Teorema di Ramsey Introduzione Teorema di Schur Upper bound, Lower bound facile Lezione 5 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics.

Presentazione sul tema: "Teorema di Ramsey Introduzione Teorema di Schur Upper bound, Lower bound facile Lezione 5 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics."— Transcript della presentazione:

1 Teorema di Ramsey Introduzione Teorema di Schur Upper bound, Lower bound facile Lezione 5 dal libro di Babai & Frankl: Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science

2 Riscaldamento Colora gli archi del grafo completo usando due colori in modo da evitare triangoli monocromatici. si nono impossibile Dimostrazione: non puoi colorare così

3 Teorema di Ramsey Comunque fissiamo un numero di colori c ed un intero t, se il grafo è sufficientemente grande è impossibile evitare “t-sottografi monocromatici”. Teorema: Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore.

4 Teorema di Ramsey Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. Due colori: O c'è una cricca o c'è un insieme indipendente di t nodi si impossibile R 2 (3) = 6:

5 Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur 2 2 41 3 4 1 2 3 4 Nota: per a = b significa a e 2a hanno lo stesso colore

6 Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur Dim: Ramsey Schur KnKn k-j colore(5-2) 1 2 3 4 2 1 5 43

7 Comunque fissiamo un numero di colori c, se coloriamo gli interi {1,2,...,n} con c colori, ed n è abbastanza grande, allora esistono a, b, e a + b colorati con lo stesso colore. Teorema di Schur Dim: Ramsey Schur KnKn ij k k-i = (j-i) + (k-j) j - i k - j k - i a a+b b colore(j-i) ij

8 Teorema di Ramsey Per ogni c e t, esiste R c (t) tale che, per n ≥ R c (t), se coloriamo gli archi di K n con al più c colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. Due colori: O c'è una cricca o c'è un insieme indipendente di t nodi R 2 (t) = ? LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ UB(t) Trova una colorazioneDimostra il teorema si impossibile R 2 (3) = 6 :

9 Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ UB(t) Trova una colorazioneDimostra il teorema 4t4t

10 Teorema di Ramsey R(s,t) ≤ R(s-1,t) + R(s,t-1) Al massimo n = 1 + R(s-1,t) – 1 + R(s,t-1) – 1 n 1 ≥ R(s-1,t) R(s,t) ≝ “non posso evitare K s blu oppure K t rossa” n1n1 n2n2 1 s-1s-1 n 2 ≥ R(s,t-1) t-1t-1

11 Teorema di Ramsey R(s,t) ≤ R(s-1,t) + R(s,t-1) R(s,t) ≝ “non posso evitare K s blu oppure K t rossa” sottoinsiemi di ksottoinsiemi di k senza “1”sottoinsiemi di k con “1” tende a 4 t R2(t) ≤ 4tR2(t) ≤ 4t R 2 (t) = R(t,t)

12 Teorema di Ramsey Per ogni t, esiste R 2 (t) tale che, per n ≥ R 2 (t), se coloriamo gli archi di K n con 2 colori, allora deve esistere una clique K t monocromatica ossia tutti i suoi archi sono colorati con lo stesso colore. LB(t) ≤ R 2 (t) ≤ 4 t Trova una colorazione (t-1) 2... t-1

13 Cosa ricordare Due teoremi “simili”: Ramsey e Schur Per ora abbiamo visto solo (t-1) 2 ≤ R 2 (t) ≤ 4 t Prossima puntata: ≤ R 2 (t) t 3 ≤ R 2 (t) probabilistico deterministico