Fotogrammetria - Lezione 5

Fotogrammetria - Lezione 5
STEREO-RESTITUZIONE Di solito, l’assetto di presa di due fotogrammi corrisponde, approssimativamente, al caso normale e la base è tale da garantire un ricoprimento di circa il 60%. La coppia stereoscopica può essere osservata con uno stereoscopio che consente una visione tridimensionale. Si vede cioè un modello stereoscopico, chiamato anche modello ottico, dell’oggetto fotografato. La restituzione richiede che venga ricostruita la geometria di presa dei due fotogrammi per mezzo di una proiezione analitica. Il problema risulta più semplice se si conoscono i parametri di orientamento interno dei fotogrammi. Fotogrammetria - Lezione 5

Noti i parametri di orientamento esterno, si misurano le coordinate immagine dei punti omologhi P1 e P2 e con le equazioni di collinearità si calcolano le coordinate oggetto X, Y, Z del punto P Ci sono dunque 4 equazioni lineari nelle tre incognite X, Y, Z. Dalla prima e dalla terza relazione si può ricavare la Z: Infine dalla prima o dalla terza relazione si ricava la X e dalla seconda e dalla quarta si può ricavare la Y. I due valori di Y, se risultano leggermente diversi, vengono mediati. Fotogrammetria - Lezione 5

Il calcolo delle coordinate ora illustrato è comunque da considerarsi approssimato. Da un punto di vista statistico è più corretto affrontare il problema nel seguente modo: misurate le coordinate immagine del punto si scrivono le seguenti 4 equazioni alle osservazioni Queste equazioni vengono linearizzate nelle tre incognite X, Y, Z utilizzando come valori approssimati quelli ottenuti con il procedimento prima descritto. Quindi si risolve il sistema con il metodo dei minimi quadrati, ottenendo, oltre alla stima corretta delle medie delle coordinate del punto P anche una stima puntuale delle precisioni. Fotogrammetria - Lezione 5

Orientamento indipendente dei due fotogrammi
Per queste procedura sono necessari almeno tre punti di appoggio in ciascun fotogramma. In tal caso si possono scrivere sei equazioni di collinearità in sei incognite (sottolineate): con i = 1,2,3 Dopo la linearizzazione (utilizzando dei valori approssimati per le incognite) si procede al calcolo delle incognite. Nel caso di prese aeree i valori approssimati si possono ricavare dal grafico di volo. Fotogrammetria - Lezione 5

Questa procedura, detta vertice di piramide, presenta i seguenti inconvenienti: 1. Non si sfrutta l’informazione che i raggi omologhi si intersecano in corrispondenza dei punti oggetto. 2. Sono necessari tre punti di appoggio plano-altimetrici per ogni fotogramma. In realtà, per garantire una buona stabilità della soluzione, si usano almeno quattro punti disposti ai bordi del fotogramma e di un punto posto circa al centro della zona ripresa Fotogrammetria - Lezione 5

Orientamento simultaneo dei due fotogrammi
Si misurano le coordinate immagine dei punti d’appoggio e di alcuni altri punti. Per ogni punto d’appoggio (di coordinate terreno note) si hanno quattro equazioni di collinearità nelle 12 incognite (sottolineate): Per tutti gli altri punti si hanno tre ulteriori incognite (in grassetto), ma quattro equazioni Fotogrammetria - Lezione 5

Ogni punto di appoggio introduce quattro equazioni e nessuna incognita, mentre ogni altro punto collimato inserisce quattro equazioni ma ulteriori tre incognite. Tre punti di appoggio forniscono le condizioni limite per l’orientamento dei due fotogrammi. Ciò rappresenta un vantaggio in termini economici rispetto al caso precedente. Ogni punto incognito collimato contribuisce, grazie all’informazione di omologia delle immagini, un ulteriore vincolo alla soluzione: da un punto di vista statistico, quindi, ogni punto aggiunto migliora la soluzione. Questa procedura di orientamento è la più precisa in senso assoluto e richiede un solo passaggio di calcolo, per cui la stima delle precisioni dei parametri ottenuti tiene conto di tutto il procedimento di orientamento. Vedremo che tale approccio sta alla base delle compensazione a stelle proiettive della triangolazione fotogrammetrica. Sia in questo caso come negli altri già visti o che vedremo, le soluzioni trovate garantiscono un buon funzionamento solo all’interno del solido racchiuso dai punti di appoggio o per zone di estrapolazione molto limitate (5-10%). Fotogrammetria - Lezione 5

Orientamento simultaneo dei due fotogrammi in due fasi successive L’orientamento schematizzato in figura si esegue in due fasi successive. Nella prima, si crea un modello stereoscopico a partire dai due fotogrammi, in un sistema x,y,z arbitrario (sistema modello). Nella seconda si trasforma questo modello nel sistema X,Y,Z Fotogrammetria - Lezione 5

Il procedimento risulta più chiaro se si comincia a esaminare la seconda fase. Le relazioni fra le coordinate modello x, y, z e le coordinate oggetto X, Y, Z si possono esprimere con le equazioni in cui Xu, Yu, Zu sono le coordinate oggetto dell’origine del sistema x,y,z, m è il fattore di scala tra il sistema x,y,z e il sistema oggetto X,Y,Z, R è la matrice di rotazione spaziale che lega i due sistemi, funzione delle tre rotazioni W,F,K Questi sette valori si chiamano parametri di orientamento assoluto. Fotogrammetria - Lezione 5

Per ricavare i sette parametri dell’orientamento assoluto, sono necessarie almeno sette equazioni. Si possono scrivere: tre equazioni per ogni punto plano-altimetrico due equazioni per ogni punto planimetrico un’equazione per ogni punto altimetrico. L’orientamento assoluto richiede perciò almeno due punti planimetrici e tre punti altimetrici non allineati, o due punti planoaltimetrici e un punto altimetrico, anch’essi non allineati. Dei 12 parametri di orientamento esterno da determinare, 7 vengono fissati dall’orientamento assoluto, per cui i restanti 5 devono essere ricavati da una prima fase durante la quale si forma il modello stereoscopico nel sistema x,y,z Fotogrammetria - Lezione 5

Da quest’ultima considerazione si desume che il modello è completamente formato, nel sistema x,y,z, quando si intersecano i raggi omologhi di almeno cinque punti ben distribuiti: una volta realizzata questa condizione, tutte le altre infinite coppie di raggi omologhi, che proiettano i punti immagine corrispondenti, devono necessariamente intersecarsi. Il luogo di queste infinite intersezioni costituisce la superficie del modello ottico. La procedura necessaria per ottenere questo risultato si chiama orientamento relativo, poiché determina solo la posizione relativa tra le due stelle di raggi proiettanti senza nessun riferimento al sistema oggetto X,Y,Z. Per effettuare l’orientamento relativo non serve nessun punto d’appoggio Fotogrammetria - Lezione 5

L’orientamento relativo, cioè l’intersezione di cinque coppie di raggi omologhi, può essere espresso come l’annullamento del triplo prodotto scalare dei tre vettori b, p1i, p2i. Questa condizione di complanarità assume una forma molto semplice nel caso di fotogrammi pseudo-nadirali. Fotogrammetria - Lezione 5

Supponiamo che i fotogrammi siano stati ripresi con asse della camera pressoché verticale (assetto pseudo-nadirale) e iniziamo a scrivere la relazione fra le coordinate immagine e le coordinate modello. Nelle equazioni di collinearità invece delle coordinate oggetto X,Y,Z introduciamo le coordiante modello x,y,z e invece dei parametri finiti di orientamento, introduciamo valori infinitesimi differenziali. w = dw, f = df, k = dk x0 = h0= x01 = y01 = 0 x02 = bx y02 = dby z02 = z01+dbz h = z01 - z Fotogrammetria - Lezione 5

Nel caso di rotazioni infinitesime, la matrice di rotazione spaziale R si semplifica: Per la foto 1, dalla prima equazione di collinearità, si ricava e dividendo per -c Fotogrammetria - Lezione 5

Sviluppando in serie binomiale (1 + x)-1 = 1 - x + x2….. e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene: Analoga espressione si ottiene a partire dalla seconda equazione di collinearità: Queste equazioni possono essere riscritte in modo da evidenziare la relazione esistente fra coordinate modello x,y,h (invece di z) di un generico punto P, coordinate immagine corrispondenti, elementi di orientamento e distanze principale. Fotogrammetria - Lezione 5

Per la foto 1 (sinistra) risulta: e analogamente per la foto 2 (destra): Per fotogrammi pseudo-nadirali, la condizione di complanarità è soddisfatta ponendo y1 = y2 Fotogrammetria - Lezione 5

Introducendo la parallasse d’altezza ph = h1 - h2 possiamo infine scrivere: Questa espressione dimostra che, per fotogrammi pseudo-nadirali, le parallassi d’altezza possono ricavarsi da otto parametri di orientamento. È impossibile, invece, ricavare tutti gli otto parametri di orientamento dalla misura delle parallassi di altezza. Il parametro bx non compare, per cui non influisce, in prima approssimazione, sulle parallassi d’altezza. Poiché l’orientamento relativo si ottiene con cinque parametri d’orientamento indipendenti, tre delle otto incognite devono essere poste uguali a zero. Per determinare i cinque parametri di orientamento relativo si possono usare 2 procedure. Fotogrammetria - Lezione 5

Orientamento relativo simmetrico. Si scelgono come parametri incogniti le rotazioni delle camere (= le camere ruotano ma i centri di proiezione rimangono fissi) Nei fotogrammi aerei 1 è circa uguale a 2 per cui le rotazioni d1 e d2 sono identiche in valore assoluto. È indifferente scegliere l’una o l’altra rotazione. Orientamento relativo asimmetrico. Si scelgono come parametri incogniti i movimenti della camera destra (=la camera sinistra resta ferma mentre la seconda ruota e trasla) Fotogrammetria - Lezione 5

Superfici critiche nell’orientamento relativo Il modello matematico dell’orientamento relativo è complesso. Senza entrare in lunghe dimostrazioni si può osservare che: non si possono verificare condizioni numeriche critiche per i parametri 1, 2, 1, 2 mentre possono nascere alcuni problemi di indeterminazione per il parametro 2; Si dimostra che non è possibile eseguire l’orientamento relativo se l’oggetto è un cilindro circolare che passa per i due centri di presa. Fotogrammetria - Lezione 5

La figura rappresenta i cilindri critici corrispondenti a camere normali, grandangolari e supergrandangolari. Gli assi dei cilindri critici sono allineati con la direzione di volo. Con camere grandangolari (le più utilizzate in fotogrammetria aerea) perché si verifichino le condizioni di cilindro critico, il terreno deve essere molto montuoso. L’uso di camere normali aumenta le possibilità di non poter risolvere il problema di orientamento relativo. Fotogrammetria - Lezione 5

Nel calcolo dell’orientamento relativo analitico l’esistenza di una superficie critica, generalmente si manifesta con valori relativamente grandi del parametro d2. Si manifestano difficoltà di calcolo numerico nella soluzione del sistema normale perché esso risulta o singolare o comunque mal strutturato. L’esistenza di una superficie critica si può riconoscere analizzando le colonne della matrice disegno generata dalle equazioni alle parallassi. Se si è prossimi a una superficie critica alcune colonne risultano proporzionali l’una all’altra. Ad esempio, nel caso di orientamento relativo asimmetrico, l’esistenza di una superficie critica si manifesta con una proporzionalità tra i coefficienti di d2 e i coefficienti di dby. Fotogrammetria - Lezione 5

Teoria degli errori nell’orientamento relativo La precisione dei singoli parametri di orientamento relativo non ha molta importanza in sé in quanto l’orientamento relativo è solo una tappa intermedia nel processo di orientamento di una coppia di fotogrammi. Fotogrammetria - Lezione 5

Vediamo ora come influiscono gli errori dei parametri di orientamento relativo sul modello stereoscopico, limitandoci ad analizzare gli effetti lungo la coordinata z. Riprendiamo le due relazioni derivanti dalle equazioni di collinearità nel sistema oggetto per la coordinata x La parallasse lineare px risulta: Cerchiamo di riscrivere le equazioni di orientamento relativo simmetrico e asimmetrico esprimento le quantità modello x, y, e py anziché le quantità immagine in esse contenute. Fotogrammetria - Lezione 5

Risulta: Fotogrammetria - Lezione 5

Riprendiamo l’espressione della parallasse lineare: Sostituendo le relazioni approssimate appena trovate si ottiene: Dalla figura si ricava: E finalmente si ottiene un’espressione della variazione della quota modello z in funzione degli errori dei parametri di orientamento relativo: Fotogrammetria - Lezione 5

L’orientamento assoluto eliminerà gli effetti degli errori dell’orientamento relativo eccezion fatta per gli errori d e per parte degli errori d. Fotogrammetria - Lezione 5

Pur avendo utilizzato errori nei parametri di orientamento molto elevati, gli errori in quota conseguenti sono comunque limitati, perciò, in pratica, le deformazioni del modello dovute agli errori dei parametri di orientamento relativo sono spesso trascurabili. Solo nei casi di non omogenea distribuzione dei punti e di eventuale presenza di superfici critiche possono verificarsi forti errori nei parametri di orientamento e di conseguenza forti deformazioni del modello. Fotogrammetria - Lezione 5

Determinato l’orientamento relativo si passa al calcolo dei sette parametri dell’orientamento assoluto così come definiti in precedenza. Partiamo dall’ipotesi che le coordinate modello x, y, z siano già quasi uguali alle coordinate terreno X, Y, Z. Come primo passo occorre linearizzare le equazioni dell’orientamento assoluto: Fotogrammetria - Lezione 5

Un punto di appoggio plano-altimetrico dà luogo a tre equazioni alle osservazioni, uno planimetrico alle prime due, uno altimetrico alla terze delle equazioni sopra riportate. La soluzione si ottiene con il metodo dei minimi quadrati che, come noto, oltre a fornire la stima dei parametri incogniti fornisce anche la stima degli s.q.m. Gli scarti residui delle coordinate dei punti di appoggio sono quelli che, in pratica, vengono utilizzati per la valutazione della riuscita dell’operazione di orientamento assoluto. Fotogrammetria - Lezione 5

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