LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA
La misura in geometria 5° incontro: 11 aprile 2017 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017
Trapezio Per far scoprire la formula che dà la misura dell'area del trapezio, tra i procedimenti possibili, quello che comporta il raddoppio della figura: Sono dati due trapezi congruenti. Se ne ritaglia uno e si accosta all'altro come nella figura che segue . Si ottiene così un parallelogramma avente come base un segmento uguale alla somma delle basi del trapezio come altezza la stessa altezza del trapezio. Area doppia di quella del trapezio Indicando con b1 e b2 le misure delle lunghezze delle basi e con h la misura della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del trapezio è: Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Triangoli : la misura dell'area
Dato un triangolo, per scoprire la formula che dà la misura dell'area si fanno disegnare e ritagliare sei triangoli uguale a quello dato e si accostano a due a due lungo uno dei lati. Poiché i lati sono tre l'accostamento può dar luogo a un parallelogramma o a un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, come si può costatare dai disegni che seguono: h1 b1 h1 h1 h1 b1 b1 b1 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Si nota che in ogni quadrilatero sono contenuti esattamente due triangoli uguali a quello dato. Quindi , se si indicano con b1 le misure delle lunghezze di un lato del triangolo e con h1 della relativa altezza, la formula che dà la misura dell'area del triangolo è: Nel terzo caso si può far notare il quadrilatero ottenuto ha le diagonali perpendicolari e la misura delle lunghezze di tali diagonali è rispettivamente b1 e 2xh1 quindi anche la misura della sua area è data da . b1 h1 b1 h1 b1 h1 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Problemi di geometria, come risolverli?
Basterà applicare le formule? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Poligoni su carta a reticolazione triangolare
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.287) Sulla carta reticolata che vedi sotto, disegna tutti i poligoni possibili formati da solo quattro triangoli congruenti in modo che ogni triangolo abbia un lato in comune con almeno un altro triangolo Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Poligoni su carta a reticolazione triangolare
(da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson pag.283) Quanti diversi poligoni hai disegnato?……………………… Colorali e denominali………… Confronta il tuo lavoro con quello dei compagni. Se è necessario, completa il tuo lavoro. C’è almeno un poligono regolare ? I poligoni che hai ottenuto sono tutti equiangoli ? Ci sono poligoni equilateri e non equiangoli? C’è almeno un poligono concavo? Sì No Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Perimetro e area Calcola il perimetro in lati quadretto e l’area in quadretti nei seguenti poligoni. I poligoni sono isoperimetrici? Sono equiestesi? Giustifica le tue conclusioni Fig.1 Fig.2 Fig.3 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

COSTRUZIONI Accostando lungo un lato due quadrati uguali, quante figure diverse puoi ottenere? Accostando lungo un lato tre quadrati uguali, quante figure diverse puoi ottenere? Accostando lungo un lato quattro quadrati uguali, quante figure diverse puoi ottenere? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

POLIGONI SU CARTA A RETICOLAZIONE QUADRATA
Sulla carta reticolata , che vedi sotto, disegna tutti i diversi poligoni possibili formati da solo cinque quadrati congruenti in modo che a due a due abbiano in comune un lato. Quanti diversi poligoni hai potuto disegnare?…………… Contrassegna ogni poligono con un numero e dai ad ognuno il nome che gli compete. Confronta il tuo lavoro con quello dei tuoi compagni e discutine con l’insegnante. Se necessario, completa il tuo lavoro. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

I PENTAMINI 1 2 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Considera come universo l’insieme dei poligoni da te disegnati nella scheda precedente. Classificali secondo le seguenti proprietà: - essere ottagono ( o ) - avere almeno un asse di simmetria ( s ). Disegna ciascun poligono nelle zone opportune del diagramma di Carroll o non o s non Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

non o s 5 9 2 1 8 11 non 10 7 12 3 4 6 C’è un poligono che è ottagono e ha almeno un asse di simmetria? Tutti i poligoni concavi sono ottagoni? Ogni quadrilatero ha almeno un asse di simmetria? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Presentiamo i 12 pentamini con i simboli che il loro inventore, il matematico Solomon W. Golomb, ha usato in un libro pubblicato nel 1965: Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

La “bambolina poligonale” si trasforma
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Nella fig. 1 vedi il ritratto di una bambolina poligonale.
Quanti poligoni formano il ritratto? Denomina ogni poligono con una lettera minuscola e precisa il nome e le caratteristiche di ognuno. Colora con uno stesso colore i poligoni equiestesi Scrivi la misura dell’area di ogni poligono in unità - quadretto (cm2) e deduci la misura dell’area della bambolina. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Il ritratto della bambolina ha un asse di simmetria: segnalo. Sai giustificare, senza usare le misure, perché il perimetro della gonnellina è maggiore di quello delle braccia? Ricopia il ritratto della bambolina su un foglio centimetrato. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Ritaglia i singoli poligoni e ricomponili in modo da formare un poligono convesso. Che poligono hai ottenuto? Ricopialo sul tuo quaderno. Calcola la misura della sua area in quadretti. Attenzione !... Il poligono convesso che hai trovato ha assi di simmetria? ... Se la risposta è “sì” , segnalo. Calcola la misura del perimetro del poligono trovato in centimetri. Lunghezze: lato quadretto 1cm; di conseguenza la lunghezza della diagonale-quadretto, approssimata ai millimetri è 1,4cm. Fai vedere il procedimento che segui. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Possibili risposte non uniche

Domanda per gli alunni di scuola media : Perché con questi pezzi è sicuramente impossibile costruire un quadrato? Possiamo ora continuare l’attività proponendo di ricopiare, sempre su carta centimetrata, solo il contorno di ogni poligono e di verificare se la sua area è di 22 quadretti unitari, per differenza dall’area del rettangolo meno esteso in cui tale poligono è contenuto. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Esempi Verifichiamo, per differenza, che l’area di ogni poligono è di 22 quadretti ( cm2). Misura dell’area dei poligoni disegnati in quadretti (cm2) rettangolo triangoli poligono 6x5=30 2x4 = 8 30-8 = 22 ottagono 7x5=35 2x2+4,50x2 =13 35-13=22 esagono 6x4=24 2x1=2 24-2 = 22 pentagono Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

UN MOSAICO DA COSTRUIRE
Sergio ha disegnato su carta quadrettata i tre poligoni congruenti che vedi sotto riprodotti. Che poligoni sono? a b c Il lato della quadrettatura utilizzata da Sergio è lungo 7mm. Calcola la misura in centimetri del perimetro e la misura in centimetri quadrati dell’area di ogni poligono. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Sergio vuole dividere il poligono a in quindici parti congruenti. Da quanti quadretti deve essere formata ogni parte? …………… Quanti poligoni diversi puoi ottenere con questo numero di quadretti? Rappresentali nella quadrettatura a lato. Con uno dei poligoni che hai ottenuto prova a ricoprire il poligono a. Ora ricopia il poligono a e prova con l’altro. Sei riuscito in ogni caso a completare il ricoprimento? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Sergio vuole dividere i poligoni b e c in parti congruenti aventi la forma seguente Tessera per ricoprire il poligono b Tessera per ricoprire il poligono c Secondo te, le due tessere sono equiestese? ……………… Sono isoperimetriche?………………………….. Verifica le tue risposte calcolando la misura, in centimetri, del perimetro e la misura, in centimetri quadrati, dell’area di ciascuna tessera. Secondo te, quante tessere sono necessarie per ricoprire il poligono b? Quante tessere sono necessarie per ricoprire il poligono c? Verifica le tue risposte eseguendo i ricoprimenti dei poligoni b e c. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

L’area del quadrato (Polymayth gennaio 2007) Se l’area del quadrato grande è di 1unità al quadrato, qual è l’area del quadrato al centro della figura? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

L’area del quadrato SOLUZIONE Il quadrato originale, di area 1, è diviso in quattro trapezi, quattro triangoli e un quadrato. Se spostiamo i quattro triangoli e li aggiungiamo ai trapezi, otterremo cinque quadrati uguali e l’area di uno di questi sarà quindi 0,2 unità al quadrato. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

I sei quadrati (Polymayth giugno 2006) L’area dei sei quadrati di figura è di 294cm2. Calcola il perimetro della figura. SOLUZIONE 294cm2 : 6 = 49 cm2 è l’area di un quadrato e 7cm la lunghezza del suo lato. Il perimetro è quindi 7cm x 14 = 98 cm. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

L’area nel quadrato (Polymayth maggio 2008) Il lato del quadrato ABCD è lungo 16cm. Calcola l’area della regione colorata in blu. SOLUZIONE 128 cm2 L’area del quadrato è infatti (16 x 16)cm2 = 256 cm2 E l’area del triangolo è 256/2 cm2 = 128 cm2 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Geometria piana e solida in laboratorio
Dalla geometria piana alla geometria solida e viceversa Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Le origini dello studio della geometria solida si confondono con la religione e la superstizione Da uno scritto di Eratostene, matematico greco del III secolo a.C., si capisce come il cubo abbia creato grossi problemi fin dai tempi più antichi. Dice Eratostene: “Quando il Dio annunciò agli abitanti di Delo che se volevano liberarsi della peste, dovevano costruire un altare doppio (volume doppio) di quello esistente, e sempre di forma cubica, questi caddero in grande perplessità …” Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Capivano infatti che raddoppiando tutti i lati il cubo non raddoppiava, ma diventava molto più grande: diventava otto volte maggiore Da “Figure solide” di Emma Castelnuovo La Nuova Italia E allora? Come fare? Qual è la lunghezza del lato di un cubo doppio di quello dato? Come liberarsi della peste? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LA DUPLICAZIONE DEL CUBO
L’ obbiettivo di questo problema era quello di costruire, con l’ausilio di un compasso e di una riga, un cubo di volume doppio rispetto a un cubo dato. Per riuscire a disegnare un cubo di volume doppio di quello di un altro cubo di lato , bisognerebbe riuscire a disegnare un cubo con un lato lungo Questo problema, come quello precedente, è impossibile da risolvere solo con “compasso e riga”, in quanto si è dimostrato che l’equivalente algebrico del problema è la soluzione di una equazione cubica priva di radici razionali. Il problema Il cubo che ha il lato lungo 10 cm, ha il volume di 1000 cm3 = 1 dm3 che corrisponde alla capacità di 1 litro. Se vogliamo raddoppiare il suo volume, quanti centimetri sarà lungo il suo nuovo lato? Il problema si risolve calcolando la radice cubica di 2000 cm3. = 12, La risposta è: il suo lato sarà lungo 12,6 cm circa. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Costruzioni con le cannucce

Figure solide Le figure solide rappresentano i corpi che fanno parte della nostra realtà e si possono realizzare praticamente Le figure piane in concreto non si possono realizzare: e infatti anche usando un sottile foglio di carta, al figura che si può ritagliare ha sempre uno spessore, lo spessore della carta. È quindi un solido. È solo con il pensiero che riusciamo a “staccare” la figura piana dalla figura solida Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

I prismi Gli allievi , dopo aver manipolato, osservato nell'ambiente e costruito numerosi modelli di prismi, devono essere in grado di distinguere questi solidi in un insieme di altri solidi di darne una descrizione abbastanza completa e corretta. Ad esempio: " Il prisma è un solido limitato da due poligoni uguali, che si dicono basi e che sono posti in piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati dei poligoni di base". Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Gli elementi di un prisma
Gli elementi fondamentali di un prisma sono: le facce: comprendono le basi e le facce laterali gli spigoli: comprendono gli spigoli di base e gli spigoli laterali i vertici: sono i vertici dei poligoni di base A, B, C, A’, B’, C’, Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Prismi particolari Prisma retto Prisma regolare Parallelepipedo Parallelepipedo rettangolo Prisma retto Definizione: un prisma è retto se le rette cui appartengono gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani su cui giacciono le basi. b a H B’ K B A’ A C’ C Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Prisma regolare Definizione: un prisma regolare è un prisma retto le cui basi sono poligoni regolari. Il prisma regolare è quindi un particolare prisma retto. Nella figura le basi dei due prismi sono rispettivamente triangoli equilateri e pentagoni regolari Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Parallelepipedo Definizione: il parallelepipedo è un prisma avente per basi due parallelogrammi. Poiché le facce laterali di un prisma sono sempre parallelogrammi, nel parallelepipedo tutte le facce sono parallelogrammi. Ne consegue che in un parallelepipedo due facce opposte qualsiasi possono esse considerate basi Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Parallelepipedo rettangolo Definizione: Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli. Dalla definizione segue che tutte le facce sono rettangoli Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Le piramidi Gli alunni, dopo aver manipolato, osservato nell'ambiente e costruito numerosi modelli di piramidi, devono essere in grado di distinguere questi solidi in un insieme di altri solidi di darne una descrizione abbastanza completa e corretta. Ad esempio: La piramide è un solido limitato da un poligono, che si dice base, e da tanti triangoli con il vertice in comune quanti sono i lati del poligono di base. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Gli elementi di una piramide
Gli elementi fondamentali di una piramide sono le facce: comprendono la base e le facce laterali gli spigoli: comprendono gli spigoli di base e gli spigoli laterali il vertice: è il vertice comune alle facce laterali, V, tale punto è detto vertice della piramide i vertici del poligono di base si dicono vertici di base. D C B A V Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Lavorare in laboratorio con i solidi
DISFIAMO … CUBETTI Luca e Gianni hanno a disposizione ciascuno 15 cubetti di cartoncino vuoti all’interno. Oggi si sfidano in un nuovo gioco. Ognuno di loro deve tagliare alcuni spigoli dei cubetti che possiede in modo da poter distendere le sei facce della superficie del cubo su un piano. Le facce devono essere unite le une alle altre almeno per un lato. Le figure piane formate dai sei quadrati che limitano il cubo devono essere tutte differenti, a meno di simmetrie o rotazioni. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Per esempio , i due sviluppi piani che seguono sono considerati uguali perché si corrispondono in una simmetria assiale di asse a a Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Anche questi due sviluppi devono essere considerati uguali perché si corrispondono in una rotazione di 180° attorno al punto O O Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Ecco come Luca ha tagliato il suo primo cubo. Quale forma avrà lo sviluppo che trova? Prova a disegnarlo. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Gianni invece ha già tagliato due cubi e dice di aver trovato gli sviluppi che seguono. Ti sembrano possibili? ……………………………………………………………….. Come potresti fare per verificare se Gianni ha lavorato bene ? …………………….. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Vai avanti a disegnare su carta quadrettata gli sviluppi che trovi tu e confronta il tuo lavoro con quello dei tuoi compagni. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Le disposizioni possibili di sei quadrati uguali in un piano, in modo che ogni quadrato abbia in comune con un altro almeno un lato si dicono esamini e sono 35. Eccoli: Di questi 35 esamini, esattamente 11 rappresentano lo sviluppo piano di una superficie cubica. Sono i numeri: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 27, 28, 29, 35. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Sviluppo piano della superficie di alcuni solidi
B Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Ricopia le figure che vedi. Incollale su un cartoncino, ritagliale e piegale lungo le linee tratteggiate. Servendoti del nastro adesivo puoi ottenere due scatolette C D Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Mettiti alla prova E Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

ALLA SCOPERTA DI UNA RELAZIONE IMPORTANTE
Tenendo presente i risultati ottenuti nelle tre schede precedenti compila le colonne della tabella che segue: Nome del solido Numero Facce vertici spigoli Relazione esistente fra il numero delle facce (f), dei vertici (v) e degli spigoli (s): f + v - s = ? A B C D E Che risultato sorprendente hai ottenuto? Scrivilo con le tue parole: ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… Questa relazione, scoperta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, lo svizzero Leonhard Euler ( ), italianizzato in Eulero, vale per tutti i solidi limitati da poligoni e che siano senza buchi. Un solido che non dovesse rispettare questa relazione non può esistere. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Prova a verificarla su altri modelli di solidi, del tipo sopra precisato, che hai in classe. Osserva attentamente un pallone del calcio. Anche se i poligoni che ricoprono la sua superficie, esagoni e pentagoni, hanno i contorni curvilinei, essi soddisfano la relazione di Eulero: Controlla: le facce pentagonali sono 12 le facce esagonali sono 20 i vertici sono 60 gli spigoli sono 90 Relazione di Eulero : …………………………………………… Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

La stella nascosta di Samuel Loyd
Ovvero il segreto della matematica Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

In questa immagine c'è una stella nascosta. Siete capaci di vederla?
Soluzione Nel disegno si trova una stella a cinque punte. La stella in realtà non è nascosta, è sotto i vostri occhi. Concentratevi sulla figura ed osservatela con la mente libera e ricettiva. Alcune persone impiegano pochi minuti, altri alcune ore, per altri ancora è necessario qualche giorno, ma alla fine tutti trovano la stella. Di solito è un'illuminazione improvvisa dopo un periodo più o meno lungo di ricerche senza successo. Da quel momento in poi la stella sarà vostra e nessuno potrà più togliervela. Ogni volta che guarderete questo disegno la vedrete subito, con estrema chiarezza, per sempre. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

Questo è il segreto della matematica: un problema che all'inizio sembra difficile e forse impossibile, dopo aver ricevuto l'illuminazione, diventa facilissimo si ricorda per tutta la vita. Ma è importante non scoraggiarsi mai, non irritarsi e soprattutto arrivarci da soli. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA

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