Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto.

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1 Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/09 da Di Luca Alessia della classe 1°D del Liceo Artistico G. Misticoni di Pescara per la materia :“ Discipline geometriche ” Insegnante: Prof. Elio Fragassi LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE TRA RETTE RICERCA DEL PUNTO REALE

2 Geometria descrittiva dinamica Le intersezioni: presentazione Nel campo della geometria descrittiva le intersezioni sono operazioni grafico- geometriche che si organizzano tra gli elementi primari ed hanno come scopo la ricerca e l’ottenimento di un risultato che, a sua volta, è un nuovo elemento geometrico. Poiché con l’operazione d’intersezione si studiano e ricercano i rapporti concreti tra gli elementi, di norma il risultato di questa operazione consiste nella ricerca e caratterizzazione descrittiva di un elemento geometrico che caratterizza gli elementi stessi che entrano in relazione. Pertanto il risultato di questa operazione sarà costituito da un nuovo elemento geometrico avente le caratteristiche degli elementi che lo hanno generato. Le intersezioni possono realizzarsi tra elementi geometrici uguali o tra elementi geometrici diversi; quindi possiamo avere: a) intersezioni tra elementi uguali Intersezioni tra rette Intersezioni tra piani b) intersezioni tra elementi diversi Intersezioni tra rette e piani Nel caso delle intersezioni tra elementi uguali i risultati saranno ricercati come di seguito sviluppando semplici algoritmi grafici relativi alle differenti situazioni nel caso di rette o di piani.

3 Poiché ognuna delle rette r ed s in discussione è costituita da un insieme di punti, intersecandosi l’una con l’altra porta a ricercare ed individuare, come risultato dell’operazione, un punto che avrà le caratteristiche descrittive delle due rette d’intersezione e risponderà alla tipologia del punto come già definita in altro fascicolo Utilizzando la simbologia appropriata possiamo sintetizzare questa operazione come di seguito: r  sP P” P’ Il punto P, così individuato, deve rispondere alle leggi dell’appartenenza in quanto deve appartenere contemporaneamente alle due rette in oggetto per cui sarà: (r  s)  X  (r ; s) Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (1)

4 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (2) Ricordando che dal punto di vista insiemistico la retta è espressa dalla seguente formalizzazione: se si completa con la seguente espressione descrittiva: otteniamo l’espressione insiemistico-descrittiva completa e sintetica seguente: Allora, se scegliamo due punti distinti in assoluto |A| e |B| la formalizzazione di cui sopra si trasforma nella seguente: che si legge: Per il punto |A| in movimento orientato nello spazio esiste una ed una sola linea “retta” r costituita dalla sommatoria orientata, estesa da -  a + , dell'insieme composto dalle posizioni del punto |A| in movimento orientato e definito nello spazio tale che ogni posizione di A appartenga ad r.

5 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (3) Per il punto |B| si avrà la seguente espressione: che si espone come di seguito: Per il punto |B| in movimento orientato nello spazio, esiste una ed una sola linea “retta” s costituita dalla sommatoria orientata, estesa da -  a + , dell'insieme composto dalle posizioni del punto |B| in movimento orientato e definito nello spazio. Poiché sia l’insieme |A|che l’insieme |B| sono costituiti da punti, l’elemento risultante dalla loro intersezione sarà anch’esso un punto; un punto statico dello spazio appartenente contemporaneamente alle due rette e collocato in una posizione finita e definita dai due valori numerici di quota ed aggetto, secondo la tipologia già definita nella trattazione del punto. Allora, in conformità a quanto detto, l’espressione insiemistica dell’intersezione tra due rette diventa:

6 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (4) Mentre l’espressione descrittiva diventa: risolvendo graficamente le due espressioni di cui sopra, dal punto di vista grafico- geometrico otteniamo la sintesi dell’operazione descrittiva di cui si discute. Dal punto di vista geometrico- descrittivo, risolvendo e sintetizzando possiamo esplicitare l’operazione nel modo seguente: r  s X  (r; s) X’  (r’; s’) X”  (r”; s”) si possono dare, quindi, le seguenti definizioni verbali.

7 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (5) Due rette distinte s’intersecano se, e solo se, nel luogo d’incidenza generano un punto appartenente contemporaneamente alle due rette. Reciprocamente Se due rette distinte contengono contemporaneamente uno stesso punto, allora, e solo allora si può asserire che le due rette s’intersecano. Al contrario Se il punto d’intersezione non appartiene, contemporaneamente, alle due rette allora significa che le rette non s’incontrano, quindi non sono incidenti. Reciprocamente Se due rette non contengono, contemporaneamente, uno stesso punto vuol dire che le due rette non s’intersecano, quindi non sono incidenti. In questi due casi le rette si definiscono “sghembe”. Due rette si dicono sghembe se non sono complanari, cioè se non esiste un piano che le contenga entrambe. Si tratta di un concetto legato alla geometria dello spazio a tre o più dimensioni. Ricordando la definizione di parallelismo nello spazio, possiamo dire che due rette sono sghembe se non sono ne' incidenti ne' parallele. Estratto da :http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Set_03/RetteSghembe.htm

8 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette (6) Sapendo che il punto può essere “reale”, come nei casi precedenti, o “improprio”, è bene precisare che: Se due rette distinte contengono, contemporaneamente, un punto improprio significa che le due rette sono “parallele” avendo un punto d’intersezione all’infinito. Reciprocamente Se un punto improprio appartiene, contemporaneamente, a due rette distinte significa che le due rette sono parallele, quindi incidenti in un punto all’infinito Ne discende che: Se due rette s’intersecano in un “punto improprio” sono rette “parallele”. Reciprocamente Se due rette sono “parallele” vuole dire che esse s’intersecano in un “punto improprio”. Facciamo, ora, alcuni esempi

9 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (1) Esaminiamo il disegno della figura 01 In questo caso un punto |A| muovendosi nello spazio definisce la retta r la cui porzione, individuata nel I diedro, è costituita dalle sommatorie degli insiemi r’ ed r” come esplicitate di seguito. Simultaneamente il punto |B| muovendosi nello spazio definisce la retta s la cui porzione collocata nel I diedro è costituita dalle sommatorie s’ ed s” come di seguito espresse

10 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (2) Le sommatorie degli insiemi r’ ed s’ hanno in comune la proiezione X’ mentre le sommatorie degli insiemi r” ed s” hanno in comune la proiezione X”. Poiché si verifica che questi due punti non sono allineati sulla medesima retta di richiamo e definiscono sulla lt due punti distinti, significa che essi non rispondono alle leggi omologiche delle proiezioni ortogonali. Le due proiezioni X’ ed X” sono, quindi, proiezioni di due punti diversi e distinti. Si deduce perciò che le due rette r ed s non sono due rette incidenti ma due rette sghembe. Allora sarà: (r  s)  X  (r; s) Poiché è necessario verificare la doppia condizione di appartenenza tra il punto X e le rette r ed s, determiniamo le rette di richiamo di queste due proiezioni per verificare che sia X(X’; X”). Ripetizione figura 01

11 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (3) Esaminiamo, ora, la rappresentazione di figura 02 In questo caso il punto |A| muovendosi nello spazio descrive la retta r le cui proiezioni, definite nel primo diedro, sono costituite dagli insiemi r’ ed r”, come già sopra sintetizzate identificandola, per la sua posizione rispetto ai semipiani del diedro, come retta generica. Allo stesso modo il punto |B| muovendosi nello spazio descrive la retta s le cui proiezioni, nel terzo diedro, sono costituite dalle rette s’ ed s” ottenute, dinamicamente, come sintetizzato sopra. Il disegno evidenzia, poi, un punto X(X’; X”) le cui proiezioni risultano sulla medesima retta di richiamo. Per queste caratteristiche grafiche e di posizione delle proiezioni del punto è possibile asserire che trattasi di un punto X collocato nello spazio del primo diedro Le proiezioni di X, inoltre, coincidono, come posizione grafica, con le intersezioni graficamente definite delle proiezioni delle due rette r ed s.

12 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (4) Ripetizione figura 02 A prima vista, quindi, le due rette r ed s della figura 02 si presentano come due rette incidenti. Se si approfondisce la lettura grafica della rappresentazione si noterà che il punto X non appartiene contemporaneamente ad entrambe le rette in quanto accade che: (X  r)  (X’  r’); (X”  r”) invece (X  s)  (X’  s’); (X”  s”) Poiché la condizione di appartenenza tra il punto X e le due rette r ed s si verifica per una solo di queste, possiamo definire la seguente espressione generale: (r  s)  r  X  s r  X  s r’  X’ r”  X” X’  s’ X”  s” (r  s) Anche in questo caso poiché l’intersezione è solo apparente e non reale, le due rette r ed s saranno due rette sghembe come esplicitata di seguito

13 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (5) Esaminiamo, ora, questo terzo caso La rappresentazione di figura 03 ci mostra le proiezioni di una retta r generate dal moto del punto |A| e le proiezioni della retta s determinate dal movimento del punto |B| come già precisato. In particolare la retta r ha le tracce nel primo diedro mentre la retta s ha le tracce nel quarto diedro Leggendo attentamente il disegno si evince che il punto X(X’; X”) è un punto reale collocato nello spazio del primo diedro ed è, anche, un elemento sia della sommatoria del punto |A| sia della sommatoria del punto |B| come espresso nella seguente formalizzazione X  (r; s)

14 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: esempi (6) Il punto X, infatti, appartiene contemporaneamente sia alla retta r sia alla retta s verificando, così, sia l’espressione dinamica insiemistica seguente: sia la seguente espressione geometrico-descrittiva: X  (r; s)(r  s) X’  (r’; s’) X”  (r”; s”) Nel seguito la definizione descrittiva del punto d’intersezione tra due rette nei quattro diedri

15 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: punti d’intersezione nello spazio dei quattro diedri Figura 04 Poiché i punti reali possono collocarsi negli spazi dei quattro diedri esplicitiamo con i disegni di questa figura la posizione del punto d’intersezione nei diedri I e II di due rette generiche comunque posizionate nello spazio Figura 05 I disegni di questa figura mostrano i punti d’intersezione di due rette nel III e IV diedro; nel III diedro è stato definito il punto d’intersezione di due rette frontali mentre nel IV diedro è stata definita l’intersezione di una retta generica con una retta orizzontale.

16 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: punti d’intersezione uniti ai semipiani ed alla lt Il punto reale oltre che collocarsi nello spazio dei singoli diedri può appartenere anche ai semipiani che delimitano i diedri determinando, quindi, punti con valore di quota nullo se il punto è unito a  1 ± per cui il punto sarà così determinato: X(X’=±x; X”=0). (disegni 1 e 3 della figura 06) Se il punto, invece, è unito a  2 ± sarà nullo il valore dell’aggetto e le proiezioni del punto saranno queste: X(X’=0; X”= ±x) (disegni 2 e 4 della figura 06) Infine, se il punto d’intersezione cadrà sulla lt le rette saranno incidenti la linea di terra e il punto sarà unito alla lt con i valori di quota ed aggetto nulli, quindi sarà: X( X’=0; X”=0). (disegno 5 della figura 06)

17 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: caso del punto improprio (1) Ricordando che un punto può essere reale o improprio, analizziamo ora come avviene il passaggio dinamico dal “punto reale” al “punto improprio” e le relative conseguenze geometriche e descrittive. Sia X(X’; X”) il punto d’intersezione delle due rette r ed s come precedentemente definito. Immaginiamo di tenere ferma la retta r, sia nelle proiezioni (r’; r”) sia nelle tracce (T 1 r; T 2 r), e muovere nello spazio la retta s facendo in modo, però, che permanga sempre tra le due rette il punto d’intersezione. Eseguendo questi spostamenti si determineranno, ad esempio, le seguenti posizioni come graficamente evidenziato nelle successiva figura 07 Posizione 5 r  s 5 (s 5 ’; s 5 ”)  X(X 5 ’; X 5 ”)  (r;s) Posizione 1 r  s 1 (s 1 ’; s 1 ”)  X(X 1 ’; X 1 ”)  (r;s) Posizione 2 r  s 2 (s 2 ’; s 2 ”)  X(X 2 ’; X 2 ”)  (r;s) Posizione 3 r  s 3 (s 3 ’; s 3 ”)  X(X 3 ’; X 3 ”)  (r;s) Posizione 4 r  s 4 (s 4 ’; s 4 ”)  X(X 4 ’; X 4 ”)  (r;s) Immaginiamo, a questo punto, di spostare la retta s fino alla posizione che la colloca parallela alla retta fissa r, tanto da avere: (s n //r)  (s n ’ // r’; s n ”// r”)

18 Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra rette: caso del punto improprio (2) In questo caso analizzando le posizioni delle rette nei passaggi precedenti si potrà stabilire un concetto di invariante geometrico o di costanza d’intersezione tra le due rette per cui alla posizione n in cui le due rette risulteranno parallele accadrà: Posizione nr  s(s n ’; s n ”)  X(X  n ’; X  n ”)  (r; s) Il punto reale X si sposterà nelle posizioni 1, 2, 3, 4, 5, n, fino a diventare improprio quando le due rette si predisporranno in rapporto di parallelismo ed avremo: [X   (r; s)](r  s) X’   (r’; s’) X”   (r”; s”) (r // s) Per quanto sopra possiamo asserire che: Se due rette sono parallele esiste il relativo punto d’intersezione che è solo e solamente un punto improprio Reciprocamente Due o più rette passanti per un punto improprio sono solo e solamente rette parallele Possiamo sintetizzare, infine, che ad un punto improprio va associata la legge geometrica del parallelismo tra rette e, reciprocamente, alla legge sul parallelismo tra rette deve essere associato il concetto di punto improprio.