensionale Stazionaria Conduzione: approssimazione a lastra piana hp: conduzione monodimensionale, Gen=0; Acc=0; k=cost Se assimiliamo una parete cilindrica o sferica a lastra piana si commette un errore tanto più piccolo quanto più R1  R0 Sol. esatta per parete cilindrica approssimazione a lastra piana rapporto esatta/approx. (R1-R0)/R0ln(R1/R0) rapporto esatta/approx. Sol. esatta per parete sferica approssimazione a lastra piana R1/R0

33 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione K(T)
Bilanci di energia: effetto della variazione della conducibilità termica con T

34 Conducibilità termica variabile con T
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione K(T) Conducibilità termica variabile con T La conducibilità varia in genere con la temperatura in modo però diverso tra le diverse sostanze. Per i solidi ed i liquidi k può crescere o decrescere con T Per i gas ideali (Pr  0 Tr >> 1) k cresce con la temperatura (Fig Bird) così come la viscosità. Quando non è possibile considerare k costante è sufficiente, in molti casi pratici, assumere una dipendenza lineare

35 Conducibilità termica variabile con T
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione K(T) Conducibilità termica variabile con T Ipotesi: ACC=0; GEN=0; k varia linearmente con T Qx H W L x k a T media km= k a T media

36 Conducibilità termica variabile con T: parete cilindrica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione K(T) Conducibilità termica variabile con T: parete cilindrica z Ipotesi: Acc=0; GEN=0 Qr H y  r x km= k a T media

37 Conducibilità termica variabile con T
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione K(T) Conducibilità termica variabile con T Conclusioni Nel calcolo della potenza termica Q se k dipende da T si può calcolare Q con le stesse formule ottenute per k costante utilizzando il valore di k valutata alla T media

38 Bilanci di energia con generazione di calore
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Bilanci di energia con generazione di calore

39 Sistemi con generazione di calore GEN≠0: lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0: lastra piana Ipotesi: lastra piana; k costante flusso monodimensionale stazionario GEN≠0 ed omogenea IN-OUT+GEN=0 Generazione specifica Profilo di T non lineare

40 Sistemi con generazione di calore GEN≠0 Lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0 Lastra piana x x x=0 x=0 x=2B x=+/-B verifica verifica

41 Sistemi con generazione di calore GEN≠0: lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0: lastra piana Per simmetria la T massima/minima si ha sul piano di simmetria della lastra. La simmetria dipende dalla imposizione della BC della stessa T sulle 2 facce e dalla omogeneità della generazione. x

42 Sistemi con generazione di calore GEN≠0
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0 Tz Lastra piana con generazione uniforme Profilo di T parabolico x = -B x=B x

43 Sistemi con generazione di calore GEN≠0
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0 Ipotesi: cilindro pieno, flusso radiale (monodimensionale stazionario) GEN≠0 ed uniforme z Qr H y  r x Profilo di T parabolico

44 Sistemi con generazione di calore GEN≠0
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Sistemi con generazione di calore GEN≠0 Tz Cilindro con generazione uniforme Tr=0 TR r R r

45 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore
Trasporto di calore per conduzione in caso di resistenze in serie: parete composta

46 Conduzione attraverso pareti composte
Fenomeni di Trasporto II – Conduzione Conduzione attraverso pareti composte T0 T1 T2 T3 In genere sono note le T alle estremità (T0 e T3) e si vuole calcolare la potenza termica trasmessa

47 Conduzione attraverso pareti composte
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione attraverso pareti composte La potenza termica trasmessa attraverso ogni stadio è In condizioni stazionarie In ogni equazione abbiamo almeno 2 incognite!

48 Conduzione attraverso pareti composte
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione attraverso pareti composte Operiamo in modo da eliminare dall’equazione le T intermedie incognite A secondo membro si lasciano le sole forze spingenti Sommando membro a membro, a destra si annullano le T intermedie Questa equazione ha una sola incognita Q!

49 Trasporto di calore: pareti composte
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore: pareti composte Abbiamo ottenuto Per cui risulta: Si definisce un coefficiente globale di scambio U

50 Trasporto di calore: pareti composte Sommatoria delle resistenze
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore: pareti composte Abbiamo definito U ha le stesse dimensioni di k/L Sommatoria delle resistenze

51 Tutte le resistenze sono dello stesso ordine di grandezza
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Resistenze in serie Tutte le resistenze sono dello stesso ordine di grandezza Caso A Una resistenza è trascurabile se Caso B Una resistenza è controllante se Caso C

52 Si può definire più di un coefficiente U
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore: resistenze in serie - parete cilindrica Si può definire più di un coefficiente U

53 Trasporto di calore: resistenze in serie - parete sferica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore: resistenze in serie - parete sferica r3 r2 r1 r0

54 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore
Transitorio termico

55 Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Ipotesi: lastra piana; k costante flusso monodimensionale GEN=0; ACC≠0 IN-OUT=ACC L’energia termica al tempo t la scriviamo come L’accumulo sarà Per lastra piana flusso monodimensionale lungo x r e cp costanti

56 Si dividono entrambi i membri per
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Il bilancio è quindi ACC=IN-OUT Si dividono entrambi i membri per

57 Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana ottenendo Equazione della conduzione monodimensionale in transitorio Diffusività termica

58 In seguito utilizzeremo altre BC !
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Profilo al tempo t in caso di accumulo negativo Bilancio di energia Le condizioni al contorno che ipotizziamo sono: t = 0 T = T uniforme x = 0 dT/dx = 0 (simmetria) x = +/- B T=T1 T0 In seguito utilizzeremo altre BC ! B= semi spessore della lastra

59 Lastra piana: transitorio soluzione analitica
Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore_transitorio Lastra piana: transitorio soluzione analitica Un corpo solido che occupa lo spazio compreso tra y=-b e y=+b si trova alla T=T0 Al tempo t=0 le superfici a y=-b e y=b vengono portate a T1 e mantenute a questa T per t>0 Si vuole conoscere il profilo di T per t>0 e il flusso a y=+b e -b Si introducono le variabili L’equazione diventa La soluzione è

60 Lastra piana soluzione analitica
Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore_transitorio Lastra piana soluzione analitica L’equazione converge rapidamente per valori elevati di converge lentamente per valori bassi di esiste una soluzione analitica molto più semplice: “spazio semi infinito “tempi” brevi per

61 Profili di T (adimensionale) nella lastra coordinata adimensionale
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate Bird lastra piana Fig Tempo adim. T1=T sup esterna T0=T(t=0) Profili di T (adimensionale) nella lastra coordinata adimensionale y = 0 centro della lastra y = b superficie lastra

62 Conduzione in transitorio - soluzioni per altre geometria
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - soluzioni per altre geometria Per le altre geometrie (cilindro e sfera) esistono soluzioni analitiche carte generalizzate analoghe a quelle appena viste per lastra piana

63 Si risolve con il metodo di combinazione delle variabili
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio: Spazio semi infinito y Bilancio di energia t Spazio semi infinito t  T = T per ogni y y = T = T per ogni t >0 y   T = T per ogni t >0 xT T1 T0 Si risolve con il metodo di combinazione delle variabili

64 Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore
Trasporto di calore in solidi in transitorio: spazio semi infinito Introducendo le variabili Metodo di combinazione delle variabili Le condizioni al contorno t  T = T per ogni y y = T = T per ogni t >0 y   T = T per ogni t >0 = q = 1 =  q = 0 si assume che sia si ricava che l’equazione diventa

65 La funzione erf è tabellata o calcolata da calcolatrici e software
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio: spazio semi infinito y La soluzione è t xT T1 T0 La funzione erf è tabellata o calcolata da calcolatrici e software

66 1 per =2 risulta erf =0.995 erf  1 2  y xT
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio: spazio seminfinito soluzione valida in spazi finiti per “t  0” 1 per = risulta erf =0.995 erf  1 2  y Si può quindi definire uno spessore d per h=2 xT T1

67 Spessore di penetrazione
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio: spazio seminfinito soluzione valida in spazi finiti per “t  0” Spessore di penetrazione y d(t2) y > d(t) T non è cambiata d(t1) y < d(t) T è cambiata T T0 T1

68 Profili di T a diversi istanti di tempo
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Trasporto di calore in solidi in transitorio: applicazione a lastra piana finita t = T = T per ogni x x = +/-B T = T1 per ogni t >0 x= dT/dx=0 per ogni t >0 T1 t2 t1 T0 x t0 Profili di T a diversi istanti di tempo B Se al tempo t è  < B la soluzione vale anche per lastra piana finita per cilindro e sfera deve essere almeno  < R/2 La soluzione quindi vale anche per spazi finiti ma per “tempi brevi”

69 Metodi per la stima della conducibilità termica
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Conduzione con Generazione Metodi per la stima della conducibilità termica

70 Gas: dipendenza della conducibilità termica da T e P
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Gas: dipendenza della conducibilità termica da T e P Per sostanze monoatomiche è stato ricavato il grafico in Fig Bird Si osserva che per un gas a bassa densità ossia P 0 e quindi Pr  0 (gas ideali) la conducibilità cresce con la temperatura

71 Dipendenza della conducibilità termica da T e P
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Dipendenza della conducibilità termica da T e P Utilizzo del grafico 9.2-1 1 se conosco il valore di kc utilizzo il grafico direttamente note T e P critiche 2 se conosco il dato di k ad altra T e P, calcolo kc dal grafico e quindi ripeto il caso 1

72 k da Teoria cinetica dei gas
TCM - Trasporto di calore – Conduzione k da Teoria cinetica dei gas Molecole come sfere rigide (diametro= s); Velocità media v interagiscono solo attraverso urti elastici densità = n (moli per unità di volume)

73 Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog Tiene conto delle forze intermolecolari repulsione attrazione Diametro collisionale Potenziale di Lennard-Jones Max energia di attrazione Grafico dell’energia potenziale intermolecolare

74 Parametri del potenziale di Lennard-Jones
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Parametri del potenziale di Lennard-Jones = diametro collisionale [Angstrom] = energia caratteristica (massima energia di attrazione) [J] I valori di s e e/k sono tabellati per molte sostanze (Tab. E1 Bird Stewart Lightfoot Transport phenomena) k = costante di Boltzmann 1.38x10-23 J/K e/k [=] K

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76 Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog Dalla teoria di Chapman-Enskog si ottiene: k [=] cal/(cm s K) s [=] Å T [=] K M = peso molecolare Wk= parametro che dipende poco dalla temperatura ed è tabellato in funzione dalla temperatura adimensionale kT/e (vedi tab. E2) k cresce circa con la radice quadrata di T Vale per gas a bassa densità

77 Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Gas a bassa densità teoria di Chapman-Enskog Teoria di Chapman Enskog Teoria cinetica dei gas = diametro collisionale [Angstrom] Wk= tabellato in funzione dalla temperatura adimensionale kT/e (vedi tab. E2) I valori di s e e/k sono tabellati per molte sostanze (Tab. E1 Bird) k = costante di Boltzmann 1.38x10-23 J/K e/k [=] K

78 Tab E.2

79 Esempi di calcolo Example 9.3-1 Bird
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Esempi di calcolo Example Bird Calcolare la conducibilità termica del Neon a 1 atm e K Dalla tabella E.1 del Bird si ricavano le costanti di Lennard-Jones del Neon = Å e/K =35.7 K M = g/mole KT/e =373.2/35.7=10.45

80 Esempi di calcolo Example 9.3-1 Bird k = 1.338x10-4 cal cm-1s-1K-1
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Esempi di calcolo Example Bird Calcolare la conducibilità termica del Neon a 1 atm e K KT/e =373.2/35.7=10.45 Dalla tabella E.2 del Bird si trova Wk= 0.821 k = 1.338x10-4 cal cm-1s-1K-1 Valore sperimentale k = 1.35x10-4 cal cm-1s-1K-1

81 Conducibilità di gas poliatomici
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conducibilità di gas poliatomici 1 utilizzo della teoria di Chapman-Enskog con errore crescente al crescere del numero di atomi 2 utilizzo di fattori correttivi o di altre teorie

82 Esempi di calcolo Example 9.3-2 Bird k = 4.807x10-5 cal cm-1s-1K-1
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Esempi di calcolo Example Bird Calcolare la conducibilità termica dell’ossigeno a 300 K e bassa pressione L’ossigeno è un gas biatomico = Å e/K =113 K KT/e =300/113=2.655 M = 32 g/mole Dalla tabella E.2 del Bird si trova Wk= 1.075 k = 4.807x10-5 cal cm-1s-1K-1 k = W m-1K-1 Valore sperimentale k = W m-1K-1 Esistono formule correttive per gas poliatomici

83 Miscele di gas a bassa densità
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Miscele di gas a bassa densità La conducibilità termica di una miscela a bassa densità in genere non è una relazione lineare della frazione molare. In genere: Costituenti la mix hanno polarità molto diversa (es. metanolo n-esano) Molecole non polari (es. argon-benzene)

84 Miscele di gas a bassa densità
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Miscele di gas a bassa densità La conducibilità termica di una miscela di gas a bassa densità si calcola dalla relazione a e b indicano i diversi componenti della miscela (1,2 ... N)

85 TCM - Trasporto di calore – Conduzione
Esempi di calcolo Calcolare la conducibilità termica della miscela benzene (1) x=0.25; Argon (2) x=0.75 T=100.6 °C e P=1 bar. Dati dei puri

86 TCM - Trasporto di calore – Conduzione
Esempi di calcolo

87 TCM - Trasporto di calore – Conduzione
Esempi di calcolo

88 Esempi di calcolo Si ottiene Il dato sperimentale è
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Esempi di calcolo Si ottiene Il dato sperimentale è

89 Conducibilità nei liquidi
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conducibilità nei liquidi Nei liquidi i meccanismi della conduzione sono analoghi a quelli dei solidi. Per una stessa sostanza il passaggio dallo stato solido allo stato liquido comporta una riduzione della conduttività termica. Rispetto all’aumento di temperatura si ha dapprima un aumento e poi una diminuzione, mentre con la pressione la conduttività aumenta leggermente

90 Conducibilità nei solidi
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conducibilità nei solidi La conduttività termica nei solidi viene ad assumere in funzione della temperatura un andamento caratterizzato da un punto di massimo. In generale si può considerare che i materiali metallici e i conduttori elettrici in genere hanno conduttività termica maggiore dei dielettrici. I solidi cristallini conducono meglio degli amorfi. I solidi conducono più dei liquidi e questi più dei gas

91 Conduzione in un mezzo anisotropo
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conduzione in un mezzo anisotropo In generale tutti i solidi dotati di struttura cristallina hanno comportamento fortemente anisotropo, mentre gli amorfi approssimano meglio l’ipotesi di isotropismo. I materiali compositi possono essere anisotropi In questo caso si ha: E il flusso può essere scritto come: N.B. Non è detto che il flusso sia diretto come il gradiente della temperatura

92 Conduzione in mezzi compositi
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conduzione in mezzi compositi Un mezzo costituito da due fasi solide una dispersa nell’altra Si fa riferimento ad un volume di controllo sufficientemente più grande delle disomogeneità del solido ma sufficientemente piccolo rispetto alle dimensioni globali del volume da studiare Il mezzo viene caratterizzato dalla frazione di volume Si definisce una conducibilità effettiva (keff) del materiale composito.

93 Conduzione in mezzi compositi: sfere incluse in una matrice solida
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conduzione in mezzi compositi: sfere incluse in una matrice solida Caso di sfere di conducibilità k1 immerse in una fase solida di conducibilità k0 Si definisce una conducibilità effettiva (keff) del materiale composito. Per valori bassi di f Maxwell dimostrò che: Si utilizza anche per valori elevati di f e si trascura l’effetto della eventuale non uniforme distribuzione delle sfere MEZZO ISOTROPO

94 Il solido è anisotropo rispetto alla conduzione
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conduzione in mezzi compositi: cilindri paralleli inclusi in fase solida x y z Il solido è anisotropo rispetto alla conduzione Per inclusioni non sferiche ad esempio cilindri paralleli all’asse z, Rayleigh dimostrò che:

95 Conduzione in mezzi compositi: letti granulari
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Conduzione in mezzi compositi: letti granulari Per letti granulari ISOTROPO Per sfere gk è un fattore di forma Per terreni

96 Altri esempi di mezzi compositi
TCM - Trasporto di calore – Conduzione Altri esempi di mezzi compositi Solidi contenenti inclusioni gassose (mattoni forati) Letti granulari immersi in una fase gas Condotti cilindrici riempiti con materiale granulare attraversato da un fluido in movimento