Equazioni di 2°grado Prof.ssa A.Comis.

Presentazione sul tema: "Equazioni di 2°grado Prof.ssa A.Comis."— Transcript della presentazione:

1 Equazioni di 2°grado Prof.ssa A.Comis

2 Sommario Definizione Equazione SPURIA Equazione PURA
Equazione COMPLETA Discriminante Relazioni fra i coefficienti Equazioni Binomie Equazioni Trinomie Equazioni Biquadratiche

3 Definizione Un’equazione si dice di 2°grado quando ridotta in forma normale è del tipo: Dove a, b, c, sono numeri reali qualunque con a diverso da zero.

4 Osservazioni I numeri a e b sono i coefficienti della variabile, c è il termine noto. Se a fosse zero l’equazione diventerebbe di 1°grado. Un’equazione di 2°grado può avere al più due soluzioni. Un’equazione di 2°grado ridotta in forma normale è completa quando TUTTI i suoi coefficienti a, b, c sono diversi da zero; è incompleta quando almeno uno dei suoi coefficienti è zero.

5 Equazione Spuria Se manca il termine noto, cioè se c=0 allora l’equazione si dice SPURIA e si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto:

6 Equazione Pura Se manca il secondo coefficiente, cioè se b=0 allora l’equazione si dice PURA.

7 Esempi

8 Equazione completa Se TUTTI i coefficienti a, b, c sono diversi da zero, allora l’equazione si dice completa e si risolve mediante l’applicazione della seguente formula risolutiva:

9 Discriminante Il radicando della radice quadrata presente nella formula, si chiama discriminante e si indica con D (delta). Si possono verificare i seguenti casi: Se D>0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte; Se D=0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti; Se D<0 l’equazione non ammette soluzioni reali.

10 Esempi

11 Osservazioni La formula risolutiva è applicabile anche nelle equazioni incomplete, anche se , come abbiamo visto, in questi casi sono più convenienti altri procedimenti. Come nelle equazioni di 1° grado, anche in quelle di secondo, è importante la riduzione in forma normale prima della applicazione della formula risolutiva. Nelle equazioni frazionarie è necessario eliminare i denominatori assicurandosi che le radici non ne annullino qualcuno.

12 Relazioni fra i coefficienti

13 Riepilogando In una equazione di 2°grado, ridotta a forma normale e con il discriminante non negativo valgono le seguenti proprietà: La somma s delle radici è il rapporto, cambiato di segno, tra il secondo ed il primo coefficiente. Il prodotto p delle radici è il rapporto tra il terzo ed il primo coefficiente.

14 Conseguenze Per scrivere un’equazione di 2°grado che abbia come radici due numeri assegnati m ed n, basta osservare che questo problema è soddisfatto dalla equazione: (x-m)(x-n)=0 che diventa

15 Applicazioni Un’equazione di 2°grado che abbia come radici due numeri assegnati m ed n, ha come primo coefficiente l’unità, come secondo la somma dei due numeri dati cambiata di segno e come terzo il loro prodotto. Un’altra applicazione è quella che ci permette di trovare due numeri sapendo la loro somma ed il loro prodotto. Per entrambi i casi analizzati basta applicare la formula:

16 Esempi

17 Equazioni di grado superiore al secondo
Esistono delle particolari equazioni di grado superiore al secondo che,con qualche semplice artificio, si possono risolvere applicando i metodi studiati per le equazioni di 2°grado. Ci occuperemo dei seguenti tipi: Equazioni binomie Equazioni trinomie Equazioni biquadratiche

18 Equazioni Binomie Un’equazione si dice BINOMIA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo, a e b reali ed a diverso da zero. Se n=1 oppure n=2, l’equazione risulta di 1° e 2° grado ed è facilmente risolvibile. Se n>2 si devono distinguere i casi: - n pari - n dispari

19 Equazioni Binomie

20 Esempi

21 Equazioni Trinomie Un’equazione si dice TRINOMIA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo ed a diverso da zero. Se n=1 l’equazione diventa di 2°grado; Se n=2 si chiama equazione Biquadratica; Se n>2 si chiama equazione Trinomia.

22 Equazioni Biquadratiche
Un’equazione si dice BIQUADRATICA quando, ridotta a forma normale è del tipo: con n intero positivo ed a diverso da zero. Per risolvere un’equazione biquadratica, o, più in generale, trinomia, basta ridurla ad una di 2°grado effettuando un semplice cambio di variabile.

23 Esempio

24 Altri esempi