Argomenti Introduttivi di Matematica Giulio Vidotto Raffaele Cioffi.

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1 Argomenti Introduttivi di Matematica Giulio Vidotto Raffaele Cioffi

2 Indice Alcuni Riferimenti sul Concetto di Numero Potenze Radicali Logaritmi Serie Numeriche Sommatoria Cenni sui Binomi Funzioni Limiti Integrali Definiti di una Funzione

3 Alcuni Riferimenti sul Concetto di Numero Il concetto di numero è spesso definito dalla seguente frase: dato un insieme di oggetti, tali oggetti sono anche chiamati numeri se è per loro definibile una serie di proprietà:

4 Proprietà dell'Uguaglianza Se l'oggetto a e l'oggetto b sono numeri allora l'oggetto a deve essere anche uguale all'oggetto b: a = b da questo assioma si determinano altre tre proprietà: proprietà riflessiva. l'oggetto a deve essere necessariamente uguale all'oggetto a: a = a proprietà simmetrica. se l'oggetto a è uguale all'oggetto b, allora anche l'oggetto b sarà uguale all'oggetto a: a = b  b = a proprietà transitiva. se l'oggetto a è uguale all'oggetto b, e contemporaneamente l'oggetto b è uguale all'oggetto c, ne consegue che l'oggetto a è uguale all'oggetto c. a = b e b = c  a = c

5 Proprietà della Disuguaglianza un oggetto a non deve essere obbligatoriamente uguale ad ogni altro oggetto (per esempio b) ma può anche rivelarsi disuguale da questo; a  b

6 Operazioni All'interno di questo raggruppamento di oggetti numerici aventi le proprietà sopra elencate, si potranno effettuare le quattro operazioni della somma, sottrazione, divisione e moltiplicazione (facendo valere di ragione anche le proprietà formali di tali operazioni: associativa, invariantiva, commutativa e distributiva). Si individuano i seguenti tipi di numeri: naturali, interi, frazionari, assoluti, relativi, reali.

7 Tipi di Numeri Numeri Naturali. Sono detti naturali tutti quei numeri privi di decimali (senza virgola) a partire dal numero uno ed escludendo lo 0 (zero): 1, 2, 3, 4, 5, … Il simbolo che generalmente indica questa classe di numeri è N e l'equazione che la spiega è la seguente maniera: N =  x / x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …  Numeri Interi. Sono detti interi tutti quei numeri privi di decimali (senza virgola) a partire dallo zero (0): 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Il simbolo che generalmente indica questa classe di numeri è  e l'equazione che la spiega è:  =  x / x = 0 et x  N 

8 Numeri Frazionari. Sono detti numeri frazionari tutti quei numeri (denominati anche coppie ordinate di numeri interi) che si esprimono con un segno di frazione. Dati due numeri (a, b) con a appartenente all'insieme dei Numeri Interi e con b diverso da zero (b  0) ossia appartenente all'insieme dei Numeri Naturali, si può scrivere la seguente equazione:

9 I numeri appartenenti a questo insieme sono così rappresentati: a / b Per fare un esempio grafico, se abbiamo la frazione: 1 / 3 tale frazione può essere rappresentata come la terza parte di un rettangolo, ossia nel caso particolare dal pezzetto colorato di grigio. Il quadratino grigio sta ad indicare che per formare l'intero rettangolo ne serviranno tre della sua stessa grandezza. Nel caso particolare di una frazione con numeratore zero, il suo risultato sarà zero: 0 / b = 0

10 Numeri Razionali Assoluti. Questo insieme di numeri è formato dai due insiemi numerici prima descritti: i Numeri Interi (  ) ed i Numeri Frazionari (Q). Esiste quindi un assunto di uguaglianza fra i Numeri Frazionari ed i Numeri Razionali Assoluti ed è dimostrabile nella seguente maniera: dato a  , dal momento che in questo insieme di numeri è possibile l'operazione della divisione… a = a / 1 Per fare un esempio numerico semplice: dato il numero 2, questo numero non cambia valore se viene posto al numeratore di una frazione con denominatore 1, ossia… 2 = 2 / 1 = 1

11 Numeri Razionali Relativi. Questo insieme di numeri (anche più semplicemente definito come Insieme dei Numeri Relativi) ha tutte le caratteristiche dei Numeri Razionali Assoluti ma a queste viene aggiunta anche la qualifica del segno positivo (+) o negativo (-). L'equazione caratteristica di tale insieme numerico è: R =  x / x  Q  Due numeri appartenenti a R possono essere: concordi: se sono preceduti dallo stesso segno es.: -2 e -5 oppure +4 e +6 discordi: se sono preceduti da segno opposto es.: -2 e +4 Lo zero (0) rappresenta un'eccezione in R in quanto: -0 = +0 = 0

12 Numeri Reali. Dati due Numeri Razionali (a, b) il loro rapporto a / b potrà dare due altre tipologie di numeri: commensurabili e incommensurabili. L'equazione strutturale di questo insieme numerico è: Re =  x / x  R o x è un Numero Irrazionale  I numeri Incommensurabili (detti anche irrazionali) sono quelle classi i cui valori precisi si ottengono tentando una loro approssimazione, a questa classe appartengono le radici quadrate il cui risultato deve essere approssimato perché apparentemente infinito (es. la radice quadrata di 2). Se il rapporto fra a e b da un numero razionale allora a e b si dicono commensurabili.

13 Potenze Siano detti a e b due Numeri Reali e n e m due Numeri Interi, si definisce la potenza n-esima (ennesima) il risultato della moltiplicazione di a per n volte. Tale definizione si rappresenta anche con: a n = a  a  a  a  a … n volte

14 1 n = 1n = 3  1 3 = 1 a 1 = aa = 2  2 1 = 2 a 0 = 1a = 5  5 0 = 1 a = 3 e n = 2 

15 Inferenze di Calcolo con le Potenze: a n + a m = a n+m a n / a m = a n-m (a n ) m = a n  m (a  b) n = a n  b n

16 Radicali Sono dati due numeri reali positivi (a, b) ed un numero intero positivo (n), si definisce il radicale di n-esimo di a quel numero b tale che se si eleva b alla n-esima da come risultato a: con a e b  Re > 0 e con n   > 0

17 a = 2 

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19 Uguaglianze Siano dati a e b come numeri reali positivi e altri quattro numeri m, n, p, q, interi tali che valgano le seguenti proprietà: si hanno le seguenti uguaglianze.

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22 Logaritmi Sono dati a, b, c (numeri Reali positivi) con a diverso da 1 si definisce logaritmo di b in base a quel numero reale x tale che se si eleva a alla x si ottiene b: dati a, b, c  Re e > 0, dato a  1 si ha

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25 Definizione di Logaritmo Decimale Dato b appartenente ai Numeri Reali positivi e maggiori di zero, si dice che il logaritmo in base dieci di b è uguale ad x se dieci alla x da come risultato b; ossia:

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27 Serie Numeriche Una serie numerica è spesso definita come una serie di oggetti numerici disposti in un ordine (crescente o decrescente) con componenti che possono essere sia finiti che infiniti. Generalmente le serie numeriche sono descritte con l'espressione seguente:

28 Progressione Aritmetica Si dice che si ha una progressione aritmetica quando in una data serie di oggetti numerici risulta costante la differenza fra ogni elemento appartenente alla serie presa in considerazione e quello immediatamente precedente; tale regola può non essere comunque considerata valida per il primo oggetto numerico della serie numerica con progressione aritmetica.

29 La "C" sta ad indicare la costante (o anche la ragione) di questa equazione

30 Si prenda come esempio la seguente serie numerica: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 si nota che la differenza fra gli elementi seriali (lo scarto che separa il primo dal secondo numeri, in secondo dal terzo e così via) risulta essere sempre 2. Questa constatazione ci permette di affermare che la serie ora presa in considerazione può essere anche chiamata progressione aritmetica. Ossia…

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32 Progressione Geometrica Si dice che si ha una progressione geometrica quando in una data serie di oggetti numerici risulta costante il rapporto fra ogni elemento appartenente alla serie presa in considerazione e quello immediatamente precedente; tale regola può non essere comunque considerata valida per il primo oggetto numerico della serie numerica con progressione aritmetica.

33 Anche in questo caso, la "C" sta ad indicare la costante (o anche la ragione) di questa equazione.

34 Viene data, ad esempio, la seguente serie di oggetti numerici: 2, 4, 8, 16 data la facilità dell'esempio è facile intuire che questa serie non è altro l'elevazione di 2 a potenza prima con se stesso, poi alla terza e così via. Per ritornare alla serie numerica precedente 2, 4, 8, 16 se applichiamo questa piccola regola si ottiene che;

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36 Sommatoria Dati gli oggetti numerici elencati (con caratteristica comune): si definisce sommatoria di tutti gli x i con i che va da 1 ad n, si scrive:

37 la somma di tutti gli elementi elencati, scritta anche nella maniera seguente (che si recita: sommatoria di x i con i che va da 1 a 35): Tale formula sta ad indicare la somma di tutti gli x i da 1 a 35:

38 Regole delle Sommatorie Regola della sommatoria di una somma. Data una sommatoria Essa può essere scomposta e semplificata nella somma di tutte le sommatorie interne:

39 Infatti, data la sommatoria della somma di due serie numeriche distinte (x ed y) aventi caratteristiche predeterminate: essa è risolvibile nella seguente maniera: ma le due singole risoluzioni posso anche essere riscritte come:

40 Regola della sommatoria del prodotto. Data la sommatoria: in cui c è anche detto costante, essa può essere scomposta e semplificata prodotto della costante c per la sommatoria della variabile presa in esame: Infatti, data la sommatoria del prodotto di una serie numerica (x) per una costante:

41 essa è risolvibile nella seguente maniera: Dal momento che la costante c è presente in ogni prodotto, l'equazione ora scritta si trasforma in: ma la risoluzione posta tra parentesi può anche essere riscritta come

42 Regola della Sommatoria di una costante. Data la sommatoria di una costante c con i che va da 1 ad n Essa può essere scomposta e semplificata nel prodotto di n per c. Si dimostra l'assunto della sommatoria di una costante con un esempio: infatti la sommatoria precedente è risolvibile con c + c + c + c + c + … c (n volte) Automaticamente tale somma è trasformabile in un semplice prodotto: c  n

43 Cenni sui Binomi Dato un oggetto numerico n appartenente all'insieme dei Numeri Interi non negativi si chiama fattoriale di n il risultato dei prodotti di tutti i Numeri Naturali che vanno da 1 ad n.

44 Coefficiente Binomiale

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46 Proprietà dei Coefficienti Binomiali

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49 Equazioni Caratteristiche con i Binomi I° equazione caratteristica.

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51 II° equazione caratteristica

52 Funzioni Univalenti Polidrome Empiriche ed Analitiche Monotone Diagramma di una Funzione.

53 Univalenti y = 4x

54 Polidrome Le funzioni polidrome sono quelle funzioni per le quali ad ogni valore della x possono corrispondere due o più valori della y (ciò è possibile prendendo x sempre maggiore di zero). La formula generica di questi tipi di funzioni è:

55 Empiriche ed Analitiche Per quanto invece concerne le funzioni empiriche e quelle analitiche, la loro differenza è piuttosto ovvia: le prime si riferiscono ad una relazione fra x ed y di tipo empirico (esperienziale) le seconde, invece, si riferiscono ad un tipo di relazione di tipo statistico - matematico (ciò che interessa a questo studio intrapreso).

56 Monotone Date due variabili x 1 ed x 2 si dice che esse hanno una relazione monotona (e quindi espletano una funzione monotona) quando al variare di una varia sempre anche la seconda nella stessa direzione (crescente o decrescente).

57 Diagramma di una Funzione Siano dati anche due valori a, b con una specifica relazione fra loro ed x tale che a < x < b si definisce diagramma della funzione y quell'insieme, anche detto luogo geometrico (in quanto rappresentabile sugli assi cartesiani), dei punti del piano cartesiano che hanno come coordinate quelle coppie di numeri che si ottengono se si sostituiscono ad x ed y mantenendo la relazione di funzione data.

58 Limiti Sia data una funzione generica y = f(x) si dirà che il limite di f(x) per x che tende a c è pari ad l, se fissato un numero  maggiore di zero, piccolo a piacere, è possibile individuare un intorno completo H di c tale che ogni x diverso da c e appartenente ad H risulti che: il valore assoluto di f(x) meno l debba essere minore di ...

59 Sia dato quindi un qualsiasi valore di x purché tale valore risulti diverso da 2 e per il quale l'equazione assumerebbe una forma di zero su zero che è priva di significato, si determina la seguente funzione:

60 Se viene fissato un valore di  maggiore di zero, piccolo a piacere, per ogni valore di x compreso nell'intervallo …. Quindi, man mano che x si approssima al valore di 2, contemporaneamente y si avvicina a 3. Ritornando all'esempio…

61 Funzione Continua Sia data una funzione y = f(x) tale funzione è detta continua nel punto c se si ha la seguente relazione: Ossia: il limite della funzione di x per x che tende a c è uguale alla funzione di c.

62 Integrali Definiti di una Funzione Sia data una funzione Y = f(x) definita nell'intervallo (a, b) e continua nello stesso intervallo, denominata A l'area di ogni singolo trapezoide individuato dividendo l'intervallo (a, b) in n parti (tendenti all'infinito), si chiama integrale definito di f(x) nell'intervallo (a, b), il risultato della sommatoria di ogni singolo trapezoide per n tendente all'infinito...

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65 Proprietà degli Integrali Sia data una funzione Y = f(x), definita nell'intervallo a, b e con a < b l'integrale definito di f(x) nell'intervallo (b, a) è uguale all'intervallo negativo definito f(x) nell'intervallo (a, b), ossia:

66 L'integrale definito di f(x) nell'intervallo (a, a) è uguale a zero, ovvero: Sia dato a minore c, minore di b, allora l'integrale definito f(x) nell'intervallo (a, b) è uguale alla somma dell'integrale definito f(x) nell'intervallo (a, c) con l'integrale definito f(x) nell'intervallo (c, b), ossia:

67 Se infine, sia data k come costante, allora l'integrale di k nell'intervallo (a, b) moltiplicato per f(x), è uguale a k moltiplicato l'integrale f(x) nell'intervallo (a, b);ovvero: