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Logica 16-17 Lezz
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Lez. 13 7 Nov. 2016
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nota su "a meno che" A meno che (non) = oppure
Il dolce lo porto io (I) a meno che (non) lo porti Mario (M) I M I M I M la negazione è pleonastica, paragonare a: "non ho detto niente" = "non ho detto alcunché"
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Cap. 4 - Il calcolo proposizionale
Nota sull'uso della parola "calcolo" Verranno usate le regole riassunte nella tabella 4.2 a p. 118
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Esercizio risolto 4.1 Soluzione Dimostrare: P → (Q → R), P, Q |– R
La prima premessa è un condizionale il cui antecedente è negato e il cui conseguente è a sua volta un condizionale. La riga 2 contiene l’antecedente. Perciò la derivazione del suo conseguente alla riga 4 è chiaramente un esempio di eliminazione del condizionale, così come il passo dalle righe 3 e 4 alla riga 5.
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Esercizio risolto 4.3 Soluzione Dimostrare: P & Q |– Q & P
L’ordine con cui otteniamo i due congiunti dalla congiunzione iniziale mediante &E è indifferente. Avremmo anche potuto scrivere ‘Q’ alla riga 2 e ‘P’ alla 3. Cìò avrebbe comunque consentito l’applicazione di &I per ottenere la conclusione alla riga 4
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condizionale, congiunzione e disgiunzione
Abbiamo visto la regola di eliminazione del condizionale (MP). Quella di introduzione è più complicata e la vedremo in seguito abbiamo visto le regole di eliminazione e introduzione della congiunzione. Adesso passiamo alle regole sulla disgiunzione
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Intro della disgiunzione
Per la regola di introduzione della disgiunzione guardiamo insieme dal libro l'esercizio 4.6, p. 97
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Eliminazione della disgiunzione
Idea di fondo: Se ho P v Q e posso derivare R sia da P che da Q, allora posso asserire R Vediamo la regola all'opera nel prossimo esempio
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(P Q) & (P R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T
Esercizio risolto 4.9 Dimostrare: (P Q) & (P R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Soluzione
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Lezione 14 8/11/16
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Consideriamo alcune "banalità"
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Esercizio risolto 4.5 Dimostrare: P |– P & P Soluzione
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Esercizio risolto 4.7 Dimostrare: P |– P P Soluzione
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Esercizio risolto 4.11 Dimostrare: P ↔ Q |– Q ↔ P Soluzione
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Introduzione del condizionale
Questa è una regola "ipotetica" Impariamola studiando insieme l'esercizio 4.12 p. 101
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Esercizio risolto 4.15 Soluzione Dimostrare:
(P & Q) → R |– P → (Q → R) Soluzione Ipotizziamo l’antecedente ‘P’ della conclusione alla riga 2. Per derivare il conseguente, cioè ‘Q → R’, ipotizziamo l’antecedente ‘Q’ di questo condizionale alla riga 3. Dato che questa è una nuova ipotesi, è richiesta una nuova linea verticale. Abbiamo ora assunto due ipotesi. Deriviamo ‘R’ da ‘Q’ alla riga 5. Ciò ci permette di scaricare l’ipotesi ‘Q’ e inferire ‘Q → R’ per →I alla riga 6. Abbiamo ora mostrato che ‘Q → R’ segue dalla nostra ipotesi originaria ‘P’. Quest’ipotesi rimane in vigore fino a che non la scarichiamo e inferiamo la conclusione voluta mediante un’altra applicazione di →I alla riga 7.
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Introduzione della negazione (dimostrazione per assurdo)
guardare esempi pp : 4.18, 4.19, 4.20 Refusi nell'es. 4.19: salta il 5 nella numerazione delle righe e la linea verticale dovrebbe partire dalla riga 2.
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Lezione 15 10/11/16
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Esempio 4.21 p. 106 Questo esempio, oltre a mostrare l'uso della regola di intro della negazione, illustra una strategia: se abbiamo a disposizione una disgiunzione, tipicamente è utile cercare di dimostrare che entrambi i disgiunti implicano la conclusione desiderata. In questo caso, cerchiamo di ottenere questa conclusione con la regola di intro della neg.
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Esercizio risolto 4.23 (vedi anche slide successiva aggiunta dopo la lezione)
Dimostrare: (P & Q) |– P Q Soluzione
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Esercizio risolto 4.23 (slide aggiunta dopo la lezione per chiarire ancora meglio la strategia seguita) (P & Q) |– P Q Strategia: dimostriamo per assurdo e quindi ipotizziamo; (1) (P Q) Per ottenere una contraddizione cerchiamo di dimostrare l'opposto della nostra premessa, ossia P & Q Dobbiamo quindi dimostrare una congiunzione. Per farlo, dobbiamo dimostrare entrambi i congiunti: P, Q Ma come? Per assurdo, ossia prima ipotizzando P , poi Q In entrambi i casi , grazie alla regola I ottengo una contraddizione
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Strategie dimostrative
(1) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è atomica, o comunque non è una negazione, ipotizzare la negazione della conclusione, tipicamente al fine di ottenere la sua doppia negazione tramite ∼I; quindi applicare ∼E. (2) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è una negazione: assumere per ipotesi la conclusione senza il segno di negazione per ottenere una contraddizione; quindi applicare ∼I. (3) Per dimostrare una congiunzione: dimostrare ciascuno dei congiunti separatamente e poi congiungerli mediante &I.
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Strategie dimostrative (ii)
(4) Per dimostrare una disgiunzione: provare a derivare uno dei disgiunti per applicare vI. Se questa strategia fallisce, ragionare per assurdo, comportandosi come nel caso delle fbf atomiche; cioè assumere la negazione della conclusione e poi applicare ∼I e ∼E. (5) Per dimostrare una condizionale: ipotizzare l’antecedente e derivare il conseguente, poi applicare →I. (6) Per dimostrare una bicondizionale: usare →I due volte per dimostrare i condizionali necessari a ottenere la conclusione per ↔I.
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Strategie dimostrative (iii)
Aggiungerei: se tra le premesse è disponibile una disgiunzione P v Q e bisogna dimostrare C, provare a dimostrare sia P → C che Q → C e poi applicare vE
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Sommario delle 10 regole di base
Guardare insieme la tabella riassuntiva 4.2 a p. 118
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ESAME INTERMEDIO Proviamo a ipotizzare una data
Le domande del primo esame scritto vertono sulla logica proposizionale e sono di due tipi: (1) traduzione di semplici enunciati in italiano nel linguaggio della logica proposizionale; (2) utilizzazione del metodo delle tavole di verità o degli alberi di refutazione per valutare enunciati o argomentazioni. Gli esercizi di traduzione saranno ripresi dagli esercizi per casa o da esempi fatti in classe
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