V postulato di Euclide: enigma e frustrazione di generazioni di matematici. Analisi di un problema matematico spinoso e sconveniente.

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1 V postulato di Euclide: enigma e frustrazione di generazioni di matematici. Analisi di un problema matematico spinoso e sconveniente.

2 Una lettera dissuasiva Il matematico ungherese Farkas Bolyai [1775-1856] quando venne a sapere che il proprio figlio Janos Bolyai [1802-1860], brillante ufficiale dell’esercito, si era immerso nello studio di un problema nel quale anch’egli si era invano imbattuto per anni e anni, gli scrisse: Per amor del cielo, ti imploro di desistere dal tentativo. Il problema delle parallele è una cosa da temere ed evitare non meno delle passioni dei sensi, poiché anch’esso può rubarti il tuo tempo e privarti della salute, della serenità di spirito e della felicità.

3 Il ragazzo non si lasciò smuovere e continuò a lavorare al problema senza tentennamenti, forse anche per riscattare in qualche modo i vani sforzi del padre. Nel 1829 raggiunse una stupefacente conclusione: non solo il postulato delle parallele non era affatto dimostrabile ma metterlo da parte significava entrare in un giardino incantato, in cui convivere con altre geometrie, del tutto diverse da quella euclidea. Una curiosità: il matematico russo Lobacevskij (noto oggi come il “Copernico della geometria”) giunse a risultati analoghi qualche anno prima, indipendentemente dall’ungherese Janos Bolyai. Ci troviamo di fronte ad un caso stupefacente di scoperta simultanea: molti concetti simili furono enunciati, come già detto, nel corso del primo terzo del XIX secolo da tre matematici di origine e formazione diversa, uno tedesco (Gauss), uno ungherese e uno russo. Ma… qual è questo problema delle parallele e perché suscitò così tanto interesse e tanta angoscia?

4 Un salto indietro di alcuni secoli… Per inquadrare bene il problema, occorre ricordare che Euclide di Alessandria [367 a.C. ca. - 283 a.C] scrisse un’opera in 13 volumi, gli Elementi (considerata il più grande manuale di tutti i tempi.)367 a.C.283 a.C Negli Elementi era esposta per intero la geometria che avrebbe guidato lo studio della matematica per ventitré secoli, fino ai nostri giorni. Nella sua opera Euclide definì dapprima gli elementi di base della geometria euclidea (punto, retta e piano) e quindi formulò 5 postulati fondamentali: Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.punti Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.cerchio Tutti gli angoli retti sono uguali.angoli retti Si supponga che una retta, intersecandone altre due, formi dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due retti. In questo caso la seconda e la terza retta, prolungate indefinitamente, si incontreranno da quel lato. Scopriremo tra breve perché Il quinto postulato è conosciuto come postulato delle parallele.quinto postulato

5 Le proposizioni, ovvero i teoremi del primo libro di Euclide si occupano delle proprietà delle linee rette e delle aree di parallelogrammi, triangoli e quadrati. Per dimostrarle Euclide faceva uso dei primi quattro postulati e non utilizzava mai il quinto. Si capì molto presto che le proposizioni così provate sarebbero rimaste valide anche sopprimendo il quinto postulato, o sostituendolo con uno nuovo (sempre compatibile con gli altri quattro).